基于認(rèn)知跟蹤的集中式MIMO雷達(dá)功率分配算法

李正杰，謝軍偉，張浩為

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051)

0 引言

集中式多輸入多輸出(MIMO，Multiple Input Multiple Output)雷達(dá)作為一種新體制雷達(dá)，擁有比傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)更優(yōu)越的分辨特性、更強(qiáng)的低截獲能力和抗干擾能力等優(yōu)點(diǎn)，得到了研究人員的廣泛關(guān)注。通過在發(fā)射端同時(shí)發(fā)射多個(gè)正交信號(hào)，在接收端引入數(shù)字波束形成技術(shù)(Digital Beam Forming，DBF)，集中式MIMO雷達(dá)能夠同時(shí)生成多個(gè)正交波束，可實(shí)現(xiàn)同時(shí)多波束，從而對(duì)多批目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤[1]。

目標(biāo)跟蹤精度與雷達(dá)發(fā)射功率、有效帶寬、目標(biāo)RCS參數(shù)均有關(guān)系[2]。認(rèn)知跟蹤將各目標(biāo)狀態(tài)信息及時(shí)反饋給發(fā)射端，實(shí)現(xiàn)根據(jù)目標(biāo)特性自適應(yīng)地選擇雷達(dá)發(fā)射信號(hào)參數(shù)配置，提高目標(biāo)跟蹤能力。在實(shí)際中，雷達(dá)發(fā)射功率受到載荷和能源的限制。如何合理分配有限的發(fā)射功率從而獲得更好的目標(biāo)跟蹤性能，已經(jīng)成為認(rèn)知跟蹤領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。在實(shí)際運(yùn)用中，雷達(dá)功率分配通常將發(fā)射總功率恒定作為約束條件，優(yōu)化調(diào)整各波束發(fā)射功率，獲得最佳目標(biāo)跟蹤精度[3]。功率分配算法的有效性很大程度上依賴于目標(biāo)位置的估計(jì)精度[4]，因此運(yùn)用恰當(dāng)?shù)男阅芙缦拊u(píng)價(jià)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的估計(jì)誤差精度具有重要意義。理論上講，克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)能為任何無(wú)偏估計(jì)量的最小方差提供一個(gè)下界；但CRLB不具有預(yù)測(cè)能力，不能適用于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)功率分配場(chǎng)景。文獻(xiàn)[5]證明了后驗(yàn)CRLB(Posterior-CRLB，PCRLB)的預(yù)測(cè)能力，提出可將PCRLB應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景。文獻(xiàn)[6—7]分別利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)和精度更高的無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)，提出了跟蹤單個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的功率分配算法。利用PCRLB的可預(yù)測(cè)性及其與發(fā)射功率的關(guān)系，可將其作為代價(jià)函數(shù)構(gòu)建功率優(yōu)化模型。現(xiàn)有研究中，利用PCRLB構(gòu)成代價(jià)函數(shù)可以分為兩種：一是綜合考慮各目標(biāo)的PCRLB，對(duì)各目標(biāo)跟蹤精度之和進(jìn)行優(yōu)化；二是只考慮精度最差目標(biāo)的PCRLB，僅對(duì)最差目標(biāo)跟蹤精度進(jìn)行優(yōu)化。關(guān)于功率優(yōu)化模型求解問題，文獻(xiàn)[8—9]將功率分配看作非凸優(yōu)化問題，利用貪婪算法來(lái)尋求最優(yōu)解。上述研究及算法存在以下缺陷：一是將功率分配看作非凸優(yōu)化問題，導(dǎo)致運(yùn)算量增大而且可能得不到最優(yōu)解；二是采用的跟蹤算法精度不夠高，導(dǎo)致功率分配結(jié)果誤差增大；三是現(xiàn)有研究大都直接運(yùn)用兩類代價(jià)函數(shù)中的一類，并未對(duì)兩種函數(shù)的結(jié)果進(jìn)行分析。對(duì)此，本文針對(duì)集中式MIMO雷達(dá)執(zhí)行多目標(biāo)跟蹤任務(wù)時(shí)，現(xiàn)有功率分配算法計(jì)算量較大且準(zhǔn)確性較差的問題，提出了基于認(rèn)知跟蹤的集中式MIMO雷達(dá)功率分配算法。

