基于加速度的馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)IMM 算法*

朱洪峰，熊 偉，崔亞奇，呂亞飛

（海軍航空大學(xué)信息融合研究所，山東 煙臺 264001）

0 引言

目標(biāo)跟蹤應(yīng)用廣泛，而機動目標(biāo)的跟蹤一直是目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的重點和難點問題［1-3］。單一模型難以準(zhǔn)確概括目標(biāo)的機動形式和跟蹤機動復(fù)雜的目標(biāo)。交互式多模型算法（Interacting Multiple Model，IMM）由于結(jié)合了多種模型，且結(jié)構(gòu)簡單，因此，在機動目標(biāo)跟蹤問題中得到了廣泛研究和應(yīng)用［4］。

IMM 算法通過馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣及更新后的模型概率實現(xiàn)模型間的軟切換，使算法匹配目標(biāo)的真實運動狀態(tài)。但是這樣的切換機制會使得系統(tǒng)需要一定的時間去識別目標(biāo)運動模式的改變，從而造成模型切換滯后，降低跟蹤精度［5-6］。另一方面，轉(zhuǎn)移概率矩陣是先驗確定的，而目標(biāo)機動規(guī)律是很難提前預(yù)知概括的。隨著現(xiàn)在的目標(biāo)機動能力和復(fù)雜性不斷提高，導(dǎo)致對其機動規(guī)律的估計愈發(fā)困難。因此，如何正確地估計或是自適應(yīng)調(diào)整馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣成了學(xué)者們關(guān)注的一個問題。

近年來，學(xué)者們嘗試采用各種算法來對IMM 的這個缺點進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)［7-9］利用模型估計分別與交互后的估計的偏差、最終融合估計的偏差構(gòu)造了模型的誤差壓縮率，通過模型間的誤差壓縮率比來對馬爾可夫狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)。該種算法改進(jìn)提高了IMM 在模型不切換時刻的跟蹤精度，但是存在模型切換時穩(wěn)定性變差，及轉(zhuǎn)移概率矩陣可能出現(xiàn)調(diào)節(jié)過度從而不符合要求的缺點。文獻(xiàn)［10］指出模型的似然函數(shù)反映了模型與目標(biāo)的真實匹配程度，因此，采用模型的似然函數(shù)比值來調(diào)節(jié)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。該方法提高了模型的切換速度和模型非切換時段的跟蹤精度，但是增大了模型切換過程的峰值誤差。文獻(xiàn)［11-12］認(rèn)為模型概率的變化反映了模型和目標(biāo)狀態(tài)的匹配程度，因此，采用模型的概率變化率對馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)。該種改進(jìn)方式同樣也能使得模型切換速度加快，提高跟蹤精度，但是也存在模型切換時算法不穩(wěn)定的問題。為了后續(xù)分析方便和表述需要，統(tǒng)稱上述幾種算法為馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)IMM 算法（Adaptive Markov Parameter IMM Algorithm，AMP-IMM）。

本文針對IMM 算法的模型切換滯后導(dǎo)致目標(biāo)機動改變時跟蹤誤差增大的問題，提出了一種基于加速度的馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)IMM 算法（Adaptive Markov Parameters IMM Algorithm based on Acceleration，AA-IMM）。通過引入了基于加速度的調(diào)節(jié)因子，在線自適應(yīng)調(diào)節(jié)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，提高模型的切換速度，從而減小目標(biāo)機動改變時的跟蹤誤差。仿真結(jié)果證明了該算法的有效性。

1 AMP-IMM 算法局限性分析

本節(jié)對已有AMP-IMM 算法的局限性進(jìn)行了深入分析，為自適應(yīng)馬爾可夫參數(shù)的IMM 算法提供改進(jìn)的方向和依據(jù)。

選用文獻(xiàn)［7］的改進(jìn)算法作為代表算法進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［7］中，將IMM 算法中第k 時刻的第j 個模型的濾波估計值與下一時刻交互作用后的輸出值的偏差，與第k 時刻第j 個模型的濾波器估計值與IMM 算法的輸出值偏差之比定義了第j 個模型的誤差壓縮率：

