聯(lián)合動(dòng)靜力的橋梁模型分步修正方法

劉永淼

(廈門(mén)軌道交通集團(tuán)有限公司，廈門(mén) 361004)

目前橋梁結(jié)構(gòu)承載能力評(píng)定主要是通過(guò)靜動(dòng)載試驗(yàn)和有限元計(jì)算[1-2]對(duì)結(jié)構(gòu)受力、變形等狀況進(jìn)行分析。橋梁荷載試驗(yàn)?zāi)軌蛑庇^反映出橋梁結(jié)構(gòu)在試驗(yàn)荷載作用下上部結(jié)構(gòu)的整體受力性能，得到橋梁結(jié)構(gòu)截面應(yīng)力、位移等數(shù)據(jù)，并結(jié)合橋梁實(shí)際情況對(duì)橋梁承載能力進(jìn)行評(píng)判。但荷載試驗(yàn)需封閉交通且耗資較大。

有限元建模計(jì)算具有速度快、成本低等優(yōu)點(diǎn)，能有效地模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的靜力、動(dòng)力、疲勞強(qiáng)度等特性。 有限元建模在設(shè)計(jì)圖紙階段就可以實(shí)現(xiàn)，不一定需要實(shí)際結(jié)構(gòu)。但是有限元計(jì)算僅僅基于設(shè)計(jì)圖紙， 與實(shí)際結(jié)構(gòu)存在誤差。有限元建模過(guò)程誤差來(lái)源[3-5]主要包括：①模型階次誤差；②模型結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置誤差；③模型結(jié)構(gòu)誤差，如建模時(shí)采用一些簡(jiǎn)化假定等。試驗(yàn)過(guò)程的誤差來(lái)源主要包括：①實(shí)驗(yàn)設(shè)備固有的系統(tǒng)誤差；②測(cè)試條件帶來(lái)的誤差；③人為測(cè)試誤差等。 通常認(rèn)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)于有限元模型是更為可靠的， 因此有限元模型修正主要依托試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)提高準(zhǔn)確度和可靠度。

現(xiàn)階段主要是通過(guò)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力參數(shù)或靜力參數(shù)來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正， 而基于動(dòng)力模型修正與基于靜力模型修正各有利弊。 為了得到更符合實(shí)際情況的有限元模型，以某BRT 為工程背景。 首先進(jìn)行動(dòng)力模型修正。在基于動(dòng)力的有限元模型修正中，考慮到結(jié)構(gòu)自振頻率對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的變化較為敏感， 通過(guò)結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)自振頻率對(duì)有限元自振頻率進(jìn)行修正， 進(jìn)而得到能夠反映結(jié)構(gòu)整體信息和動(dòng)力特性的有限元模型。 在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行基于靜力模型的精細(xì)化修正。 結(jié)構(gòu)靜力有限元模型精細(xì)化修正[6-7]是利用結(jié)構(gòu)靜力測(cè)試響應(yīng)信息，通過(guò)調(diào)整參數(shù)的方法使結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)的有限元計(jì)算值與實(shí)測(cè)值盡可能一致， 從而使得修正后的結(jié)構(gòu)有限元模型能兼顧到結(jié)構(gòu)的局部特征，增大參數(shù)識(shí)別結(jié)果的有效性和可靠性。

1 基于動(dòng)力的有限元模型修正

1.1 優(yōu)化函數(shù)

為了使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化， 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造主要是利用測(cè)試值與計(jì)算值的差值。 在基于動(dòng)力測(cè)試數(shù)據(jù)的有限元模型修正中， 目標(biāo)函數(shù)主要是通過(guò)測(cè)試和理論的固有頻率、MAC、模態(tài)柔度等相關(guān)函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，采用的目標(biāo)函數(shù)為[8-9]：

式中，f1(x)為基于頻率的目標(biāo)函數(shù)；f2(x)為基于MAC的目標(biāo)函數(shù)；α 和β 為權(quán)重系數(shù)；λαj為j 階理論特征圓頻率；λtj為j 階試驗(yàn)特征圓頻率；MACj為第j 階的模態(tài)保證準(zhǔn)則值。