1 同時(shí)多波束機(jī)制下的跟蹤模型

1.1 同時(shí)多波束工作機(jī)制

同時(shí)多波束工作機(jī)制是集中式MIMO雷達(dá)區(qū)別于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)的重要工作方式，能夠讓雷達(dá)同時(shí)對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，示意圖如圖1所示。該工作機(jī)制的數(shù)學(xué)描述如下：

假設(shè)x-y平面內(nèi)，集中式MIMO雷達(dá)位于點(diǎn)(x0,y0)，同時(shí)發(fā)射多個(gè)正交信號(hào)對(duì)Q個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，且各波束僅用于跟蹤一個(gè)目標(biāo)。在窄帶條件下，k時(shí)刻雷達(dá)向第q個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)為：

(1)

式(1)中，fc為載波頻率，q=1,2,3,…,Q，Eq,k(t)為信號(hào)的復(fù)包絡(luò)，Pq,k為發(fā)射功率，且滿足：

(2)

信號(hào)的有效帶寬和有效時(shí)寬分別表示為：

(3)

(4)

k時(shí)刻，接收機(jī)接收的目標(biāo)q的回波信號(hào)為：

(5)

式(5)中，hq,k為目標(biāo)的RCS；αq,k為衰減系數(shù)，與距離的四次方成反比，τq,k為信號(hào)的時(shí)延，fq,k為目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)的多普勒頻率，nq,k(t)為零均值的高斯白噪聲。

圖1 同時(shí)多波束示意圖Fig.1 Simultaneous multi-beam schematic diagram

1.2 運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)Q個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)彼此分離，且都在做勻加速運(yùn)動(dòng)，則第q個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(6)

(7)

(8)

(9)

式(9)中，Ts表示采樣間隔;sq表示過程噪聲的強(qiáng)度。

1.3 觀測(cè)模型

假設(shè)該集中式MIMO雷達(dá)能穩(wěn)定接收各目標(biāo)的回波信號(hào)，并能從回波信號(hào)中提取各目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)的徑向距離、速度、方位角以及目標(biāo)RCS等信息。k時(shí)刻，第q個(gè)目標(biāo)的觀測(cè)向量和目標(biāo)狀態(tài)向量的關(guān)系可表示為：

(10)

式(10)中，hq,k(·)表示k時(shí)刻目標(biāo)q的觀測(cè)方程：

hq,k(·)=[hRq,k(·),hfq,k(·),hθq,k(·)]T

(11)

因此觀測(cè)向量的維數(shù)為nh=3，式(11)中的各項(xiàng)可表示為：

(12)

式(12)中，λ表示雷達(dá)的工作波長(zhǎng)，rq,k，fq,k，θq,k分別代表k時(shí)刻目標(biāo)q與雷達(dá)之間的徑向距離、多普勒頻率和方位角。

式(10)中的vq,k代表均值為零的高斯白噪聲，方差為：

(13)

(14)

式(14)中，B為接收波束的寬度。

由式(14)可知：由于衰減系數(shù)αq,k與距離的四次方成反比，且與測(cè)量方差成反比，因此目標(biāo)與雷達(dá)間徑向距離越遠(yuǎn)，目標(biāo)跟蹤精度越差；目標(biāo)RCS與測(cè)量方差成反比，因此目標(biāo)RCS越小目標(biāo)跟蹤精度越差；發(fā)射功率Pq,k與測(cè)量方差成反比，跟蹤第q個(gè)目標(biāo)的波束功率越大，雷達(dá)測(cè)距、測(cè)速、測(cè)角精度越高。

至此，zq,k的概率分布可表示為：

(15)

