無人機(jī)機(jī)載相機(jī)曝光時(shí)刻攝影中心三維坐標(biāo)高精度插值算法研究

庫新勃,鄧巖,高曉,唐新莊

(1.中國電力工程顧問集團(tuán)西北電力設(shè)計(jì)院有限公司,陜西 西安 710032; 2.中水北方勘測設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司,天津 300222)

0 引 言

隨著測繪高新技術(shù)的快速發(fā)展,傳統(tǒng)的測繪行業(yè)正迅速向地理信息產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)化[1],基礎(chǔ)測繪的生產(chǎn)主體已發(fā)生革命性變革,衛(wèi)星遙感測量與航空攝影測量將成為地理信息的主要獲取方式[2-5]．較之傳統(tǒng)的遙感測量與大飛機(jī)航測,無人機(jī)具有成本低、靈敏度高、機(jī)動(dòng)性好、運(yùn)輸方便等優(yōu)點(diǎn),已逐漸發(fā)展成為航空攝影測量的重要手段[6-7]．無人機(jī)定位定向系統(tǒng)(POS)集相位差分全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)技術(shù)與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)于一體,可高精度獲取航攝像片的位置元素與角度元素[8],為無人機(jī)高精度測圖提供了作業(yè)基礎(chǔ)．

由于無人機(jī)常采用小像幅非量測相機(jī),導(dǎo)致后期空中三角測量解算需要較多的地面像控點(diǎn)來保證精度[9],外業(yè)工作量顯著增加,也不利于無人機(jī)攝影測量的應(yīng)用推廣．GPS輔助光束法平差是解決上述問題的有效途徑[10],即通過機(jī)載POS系統(tǒng)高精度獲取像片的定位定姿元素．需要說明的是,像片的位置信息主要指相機(jī)曝光時(shí)刻攝影中心的坐標(biāo)信息,而曝光時(shí)刻的時(shí)間精度一般優(yōu)于千分之一秒．由于無人機(jī)搭載的GNSS接收機(jī)的采樣頻率有限(一般為20～50 Hz),更高的采樣頻率將對GNSS接收機(jī)硬件與軟件提出更高的需求,因此,曝光時(shí)刻的位置信息需通過數(shù)據(jù)插值的方式來獲?。疚牟捎盟姆N常用的數(shù)據(jù)插值算法,對GNSS無人機(jī)動(dòng)態(tài)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算,并對結(jié)果進(jìn)行對比分析,確定適用于無人機(jī)高精度動(dòng)態(tài)定位的插值算法,并通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對該方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證．

1 無人機(jī)軌跡插值算法

插值算法較多,但考慮無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)特性,本文采用四種插值算法對無人機(jī)軌跡進(jìn)行數(shù)據(jù)插值．

1.1 線性插值

線性插值法(Linear interpolation)本質(zhì)上是利用兩個(gè)已知點(diǎn)確定直線方程進(jìn)而確定未知量的值,常用于通過已知函數(shù)f(x)在兩點(diǎn)的值近似獲得其他點(diǎn)的數(shù)值[11]．根據(jù)羅爾定理,線性近似值的誤差隨著二階導(dǎo)數(shù)的增大而增大,即函數(shù)曲率越大,簡單線性插值近似的誤差也就越大．

1.2 最鄰近插值

最鄰近插值(Nearest interpolation)本質(zhì)上就是通過計(jì)算待定點(diǎn)與周邊已知點(diǎn)的距離,直接選取距離最近點(diǎn)的數(shù)值賦予待定點(diǎn)[12],該方法計(jì)算量較小,插值速度最快． 當(dāng)已知點(diǎn)分布較為均勻且間距較小時(shí),該方法可以取得較好的效果．若數(shù)據(jù)發(fā)生突變或已知點(diǎn)分布不均勻時(shí),該插值方法易出現(xiàn)不連續(xù)情況,導(dǎo)致數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)嚴(yán)重失真．

1.3 分段三次樣條插值

為方便研究,直接給出插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式:

(x-xn),ξ∈(a,b).

(1)

由式(1)可知,余項(xiàng)的大小既與插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān),也與函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)．換言之,適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式次數(shù)有利于提高插值精度,但并非多項(xiàng)式次數(shù)越高,插值效果越好．研究結(jié)果表明,高次多項(xiàng)式并不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善,節(jié)點(diǎn)處更易發(fā)生Runge現(xiàn)象．

為避免Runge現(xiàn)象,可采用分段插值的方法,即將插值區(qū)間分成若干子區(qū)間,依次對每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行插值．分段三次樣條函數(shù)(Cubic Spline interpolation)就是滿足在每個(gè)子區(qū)間都是三次多項(xiàng)式[13],用S(xi)表示在子區(qū)間的表達(dá)式:

S(xi)=ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3,

(2)

式中,ai、ai1、ai2與ai3為多項(xiàng)式系數(shù)．確定4個(gè)系數(shù)后,即可確定該子區(qū)間多項(xiàng)式的表達(dá)式．

如果S(xi)是原始函數(shù)的三次樣條插值函數(shù),則其必滿足以下條件:

S(xi)=yi,i=0,1,…,n,

(3)

S(xi-0)=S(xi+0),i=1,…，n-1,

(4)

S′(xi-0)=S′(xi+0),i=1,…，n-1,

(5)

S″(xi-0)=S″(xi+0),i=1,…，n-1.

