感應(yīng)同步器前處理模擬電路誤差對(duì)系統(tǒng)測(cè)量精度影響分析

李太平 齊曉軍 夏振濤

(1．上海衛(wèi)星裝備研究所，上海 200240；2．上海裕達(dá)實(shí)業(yè)有限公司,上海 200240)

1 引 言

感應(yīng)同步器[1,2]是一種基于電磁感應(yīng)原理，用于測(cè)量相對(duì)角度或者相對(duì)位移的測(cè)量元件。由于其制備材料相對(duì)較為成熟、可靠，本身具有很強(qiáng)的抗干擾、防輻射能力，同時(shí)具有少量污染不敏感的特點(diǎn)，因此得到了廣泛的應(yīng)用。

感應(yīng)同步器研究國(guó)外起步較早，典型的如美國(guó)AER-1004、MPACS 30H系列轉(zhuǎn)臺(tái)等[3]；國(guó)內(nèi)哈工大也做了很多研究，DPCT-2單軸伺服轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)現(xiàn)了高精度測(cè)量，測(cè)量精度為0.0001°[4]。早期的感應(yīng)同步器測(cè)量系統(tǒng)多數(shù)通過反三角函數(shù)查表的方式[5～9]，直接開環(huán)測(cè)量獲得感應(yīng)同步器的電氣轉(zhuǎn)角。此種外圍電路復(fù)雜，需要存儲(chǔ)大量的反三角函數(shù)，但是其方法理論簡(jiǎn)單，所以早期的感應(yīng)同步器處理芯片也采用此種算法。但是此種算法只能輸出一個(gè)電氣周期內(nèi)的電氣轉(zhuǎn)角，無法獲得當(dāng)前系統(tǒng)的電氣周期數(shù)，所以現(xiàn)在新型的解算器均不采用此種方法，而是采用II型跟蹤系統(tǒng)自動(dòng)跟蹤的方法。本文據(jù)此仿真分析了感應(yīng)同步器前處理電路中誤差對(duì)系統(tǒng)測(cè)量精度的影響，并最終給出了電路誤差對(duì)系統(tǒng)測(cè)量精度影響的理論計(jì)算公式。

2 理論分析

2.1 前置放大電路

如圖1所示，SIN_C、COS_C為感應(yīng)同步器的輸出信號(hào)，其幅值很低，需要通過一個(gè)帶通濾波器進(jìn)行濾波放大，生成新的信號(hào)SIN_F、COS_F，一般幅值放大倍數(shù)不小于60dB，需要通過多級(jí)串聯(lián)實(shí)現(xiàn)放大；R_C為原始感應(yīng)同步器勵(lì)磁參考信號(hào)，由于最終輸入到解算電路中的參考信號(hào)需要和SIN_F、COS_F滿足一定的相位關(guān)系，所以也經(jīng)過一個(gè)特定的帶通濾波器，生成R_F。

圖1 感應(yīng)同步器前處理電路輸入輸出信號(hào)Fig.1 Inductor synchronizer pre-processing circuit input and output signals

經(jīng)過帶通濾波器后的三個(gè)信號(hào)的理想數(shù)學(xué)表示分別為

SSIN_F=ASIN_FsinθsinΩt

(1)

SCOS_F=ACOS_FcosθsinΩt

(2)

SR_F=AR_FsinΩt

(3)

式中：SSIN_F、SCOS_F、SR_F——分別為圖1中SIN_F、COS_F和R_F信號(hào)；ASIN_F、ACOS_F、AR_F——分別為三個(gè)信號(hào)的幅值，且滿足ASIN_F=ACOS_F；θ——電氣轉(zhuǎn)角；Ω——?jiǎng)?lì)磁頻率；t——時(shí)間。

2.2 跟蹤算法

圖2 跟蹤算法Fig.2 Tracking algorithm

圖2為系統(tǒng)的跟蹤框圖，圖中：Ka=62000；T1=0.0061；T2=0.001。其中f的表達(dá)式為[10]

f=(SSIN_FcosθOUT-SCOS_FsinθOUT)SR_F

(4)

式中：f——誤差生成函數(shù)；θOUT——跟蹤系統(tǒng)的角度輸出。

2.3 跟蹤系統(tǒng)穩(wěn)定性

將公式(1)、公式(2)、公式(3)代入公式(4)中，可得

(5)

式中：Δθ=θ-θOUT。

圖3 線性化系統(tǒng)Fig.3 Linearization system

圖4 系統(tǒng)bode圖Fig.4 System bode diagram

圖3所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6)

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(7)

對(duì)于位置、速度和加速度輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(8)

式中：u(s)——輸入信號(hào)。

由于測(cè)角系統(tǒng)主要用于測(cè)量角位移、角速度以及角加速度，但是在角加速度不為0時(shí)，系統(tǒng)處于加速狀態(tài)，一般對(duì)系統(tǒng)的測(cè)量精度要求都不高，而對(duì)于穩(wěn)態(tài)角速度和角位移，測(cè)量精度要求較高，所以以下主要是針對(duì)速度跟蹤的誤差進(jìn)行分析。