依據(jù)貝葉斯定理：

(16)

結(jié)合式(6)和式(10)可迭代計(jì)算出，目標(biāo)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)(PDF，Probabilistic Density Function)，從而可以對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。由于觀測(cè)方程是非線性的，在估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)時(shí)，往往得不到后驗(yàn)概率密度的精確解，需要通過非線性濾波算法進(jìn)行近似求解。本文選用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單并且估計(jì)精度高的SRCKF算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。

衡量非線性濾波問題的精度，可以通過求解均方誤差下界實(shí)現(xiàn)。理論上講，CRLB可以對(duì)任何無(wú)偏估計(jì)提供均方誤差下界，但其本身不具備預(yù)測(cè)能力，因此不能對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)提供有效的下界。文獻(xiàn)[10—11]在CRLB的基礎(chǔ)上提出PCRLB，利用PCRLB的可預(yù)測(cè)能力對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤精度進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而可產(chǎn)生針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤精度的有效下界。

2 基于認(rèn)知跟蹤的功率分配算法

2.1 PCRLB的遞推式

(17)

式(17)中，E(·)代表求數(shù)學(xué)期望，Jq-1(k)表示k時(shí)刻，第q個(gè)目標(biāo)的PCRLB，即Fisher信息矩陣(FIM，F(xiàn)isher Information Matrix)的逆。

(18)

(19)

PCRLB的遞推式可表示為[12]：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

由于狀態(tài)方程為線性，而測(cè)量方程是非線性的?？蓪⑹?20)簡(jiǎn)化為：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

兩種代價(jià)函數(shù)各有特點(diǎn)：式(29)更多地關(guān)注多目標(biāo)整體的跟蹤精度；式(30)更關(guān)注最差目標(biāo)的跟蹤精度。實(shí)際中應(yīng)結(jié)合具體場(chǎng)景和任務(wù)要求來(lái)選擇代價(jià)函數(shù)，但從廣義上講，無(wú)論選擇何種代價(jià)函數(shù)，均能體現(xiàn)k時(shí)刻雷達(dá)的跟蹤精度。

2.2 優(yōu)化模型的建立及求解

由式(27)可知，目標(biāo)跟蹤精度受很多參數(shù)影響，如目標(biāo)的RCS、信號(hào)帶寬以及發(fā)射功率等。本節(jié)針對(duì)雷達(dá)發(fā)射功率分配問題進(jìn)行研究，在雷達(dá)發(fā)射總功率Ptotal固定的情況下，對(duì)各跟蹤波束的發(fā)射功率進(jìn)行優(yōu)化分配，從而提高目標(biāo)跟蹤精度。根據(jù)代價(jià)函數(shù)不同，建立Φ1、Φ2兩種優(yōu)化模型：

(31)

(32)

求解凸優(yōu)化問題的傳統(tǒng)方法有貪婪算法、內(nèi)點(diǎn)法、梯度投影算法等。傳統(tǒng)算法均需要進(jìn)行多次迭代搜索，耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)。文獻(xiàn)[15]提出利用SDP算法可以將凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為容易求解的SDP問題，從而實(shí)現(xiàn)快速實(shí)時(shí)求解?；谔岣吖β史峙鋵?shí)時(shí)性需求，采取優(yōu)化速率更快的SDP算法?，F(xiàn)以F1模型為例，描述SDP算法流程。

將式(28)帶入式(29)可得：

(33)

為求解式(33)，設(shè)置一個(gè)輔助矩陣Mq，將其代替代價(jià)函數(shù)，并且增加限制條件：

(34)

(35)

便可得到一個(gè)與式(33)等價(jià)的SDP問題：

(36)

至此，F(xiàn)1模型的凸優(yōu)化問題已轉(zhuǎn)化為SDP問題，同理可將F2模型的凸優(yōu)化問題也轉(zhuǎn)化為SDP問題。轉(zhuǎn)化完畢后，利用SeDuMi工具箱可分別對(duì)兩個(gè)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

