基于算子分裂法的Riccati方程的近似解

郭 鵬

(上海電機(jī)學(xué)院 商學(xué)院, 上海 201306)

Riccati方程有很多重要的應(yīng)用，如在現(xiàn)代的控制理論中，一個(gè)線性二次型的最優(yōu)控制問題中，最優(yōu)反饋增益矩陣就是通過求解Riccati方程獲得的。李權(quán)等[1]研究了基于Riccati方程的復(fù)合控制導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)，童俊等[2]基于Riccati方程和Kuhn-Munkres算法研究了多傳感器跟蹤資源分配，徐啟華等[3]研究了基于Riccati方程的航空發(fā)動(dòng)機(jī)的魯棒控制。

從這類方程的提出至今已有300余年，早在1841年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Liouville就證明了，Riccati方程一般情況下沒有初等解法，即一般情況下無法用積分法來求解此類方程。Riccati方程的求解，自該方程誕生以來，一直受到很多學(xué)者的關(guān)注。鐘萬勰[4]給出了關(guān)于Riccati方程的精細(xì)積分，楊云路等[5]研究了一類Riccati方程特解的求法，王明建等[6]研究了用一階方程組求Riccati方程的特解。如果已經(jīng)知道Riccati方程的一個(gè)根，將Riccati方程轉(zhuǎn)化為Bernouli方程，對(duì)于Bernoulli方程，我們可以求解，這樣即可給出Riccati方程的解。關(guān)于Riccati方程的研究，還可以參考文獻(xiàn)[7-13]。

對(duì)于Riccati方程的一些特殊情況，已經(jīng)證明了Riccati方程可以用初等方法給出解析解，但是像這類能給出解析解的Riccati方程畢竟是有限的，絕大部分的Riccati方程還是很難求解的。因此，對(duì)于一般情況下的Riccati方程，如何給出其近似解也是值得探討的。

1 Adomian算子分裂法

Adomian算子分裂法是一類解決非線性方程的有效方法[14-15]。下面針對(duì)Adomian方法的具體實(shí)現(xiàn)過程給出一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。對(duì)于每一個(gè)非線性方程，可以將之分解為如下形式：

L(u)+R(u)+N(u)=g

(1)

式中：L(u)為方程最高階算子的線性部分；R(u)為線性部分的余項(xiàng)；N(u)為非線性項(xiàng)；g為右端項(xiàng)。

在一般意義上，算子L是可逆的，如果將L-1同時(shí)作用在式(1)的兩側(cè)，即可以得到

u=-L-1R(u)-L-1N(u)+L-1g+φ

(2)

式中：φ同時(shí)滿足初始條件和Lφ=0；L-1的形式取決于算子L，如果L是一階導(dǎo)數(shù)，那么L-1就是一重積分，如果L是二階導(dǎo)數(shù)，那么L-1就是二重積分。

(3)

式中：n∈N。顯然對(duì)于前幾項(xiàng)Adomian多項(xiàng)式，可以寫出具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(4)

將式(4)代入式(2)，即有

(5)

如果將u0取為u0=L-1g+φ，這時(shí)可以獲得如下的關(guān)系：

(6)

理論上來說，有了上述的遞推關(guān)系，就可以求出所有的ui(i=1，2，…)，進(jìn)而給出方程解的具體表達(dá)式。求出所有項(xiàng)然后再給出解的表達(dá)式顯然是不可能完成的，但是Adomian多項(xiàng)式一般有著良好的收斂性，通常情況下，只需要計(jì)算出有限的幾項(xiàng)，就可以給出收斂精度較好的結(jié)果。關(guān)于Adomian方法的收斂性，Cherruault等[16]給出了一系列證明。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1研究的非線性Riccati方程，形式如下：

(7)

該方程滿足的初始條件y|t=0=2。

為了便于討論，將方程(7)寫成如下形式：

(8)

在這里L(fēng)是一階導(dǎo)數(shù)，則L-1為一重積分，線性項(xiàng)為(2t-1)y，非線性項(xiàng)為(1-t)y2，右端項(xiàng)為t。為了更直觀說明計(jì)算過程，接下來取n=3，按照所給的格式，可以得到如下一系列表達(dá)式：

(9)

上面的這幾項(xiàng)即為我們研究的Riccati方程級(jí)數(shù)形式解的前幾項(xiàng)，如果將所得到的這幾項(xiàng)相加，即有如下的近似解：

(10)

對(duì)于Adomian算子分裂法，理論上計(jì)算項(xiàng)數(shù)越多，近似效果越好。對(duì)于n較大時(shí)，近似解的表達(dá)式也可類似給出，一般表達(dá)式比較繁瑣，這里略去。本文中的關(guān)于解析近似解的計(jì)算都是在Maple12上進(jìn)行的，關(guān)于數(shù)值計(jì)算的結(jié)果都是在Matlab上計(jì)算的。圖1中給出了Riccati方程精確解與n取不同值時(shí)，所得近似解。由圖可見，“*”型線表示的是n=9時(shí)的近似解，非常明顯，n=9時(shí)的近似解比n=3和n=6時(shí)的近似解更接近精確解。當(dāng)n越大時(shí)，近似解越接近精確解。