模態(tài)柔度矩陣被用于參數(shù)識(shí)別有不同的方式[10-11]，Bijaya Jaishi[12]通過(guò)式(3)和式(4)構(gòu)造有限元模型修正的目標(biāo)函數(shù)，式(3)稱為一致荷載面，式(4)則是相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：

式中， f3(x)為基于模態(tài)柔度的目標(biāo)函數(shù)；uαj為理論的一致荷載面；utj為試驗(yàn)的一致荷載面；ms為測(cè)試的自由度數(shù)；nd為測(cè)試的模態(tài)階數(shù)；[Φik] 為質(zhì)量歸一的振型矩陣；ωk2(k=1，2，...，n)為固有頻率。

將頻率、MAC 和模態(tài)柔度三個(gè)目標(biāo)函數(shù)聯(lián)合起來(lái)，可以構(gòu)造如下的目標(biāo)函數(shù)，如式(5)所示，同時(shí)可以使用式(6)和式(7)的約束條件：

式中， f4(x) 為聯(lián)合頻率、MAC 和模態(tài)柔度的目標(biāo)函數(shù)；UL 為理論和實(shí)測(cè)特征值誤差的上限；L1為MAC 的下限；η1、η2、η3為權(quán)重系數(shù)， 權(quán)重系數(shù)根據(jù)不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)靈敏度的不同進(jìn)行分配。

1.2 有限元模型的建立

選取具有代表性的BRT 高架橋梁A 標(biāo)段第24 聯(lián)作為研究對(duì)象， 應(yīng)用橋梁有限元計(jì)算軟件建立橋梁的三維有限元模型，驗(yàn)算橋梁設(shè)計(jì)是否滿足城市道路B 級(jí)、直線電機(jī)B 型活載和實(shí)測(cè)BRT 車輛荷載的通行要求。 該橋?yàn)?×30m 預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土等截面連續(xù)箱梁直橋結(jié)構(gòu)。 主梁采用單箱單室結(jié)構(gòu)形式，模型采用梁?jiǎn)卧M，截面按照真實(shí)截面建立，邊界條件按實(shí)際邊界條件模擬。 橋梁縱向?yàn)閄 軸，橫向?yàn)閅 軸，豎向?yàn)閆 軸。有限元模型見(jiàn)圖1。

圖1 Midas civil 整體有限元模型

1.3 自振特性試驗(yàn)

(1)測(cè)點(diǎn)布置

將豎向加速度傳感器按7.5m 間距布置在各跨上，測(cè)點(diǎn)布置詳見(jiàn)圖2。 試驗(yàn)采樣頻率為100Hz， 采樣時(shí)間為10min。

圖2 傳感器測(cè)點(diǎn)縱橋向布置示意圖(單位：cm)

(2)動(dòng)力特性分析結(jié)果

理論與實(shí)測(cè)前四階豎向頻率見(jiàn)表1 所示。 從表中可以看出，豎向一階、豎向二階、豎向三階實(shí)測(cè)頻率和理論頻率有一定的誤差，豎向四階吻合度較高，說(shuō)明建立的有限元仿真模型基本符合橋梁實(shí)際狀況。 為得到更精確的模型，還應(yīng)進(jìn)行修正。

表1 修正前計(jì)算和實(shí)測(cè)動(dòng)力特性

1.4 基于動(dòng)載試驗(yàn)的模型整體修正

本次修正采用將頻率、MAC 和模態(tài)柔度分別作為目標(biāo)函數(shù)及聯(lián)合頻率、MAC 和模態(tài)柔度的單目標(biāo)函數(shù)f4(x)進(jìn)行修正數(shù)值模型[13]，并對(duì)修正效果進(jìn)行比較。 有限元模型修正都是基于實(shí)測(cè)模態(tài)頻率和振型。

選擇混凝土的質(zhì)量密度、彈性模量、橋面鋪裝厚度、支座的豎向彈簧剛度作為模型修正參數(shù)。 參數(shù)靈敏度分析表明： 混凝土的質(zhì)量密度對(duì)各階頻率的變化具有幾乎相同的影響， 混凝土的彈性模量對(duì)各階頻率都具有較高的靈敏度，橋面鋪裝對(duì)各階頻率都有一定的影響，且影響不一致，支座的三向彈簧剛度對(duì)頻率影響也不一致。