(6)

其中,公式(3)為插值函數(shù)均需滿足的插值條件,公式(4)～(6)則為三次樣條函數(shù)需滿足的連續(xù)性條件．三次樣條插值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于其函數(shù)值在整體上可很好地逼近已知數(shù)據(jù),相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù),同時(shí)不會(huì)發(fā)生Runge現(xiàn)象,因此,在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有較為廣泛的應(yīng)用．

1.4 分段三次埃爾米特插值

若已知插值點(diǎn)的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值,則構(gòu)造一個(gè)三次函數(shù),使其在插值點(diǎn)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)值均與已知值相等[14],即為分段三次埃爾米特插值(Cubic Hermite interpolation)多項(xiàng)式:

(7)

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果分析

采用飛馬固定翼無人機(jī)(F200)于2018年9月6日在陜西省渭南市東北部進(jìn)行航空攝影測量,飛控平臺(tái)POS系統(tǒng)自動(dòng)記錄GNSS動(dòng)態(tài)觀測數(shù)據(jù),基準(zhǔn)站接收機(jī)于地面固定點(diǎn)采集GNSS靜態(tài)觀測數(shù)據(jù),采樣頻率20 Hz,衛(wèi)星截止高度角設(shè)定為10°,采用Trimble Business Center 4.0進(jìn)行GNSS動(dòng)態(tài)定位解算(總計(jì)45 420歷元)．為檢驗(yàn)不同插值算法在無人機(jī)高動(dòng)態(tài)定位領(lǐng)域的適用性,將GNSS動(dòng)態(tài)定位解抽稀為1 Hz(總計(jì)2 272歷元),采用不同插值方法對抽稀后的動(dòng)態(tài)定位解進(jìn)行數(shù)據(jù)插值(插值間隔0.05 s),通過對比原始觀測數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)定位解算結(jié)果與插值結(jié)果,分析比較不同插值方法的適用性．

(a)線性插值 (b)最鄰近插值

(c)三次樣條插值 (d)三次埃爾米特插值圖1 不同插值算法平面方向插值結(jié)果

(a)線性插值 (b)最鄰近插值

(c)三次樣條插值 (d)三次埃爾米特插值圖2 不同插值算法高程方向插值結(jié)果序列圖

圖1和圖2分別為不同插值算法在平面與高程方向插值結(jié)果,由圖可知,盡管不同方法插值算法有所差別,但由于橫縱坐標(biāo)軸間距較大,不同方法插值結(jié)果基本接近,無顯著差別．為對比不同算法的細(xì)微差別,將四種插值結(jié)果分別與原始觀測數(shù)據(jù)解算的真值進(jìn)行同歷元求差,誤差序列如圖3所示．

(a)線性插值 (b)最鄰近插值

(c)三次樣條插值 (d)三次埃爾米特插值圖3 不同插值算法插值結(jié)果與真值結(jié)果三維對比圖

盡管不同插值算法插值結(jié)果整體趨勢與實(shí)際飛行軌跡基本一致,但由于插值算法自身的局限性,導(dǎo)致插值歷元的插值結(jié)果與真值有所差異．由圖可知,線性插值算法與最鄰近插值算法插值結(jié)果與真值的差值較大,在三維方向均有米級偏差,個(gè)別歷元甚至出現(xiàn)了大于2 m的偏差．而采用三次樣條插值與三次Hermite插值算法得到的誤差分布圖明顯更加集中,偏差量級一般為厘米級．對四種插值結(jié)果誤差序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表1所示．

表1為不同插值方法在北、東、高程三方向誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果．表中分別羅列了誤差的極限值(極大值與極小值)和均方根誤差(RMSE)．由表可知,線性插值與最鄰近插值部分歷元的誤差大于1 m,導(dǎo)致其RMSE值也明顯增大．而三次樣條插值與三次埃爾米特插值的誤差序列,除極個(gè)別歷元誤差值大于0.5 m,大部分歷元插值誤差小于0.1 m,其在三維方向的RMSE值不大于5.5 cm,三次樣條插值誤差的RMSE值優(yōu)于3.5 cm．

表1 不同插值方法誤差結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

分析原因可知,線性插值與最鄰近插值盡管計(jì)算速度快,但忽略了無人機(jī)真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的細(xì)節(jié),僅通過簡單的插值方法獲取插值點(diǎn)的數(shù)值,導(dǎo)致插值數(shù)值與實(shí)際真值存在較為明顯的差異,無法滿足高精度無人機(jī)動(dòng)態(tài)定位的需要．三次樣條與三次埃爾米特插值方法,采用分段插值的思想,可有效避免插值節(jié)點(diǎn)的Runge現(xiàn)象,插值精度顯著提高．三次樣條插值函數(shù)考慮了二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,使插值曲線與運(yùn)動(dòng)軌跡更加符合,比三次埃爾米特插值方法,插值精度進(jìn)一步提高．

3 結(jié) 論

本文基于固定翼無人機(jī)動(dòng)態(tài)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行后處理解算,采用四種不同的插值算法對抽稀的動(dòng)態(tài)定位結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)插值,通過對比插值結(jié)果與實(shí)際動(dòng)態(tài)解的誤差序列分析不同插值算法的優(yōu)劣．結(jié)果表明,簡單線性插值與最鄰近插值算法速度快,但插值精度低,無人機(jī)軌跡的細(xì)節(jié)無法獲?。侄尾逯邓惴ㄟm用于無人機(jī)動(dòng)態(tài)定位,較之分段三次埃爾米特插值,分段三次樣條插值算法考慮了軌跡曲線的二次導(dǎo)數(shù)連續(xù)性,因此,其插值結(jié)果更符合真實(shí)軌跡,當(dāng)原始數(shù)據(jù)采樣頻率高于1 Hz時(shí),其插值精度優(yōu)于5 cm,因此,三次樣條插值函數(shù)更適用于無人機(jī)相機(jī)曝光時(shí)刻攝影中心三維坐標(biāo)的高精度插值．