(37)

為進(jìn)一步對(duì)比分析兩種代價(jià)函數(shù)對(duì)分配結(jié)果和跟蹤精度的影響，以及驗(yàn)證所提功率分配算法的有效性，設(shè)置三種模型進(jìn)行仿真，記為(P1,P2,P3)。其中，P1表示以式(30)為代價(jià)函數(shù)構(gòu)成的最差目標(biāo)的PCRLB優(yōu)化模型，P2表示以式(29)為代價(jià)函數(shù)構(gòu)成的各目標(biāo)總的PCRLB優(yōu)化模型，P3為功率平均分配模型。在初始時(shí)刻，P1與P2模型均為平均分配。

為探究距離和目標(biāo)RCS對(duì)功率分配結(jié)果的影響，設(shè)置兩種RCS模型，記為(H1,H2)。其中，H1表示各目標(biāo)RCS值恒為1；H2為各目標(biāo)RCS各不相等，且出現(xiàn)起伏，具體數(shù)值見圖3。

表1 初始時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.1 The parameters of targets motion at the initial time

表2 雷達(dá)與發(fā)射信號(hào)參數(shù)Tab.2 The parameters of radar and transmitting signal

圖2 雷達(dá)與目標(biāo)的空間分布Fig.2 Spatial distribution of radar and targets

圖3 第二種RCS模型H2Fig.3 The second RCS model of H2

場(chǎng)景1 距離影響

在此場(chǎng)景下，RCS模型為H1，即各目標(biāo)RCS值均為1。因此，雷達(dá)功率分配僅與雷達(dá)到目標(biāo)的徑向距離及其相對(duì)位置關(guān)系有關(guān)。

圖4(a)—圖4(c)分別給出了不同功率分配模型下，各目標(biāo)位置的PCRLB之間的關(guān)系。由圖可知，P1模型各目標(biāo)PCRLB值最接近，因此各目標(biāo)跟蹤精度相差最??；P2模型各目標(biāo)PCRLB值較接近，各目標(biāo)跟蹤精度相差較??；P3模型各目標(biāo)PCRLB值相差最大，各目標(biāo)跟蹤精度相差最大。

圖4(d)和圖4(e)中，不同顏色表示不同的發(fā)射功率比，定義為：

rq,k=Pq,k/Ptotal

(38)

由于目標(biāo)1距雷達(dá)最遠(yuǎn)，在P1和P2兩種優(yōu)化模型下，目標(biāo)1均獲得最多的發(fā)射功率。

圖4 場(chǎng)景1中不同功率分配模型下各目標(biāo)PCRLB及功率分配結(jié)果Fig.4 The PCRLB and power distribution results of each target under different power distribution models in Scenario 1

圖5給出了三種分配模型下，各目標(biāo)總的PCRLB與RMSE、最差目標(biāo)的PCRLB與RMSE之間的關(guān)系。結(jié)果表明：P2模型下各目標(biāo)PCRLB之和最小，并且總的RMSE最小，因此總的跟蹤精度最高；P1模型下最差目標(biāo)PCRLB最小，隨著時(shí)間推移，P1模型的RMSE也逐漸小于P2模型；在H1模型下，無(wú)論是經(jīng)P1還是P2優(yōu)化模型處理過后，總的跟蹤精度和最差目標(biāo)的跟蹤精度都比P3模型高。

圖5 場(chǎng)景1中不同功率分配模型下跟蹤性能對(duì)比Fig.5 The comparison of tracking performance under different power distribution models in Scenario 1

場(chǎng)景2 目標(biāo)RCS影響

在本場(chǎng)景中，RCS模型為H2，即各目標(biāo)RCS值均不相等且發(fā)生起伏變化。因此，影響雷達(dá)功率分配的因素除雷達(dá)與目標(biāo)的徑向距離及相對(duì)位置關(guān)系外，還有各目標(biāo)的RCS值。