經(jīng)過(guò)修正后模型的豎向頻率與實(shí)測(cè)頻率能夠很好地吻合，MAC 值也提高了。表明修正后的模型更符合實(shí)際情況，修正后模型的動(dòng)力特性和實(shí)測(cè)的結(jié)果見(jiàn)表2 所示。

表2 修正后計(jì)算和實(shí)測(cè)動(dòng)力特性

從模型修正結(jié)果來(lái)看， 修正后的模型更能符合實(shí)際情況，表明修正后的參數(shù)更接近橋梁的真實(shí)參數(shù)。 從修正后的參數(shù)來(lái)看，混凝土彈性模量有所增加，表明實(shí)際混凝土彈性模量較設(shè)計(jì)要大，本橋使用的是盆式橡膠支座，彈簧剛度較大與橋梁實(shí)際情況較符合，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 動(dòng)力參數(shù)修正表

基于動(dòng)力的混凝土連續(xù)梁橋模型修正表明， 采用聯(lián)合頻率、MAC 和模態(tài)柔度的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修正后，模型的動(dòng)力特性與實(shí)測(cè)的更為接近。 經(jīng)過(guò)修正后的模型理論頻率、振型與實(shí)測(cè)值誤差在3%之內(nèi)，表明修正后的模型與實(shí)際橋梁更為吻合。

2 基于靜力的模型精細(xì)化修正

2.1 基于單目標(biāo)優(yōu)化的有限元模型修正方法

結(jié)構(gòu)靜力有限元模型修正優(yōu)化問(wèn)題中，式(8)為待修正參數(shù)X 的約束狀況，即X 的上、下限條件，決定了它的求解方法。

結(jié)構(gòu)靜力有限元修正優(yōu)化問(wèn)題的求解， 在正常情況下，按無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題求解算法得到的待修正參數(shù)X*處于其合理取值范圍內(nèi)，即滿足Xl≤X*≤Xu，這是最理想的情況。 但是，在少數(shù)情況下，當(dāng)結(jié)構(gòu)初始有限元模型偏差過(guò)大、更多的是結(jié)構(gòu)靜力荷載試驗(yàn)誤差過(guò)大時(shí)，按無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題求解算法得到的X*會(huì)超過(guò)其合理取值范圍，得到的修正結(jié)果是沒(méi)有意義的。 此時(shí)希望在待修正參數(shù)X的合理取值范圍內(nèi)，盡可能得到其最佳解，此條件下，即為約束優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)采用與其相關(guān)的求解算法。

所以， 結(jié)構(gòu)靜力有限元修正優(yōu)化問(wèn)題求解算法的實(shí)現(xiàn)可以按以下方案進(jìn)行：

先按無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題算法求解，若X*滿足Xl≤X*≤Xu，則即為最優(yōu)解；當(dāng)X*超出其合理取值范圍時(shí)，按約束優(yōu)化問(wèn)題算法求解。 當(dāng)然，也可直接按約束優(yōu)化問(wèn)題算法求解， 但其復(fù)雜的算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程在正常情況下是不必要的。

結(jié)構(gòu)靜力有限元修正無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型為

結(jié)構(gòu)靜力有限元修正約束優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型為

無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的求解算法主要有梯度法、 修正Newton、擬Newton 法、共軛梯度法、Powell 直接法等。約束優(yōu)化問(wèn)題的求解算法主要有序列二次規(guī)劃法(Se-quential Quadratic Programming，SQP)、可行方向法、Lagrange-Newton 法等。 其中，梯度法、擬Newton 法、序列二次規(guī)劃法(SQP)由于計(jì)算中不直接使用目標(biāo)函數(shù)的二階微分，是結(jié)構(gòu)靜力有限元修正無(wú)約束和有約束優(yōu)化問(wèn)題的基本求解方法。