根據(jù)IMM 算法基本過程［13］，當(dāng)算法采用兩個模型時，可以推導(dǎo)出兩個模型對應(yīng)的誤差壓縮率：

其中，pij和uk（k）分別為馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣和模型概率向量中的元素，i，j=1，2。由式（2），式（3）可以得到自適應(yīng)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

上一節(jié)指出了該類AMP-IMM 算法在模型切換時因穩(wěn)定性變差、時間變長，從而導(dǎo)致跟蹤精度降低的缺點。下面對其進(jìn)行具體分析，令I(lǐng)MM 算法有兩個模型，結(jié)合IMM 原始算法的模型交互作用和模型概率更新計算過程推導(dǎo)出兩模型概率比為：

2 AA-IMM 算法原理

2.1 基于加速度的自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子

在目標(biāo)跟蹤中，目標(biāo)的加速度估計一定程度上反映了目標(biāo)的機動狀態(tài)。對于兩模型的IMM 算法，其模型一般是由CV 模型和CA 組成。因此，加速度在反映目標(biāo)機動狀態(tài)的同時，也一定程度上為IMM算法指示出了匹配的模型。記兩模型的IMM 算法馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

傳統(tǒng)的IMM 算法Pij是先驗確定的，并且是固定不變的。但是，先驗的確定是很困難的，并且在跟蹤過程中一直固定，因此，目標(biāo)實際運動狀態(tài)變化較大的情況或者是突變情況下，跟蹤精度和穩(wěn)定性就會降低。假設(shè)模型1 為CV 模型，模型2 為CA 模型（后面都采用此假設(shè)）。假設(shè)跟蹤二維平面的目標(biāo)，記目標(biāo)在k-1 時刻關(guān)于x 軸和y 軸的加速度估計值分別為和。采用加速度估計值作為Pij的調(diào)節(jié)依據(jù)，首先定義加速度指標(biāo)：

其中，l 為縮放因子，一般設(shè)置為1，根據(jù)Pij和需要調(diào)節(jié)的程度控制（ak）的取值范圍；amax為加速度的先驗最大值，作用是歸一化a（k），因此，。

在加速度增加（減小）時，說明目標(biāo)的機動性正在增加（減?。?，則模型1 轉(zhuǎn)移到模型1 的概率應(yīng)該減?。▌t增大），轉(zhuǎn)移到模型2 的概率應(yīng)該增大（減小）；模型2 轉(zhuǎn)移到模型2 的概率應(yīng)該增大（減小），轉(zhuǎn)移到模型1 的概率應(yīng)該減?。ㄔ龃螅?。因此，根據(jù)式（8）、式（9）構(gòu)造k 時刻基于加速度的自適應(yīng)馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中，pij是預(yù)設(shè)好的初始馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣元素，是固定不變的。所以并不是迭代產(chǎn)生的，而是通過固定的Pij和、每步重新計算得到。

在實際仿真中發(fā)現(xiàn)，由于受噪聲的影響，使得加速度估計有時會超過先驗的最大值，進(jìn)而（ak）大于1，使得轉(zhuǎn)移矩陣不符合要求，影響跟蹤效果。因此，需為k 設(shè)置一個上限，即：

對于AA-IMM 算法，采用加速度估計作為馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Pij的調(diào)節(jié)依據(jù)。根據(jù)卡爾曼濾波［14］過程有以下式子：

其中，H 為量測矩陣，v（k）為殘差，S（k）為新息協(xié)方差矩陣，P（k|k-1）為一步預(yù)測協(xié)方差，R（k）為量測噪聲協(xié)方差矩陣。由IMM 原始算法的模型似然函數(shù)Λk由v（k）和S（k）計算所得，而模型概率uk由Λk、馬爾可夫參數(shù)和上一步模型概率計算所得，可以得知加速度估計值對Λk、uk直接影響很小。因此，加速度估計值同IMM 算法的參數(shù)相關(guān)性很小，同時AA-IMM 算法的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是每一時刻基于預(yù)先設(shè)定的值進(jìn)行重新更新，并不會直接將上一步產(chǎn)生的轉(zhuǎn)移矩陣的影響累積。當(dāng)模型發(fā)生切換或算法不穩(wěn)定時，加速度估計值不會發(fā)生太大突變。所以，AA-IMM 算法能夠?qū)δＰ透怕实牟▌悠鹨欢ǖ摹捌交弊饔?，提高算法的魯棒性，在模型切換時，算法能夠降低IMM 算法本身造成的不穩(wěn)定，加快模型切換速度，從而減小模型切換時的跟蹤誤差。