圖1 當(dāng)n取不同值時(shí)，Riccati方程近似解與精確解的比較

表1給出了當(dāng)n=9時(shí)，自變量t取不同值時(shí)，Riccati方程近似解，精確解及絕對(duì)誤差。從絕對(duì)誤差一欄可以看出，算子分裂法在計(jì)算Riccati方程的近似解的誤差是比較小的，如果將n取得更大一些，絕對(duì)誤差還會(huì)更小。

表2中給出n取不同值時(shí)，分別給出所得到近似解與精確解之間的誤差。從絕對(duì)誤差結(jié)果中，可以看出t取不同值時(shí)，n越大，絕對(duì)誤差越小，這也從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了算子分裂法的收斂效果。如果希望得到誤差更小的近似解，只需將n取大一些，多計(jì)算幾項(xiàng)即可。

表1 當(dāng)n=9時(shí)，Riccati方程近似解及絕對(duì)誤差

例2下面研究的非線性Riccati方程形式如下：

(11)

該方程滿足的初始條件y|t=0=2。

在這里，線性項(xiàng)為-2e2ty，非線性項(xiàng)為ety2，右端項(xiàng)為et-e3t。當(dāng)選取n=3時(shí)，給出該方程級(jí)數(shù)形式解的前幾項(xiàng)的具體表達(dá)式如下：

(12)

由此可得當(dāng)n=3時(shí)解析近似解的表達(dá)式：

(13)

也可得當(dāng)n=6時(shí)解析近似解的表達(dá)式：

(14)

當(dāng)n=6時(shí)，從解的形式上明顯能夠看出，解的表達(dá)式比n=3要復(fù)雜一些。當(dāng)n=6時(shí)，解的表達(dá)式的精確度要比n=3時(shí)的解析解的精確度要好(見表3、圖2)。解析解精確度的增加是以計(jì)算量的增加為代價(jià)的，越高的精確度也就意味著計(jì)算量的增加。類似的，還可給出當(dāng)n=9時(shí)的解析近似解的表達(dá)式，由于當(dāng)n=9時(shí)的表達(dá)式太冗長(zhǎng)，表達(dá)式的具體形式從略。

表3 當(dāng)n取不同值時(shí)，Riccati方程近似解與精確解的絕對(duì)誤差

圖2 當(dāng)n取不同值時(shí)，Riccati方程近似解與精確解的比較

在圖2中，給出了n=6，9，12時(shí)，精確解與解析近似解的比較。由圖2可見當(dāng)n=12時(shí)“□”線型所表示的解析近似解最接近精確解，而n=6時(shí)“○”線型所表示的解析近似解與精確解的誤差最大。

表3中給出了n取不同值時(shí)，所得到近似解與精確解之間的誤差。從絕對(duì)誤差結(jié)果中可以看出，t取不同值時(shí)，n越大，絕對(duì)誤差越小，同時(shí)也能夠看出精確度的增加是以計(jì)算量的增加為代價(jià)的。理論上來說計(jì)算的項(xiàng)數(shù)越多，所得結(jié)果的精確度也就越高。

3 結(jié) 語

本文首先介紹了Adomian算子分裂法，并給出了該算子分裂法的一般計(jì)算過程，結(jié)合Adomian多項(xiàng)式，給出了解析近似解的遞推關(guān)系。其次，針對(duì)很難給出解析解的Riccati方程，將Adomian算子分裂法引入計(jì)算，將Riccati方程分為線性部分、非線性部分、右端項(xiàng)等。緊接著，在第一個(gè)例題中給出了Riccati方程，當(dāng)n=3時(shí)的解析近似解的具體表達(dá)式，并探討了當(dāng)n=3，6，9時(shí)，解析解與精確解的誤差。在第2個(gè)例子中，不僅給出了當(dāng)n=3時(shí)的解析近似解的具體表達(dá)式，還給出了當(dāng)n=6時(shí)的解析近似解，對(duì)于n=6，9，12時(shí)，也給出了解析近似解與精確解的誤差。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，n取得越大，解的精度就越高，理論上來說，只要n取得足夠大，就能夠得到任意的精度。但是獲得的精度越高，計(jì)算量也就越大，計(jì)算機(jī)就需要花費(fèi)很多內(nèi)存來保存解析近似解。最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們只選取了有限的幾項(xiàng)，驗(yàn)證了算子分裂法的收斂效果，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果充分表明，該方法對(duì)于求解Riccati方程非常有效。

在后續(xù)的工作中，我們將嘗試把Adomian算子分裂法引入到求解其他類型的微分方程，同時(shí)還將考慮引用改進(jìn)的Adomian算子分裂法，以期在計(jì)算相同項(xiàng)數(shù)的同時(shí)獲得更高的計(jì)算精度。