2.2 靜載試驗(yàn)概況

(1)試驗(yàn)荷載概況

荷載試驗(yàn)分四個(gè)工況進(jìn)行。荷載效率為1.00～1.05，滿足規(guī)范要求，具體情況見(jiàn)表4。

(2)測(cè)點(diǎn)布置

①應(yīng)變測(cè)點(diǎn)本次靜載試驗(yàn)共布置4 個(gè)應(yīng)變測(cè)試截面，8 個(gè)應(yīng)變測(cè)點(diǎn)。 應(yīng)變測(cè)點(diǎn)布置及編號(hào)見(jiàn)圖3 所示。

表4 各工況加載情況及測(cè)試內(nèi)容匯總表

圖3 應(yīng)變測(cè)點(diǎn)平面布置示意圖

圖4 撓度測(cè)點(diǎn)平面布置示意圖

②撓度測(cè)點(diǎn)

撓度測(cè)試采用水準(zhǔn)儀測(cè)量， 共布置9 個(gè)撓度測(cè)試斷面，18 個(gè)撓度測(cè)點(diǎn)。 撓度測(cè)點(diǎn)布置及編號(hào)見(jiàn)圖4 所示。

3 基于靜載試驗(yàn)?zāi)Ｐ途?xì)化修正后理論結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

(1)修正參數(shù)的選取

有限元模型待修正參數(shù)的選擇， 即結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)偠染仃嚨膮?shù)化，應(yīng)符合以下幾個(gè)基本原則：①所選參數(shù)應(yīng)反應(yīng)結(jié)構(gòu)主要力學(xué)性能； ②靜力實(shí)測(cè)響應(yīng)應(yīng)對(duì)所選參數(shù)具有較高靈敏度；③所選參數(shù)之間應(yīng)彼此獨(dú)立。

由于影響橋梁撓度、 應(yīng)變的主要因素為混凝土彈性模量，因此選擇混凝土的彈性模量作為修正參數(shù)。 從基于靜力模型精細(xì)化修正的結(jié)果來(lái)看， 修正后的模型比修正前更符合實(shí)際情況， 參數(shù)修正后， 彈性模量為3.68×104MPa。

(2)基于靜力模型精細(xì)化修正后理論結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的比較

①靜力修正后的撓度比較結(jié)果

基于靜力精細(xì)化修正后主橋撓度實(shí)測(cè)值與理論值結(jié)果見(jiàn)表5。 可以看出撓度誤差基本在15%以內(nèi)，基本滿足需求。

②靜力修正后的應(yīng)變比較結(jié)果

基于靜力精細(xì)化修正后主橋應(yīng)變實(shí)測(cè)值與理論值結(jié)果見(jiàn)表6。 可以看出應(yīng)變誤差基本在15%以內(nèi)，基本滿足需求。

4 結(jié)論

(1)對(duì)廈門(mén)BRT 混凝土連續(xù)梁橋進(jìn)行環(huán)境振動(dòng)測(cè)試，獲得該橋跨結(jié)構(gòu)的基本動(dòng)力參數(shù)如自振頻率、 阻尼比及固有振型，為有限元模型修正提供依據(jù)。 采用模態(tài)頻率作為目標(biāo)變量，選取混凝土的質(zhì)量密度、彈性模量、橋面鋪裝厚度、支座的彈簧剛度作為修正參數(shù)，豎向前4 階自振頻率作為響應(yīng)特征， 基于動(dòng)力對(duì)該橋的初始有限元模型進(jìn)行了模型修正。 修正后有限元模型的計(jì)算頻率與實(shí)測(cè)頻率誤差在3%以內(nèi)，MAC 值在93%以上，吻合較好。

表5 撓度檢測(cè)結(jié)果與理論值比較表(單位：mm)

表6 應(yīng)變檢測(cè)結(jié)果與理論值比較表

(2)在基于動(dòng)力模型修正的基礎(chǔ)上再進(jìn)行靜力模型精細(xì)化修正， 使得應(yīng)變及撓度的實(shí)測(cè)值與理論值誤差均在15%以內(nèi)， 表明經(jīng)此方法修正后的模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)較吻合。

(3)通過(guò)基于動(dòng)力的有限元模型修正和基于靜力模型精細(xì)化修正，模型能夠精確、有效地反映實(shí)橋狀態(tài)，可以更有效、準(zhǔn)確地進(jìn)行橋梁承載能力評(píng)估。