圖6(a)—圖6(c)給出了RCS起伏模型下，經(jīng)不同分配模型處理后各目標(biāo)的PCRLB。結(jié)果顯示：P3模型下，由于目標(biāo)3的RCS最小，目標(biāo)3的跟蹤精度最差；P1模型能夠有效提升最差目標(biāo)的跟蹤精度，并且使各目標(biāo)的跟蹤精度很接近；P2模型能夠在一定程度上減小最差目標(biāo)的跟蹤精度，使各目標(biāo)的跟蹤精度較為接近。

圖6(d)—圖6(e)給出了P1與P2模型的功率分配結(jié)果。相較場(chǎng)景1，場(chǎng)景2中雖然目標(biāo)3距離雷達(dá)最近，但RCS最小，最終使得目標(biāo)3成為精度最差的目標(biāo)，因此絕大部分功率分配給了目標(biāo)3。

圖6 場(chǎng)景2中不同功率分配模型下各目標(biāo)PCRLB及功率分配結(jié)果Fig.6 The PCRLB and power distribution results of each target under different power distribution models in Scenario 2

圖7(a)給出了H2模型下，經(jīng)各優(yōu)化模型處理后各目標(biāo)PCRLB之和以及RMSE之和的關(guān)系。結(jié)果表明：當(dāng)RCS出現(xiàn)起伏時(shí)，P2模型下所有目標(biāo)總的PCRLB值以及總的RMSE仍然最小，因此總的目標(biāo)跟蹤精度仍然最高；在P1和P3模型下，總的目標(biāo)跟蹤精度相差不大。

圖7(b)給出了H2模型下，經(jīng)各優(yōu)化模型處理后最差目標(biāo)PCRLB之和以及RMSE之和的關(guān)系。結(jié)果表明：當(dāng)RCS出現(xiàn)起伏時(shí)，在P1和P2模型下最差目標(biāo)的PCRLB相差不大，但是P1模型下最差目標(biāo)的PCRLB更加平滑，最差目標(biāo)的RMSE起伏更??；P1和P2模型下的最差目標(biāo)精度均高于P3模型。

圖7 場(chǎng)景2中不同功率分配模型下跟蹤性能對(duì)比Fig.7 The comparison of tracking performance under different power distribution models in Scenario 2

4 結(jié)論

本文提出了基于認(rèn)知跟蹤的集中式MIMO雷達(dá)功率分配算法。該算法首先推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位置誤差的PCRLB，而后對(duì)PCRLB進(jìn)行預(yù)測(cè)并將其作為代價(jià)函數(shù)，從而將功率分配問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。最后運(yùn)用SDP算法將凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為SDP問題并求解。為探究總目標(biāo)跟蹤精度和最差目標(biāo)跟蹤精度兩類代價(jià)函數(shù)以及目標(biāo)RCS值對(duì)功率分配結(jié)果的影響，設(shè)置了對(duì)照仿真實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：1)在功率優(yōu)化分配模型中，距離雷達(dá)較遠(yuǎn)、RCS較小的目標(biāo)通常分配較大的發(fā)射功率；2)當(dāng)目標(biāo)RCS起伏時(shí)，目標(biāo)跟蹤精度也會(huì)隨之出現(xiàn)起伏；3)相較于功率平均分配，本文提出的總目標(biāo)跟蹤精度優(yōu)化模型能明顯提高各目標(biāo)總的跟蹤精度，最差目標(biāo)跟蹤精度優(yōu)化模型能明顯提高最差目標(biāo)的跟蹤精度；4)總目標(biāo)跟蹤精度和最差目標(biāo)跟蹤精度兩種優(yōu)化模型各有優(yōu)勢(shì)：前者能使總的目標(biāo)跟蹤精度達(dá)到最小，有時(shí)也可使最差目標(biāo)跟蹤精度達(dá)到最小，后者能使最差目標(biāo)跟蹤精度起伏幅度明顯小于前者，并且能夠使各目標(biāo)跟蹤精度更為接近。