2.2 AA-IMM 算法流程

根據(jù)上節(jié)的結(jié)果，總結(jié)基于加速度馬爾可夫自適應(yīng)IMM 算法步驟如下：

2）輸入交互。

4）模型概率更新和交互。

3 仿真校驗

3.1 仿真實驗

表1 場景1 目標(biāo)的機動情況

表2 場景2 目標(biāo)的機動情況

圖1 場景1 目標(biāo)真實運動軌跡圖

圖2 場景2 目標(biāo)真實運動軌跡圖

仿真得到兩種算法位置的RMSE 結(jié)果對比圖，如下頁圖3 所示。

為更好地分析AA-IMM 算法性能，任意選取其中一次仿真，其兩種算法的模型概率變化對比如圖4 所示。

圖3 場景1 兩種算法的位置RMSE 對比圖

圖4 場景1 兩種算法的模型概率變化對比

仿真得到兩種算法位置的RMSE 結(jié)果對比圖，如圖5 所示。

圖5 場景2 兩種算法的位置RMSE 對比圖

兩種算法的模型概率變化對比如圖6 所示。

圖6 場景2 兩種算法的模型概率變化對比

3.2 實驗結(jié)果分析

仿真場景1 以勻速直線運動起始，仿真場景2以勻加速運動起始，兩種不同的仿真場景能夠更好地分析AA-IMM 算法性能。結(jié)合表1 和圖3，表2和圖5，可以看出AA-IMM 算法在目標(biāo)發(fā)生機動改變和模型切換時，跟蹤精度較IMM 有所提高，表明算法在目標(biāo)發(fā)生運動狀態(tài)或者機動改變時能夠有效提高跟蹤機動，減少跟蹤誤差。

結(jié)合表1 和圖4，表2 和圖6，可以看出AA-IMM算法在跟蹤穩(wěn)定后，相比于IMM 模型，其匹配模型的概率更高，且穩(wěn)定性和魯棒性得到了增強，概率變化更加“平滑”，同時模型切換的時間也更短。因此，AA-IMM 算法能夠有效地提高模型切換的速度，提高匹配模型的概率，提高模型概率的穩(wěn)定性，從而減少跟蹤誤差，提高跟蹤精度。

從圖3 和圖4 能夠發(fā)現(xiàn)，AA-IMM 算法在目標(biāo)處于勻速直線運動時其誤差大于IMM 算法。結(jié)合圖4 和圖6，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)在勻速運動時，改進(jìn)后的算法較原始算法模型2 的模型概率高，仿真場景1 由于從勻速直線運動起始，故在圖4 中模型概率的異常表現(xiàn)得更加明顯。結(jié)合仿真得出的目標(biāo)狀態(tài)值可以分析出，由于噪聲的影響，算法在目標(biāo)勻速狀態(tài)時仍會估計出加速度值，且不可忽略，使得算法的調(diào)節(jié)機制啟動，使算法的CA 模型概率增大，跟蹤誤差隨之增大。

綜上，AA-IMM 算法較之IMM 算法能夠使目標(biāo)在機動發(fā)生改變時有效提高模型切換速度和穩(wěn)定性，進(jìn)而提高跟蹤精度。但存在目標(biāo)勻速運動時跟蹤精度會降低的缺點。因此，改進(jìn)后的算法適合跟蹤運動狀態(tài)變化較為頻繁、勻加速運動模式出現(xiàn)頻率較高的目標(biāo)。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于加速度的馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)IMM 算法。該算法利用上一時刻的加速度估計對馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，使算法能更好地適應(yīng)目標(biāo)機動的變化。仿真結(jié)果表明，該算法能夠在目標(biāo)機動改變時有效地提高模型切換速度，提高模型概率穩(wěn)定性和匹配度，從而提高跟蹤精度。同時指出了算法存在目標(biāo)勻速狀態(tài)時跟蹤效果較差的缺點，下一步工作將努力克服算法的這個缺點。