圖5 系統(tǒng)初始誤差Fig.5 System initial error

(9)

在Δθ初始分別取值-π、-3π/4、-π/4、3π/4、π時(shí)進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖6所示，其中x軸為時(shí)間，y軸為輸出的角度，結(jié)果表明系統(tǒng)穩(wěn)定，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤。同時(shí)，當(dāng)初值為-π和π時(shí)，顯然系統(tǒng)的“啟動(dòng)”時(shí)間很長(zhǎng)，在經(jīng)過0.15s后才開始“上升階段”，在0.15s之前，依靠頻率為2Ω的高頻噪聲通過兩次積分，使其偏離滿足sinΔθ=0，但是Δθ≠2nπn∈N的點(diǎn)。

3 誤差仿真分析

在無特殊說明下，后文的仿真均取以下參數(shù)：Ω=10kHz，θ=2πt，仿真步長(zhǎng)不大于1×10-6s。

3.1 SIN_C、COS_C相移不同步分析

SIN_C和COS_C端的信號(hào)經(jīng)過放大后，分別為sinθsinΩt、cosθsin(Ωt+φ)，φ為一個(gè)偏差小量，絕對(duì)值不大于0.05rad。輸出為φ，則輸入到積分端的誤差函數(shù)為

esd=sinθcosφsin2Ωt-sinφcosθsin(Ωt+φ)sinΩt

(10)

令esd=0，同時(shí)，當(dāng)跟蹤上時(shí)θ≈φ，同時(shí)考慮2sin2Ωt=1-cos2Ωt，由公式(10)可得

(11)

表1 不同相移下的理論誤差與仿真誤差

表1中：φ——SIN_C和COS_C的相位差；ΔθS——仿真得到的最大誤差；ΔθT——公式(11)計(jì)算得到的最大理論誤差，即公式(11)θ=π/4；Err——(ΔθS-ΔθT)/ΔθT×100%。

由圖7可知，誤差絕對(duì)值最大點(diǎn)的橫坐標(biāo)為θ=π/4+nπ，n為整數(shù)，與公式(11)一致。由表1可得：理論誤差與仿真誤差的吻合度很高，最大相對(duì)誤差為0.64%，驗(yàn)證了公式(11)。

圖6 系統(tǒng)在不同初始誤差下的跟蹤結(jié)果Fig.6 Tracking results of the system at different initialerrors

圖7 信號(hào)不同相移下的誤差結(jié)果Fig.7 Error results under different phase shifts of the signals

3.2 參考信號(hào)相位誤差分析

R_C端的信號(hào)經(jīng)過放大后為cosθsin(Ωt+φs)，φs為一個(gè)偏差小量，絕對(duì)值不大于0.05rad。輸出為φ，則輸入到積分端的誤差函數(shù)為

(12)

忽略公式(12)高頻項(xiàng)，則

(13)

所以，參考信號(hào)的相位誤差相當(dāng)于在圖3所示的跟蹤系統(tǒng)中的Ka乘以一個(gè)系數(shù)cosφs，cosφs為正，且保證系統(tǒng)仍然處于穩(wěn)定狀態(tài)，則不會(huì)由此產(chǎn)生測(cè)量誤差，如圖8所示。但是由于Ka發(fā)生變化，所以系統(tǒng)的跟蹤性能發(fā)生了變化，上升時(shí)間和超調(diào)量均會(huì)發(fā)生變化，如圖9所示。

圖8 參考信號(hào)不同相移誤差跟蹤曲線Fig.8 Tracking diagrams of reference signal different phase shift errors

圖9 參考信號(hào)不同相移誤差跟蹤曲線局部放大Fig.9 Partial enlargement of tracking diagrams of reference signal different phase shift errors

3.3 電路調(diào)幅誤差

SIN_C和COS_C端的信號(hào)經(jīng)過放大后，分別為sinθ、(1-k)cosθ，k為一個(gè)偏差小量，絕對(duì)值不大于0.05。輸出為φ，同時(shí)考慮2sin2Ωt=1-cos2Ωt，忽略高頻信號(hào)，則誤差函數(shù)為

esd=sinθcosφ-(1-k)cosθsinφ=sin(θ-φ)+kcosθsinφ

(14)

令esd=0，同時(shí)，當(dāng)完成跟蹤時(shí)θ≈φ，由公式(14)可得

sin(θ-φ)+kcosθsinθ=0

所以

(15)

圖10 不同幅值偏差下的仿真誤差Fig.10 Simulation error under different amplitude deviations

由圖10可知，誤差絕對(duì)值最大點(diǎn)的橫坐標(biāo)為θ=π/4+nπ，n為整數(shù)，與公式(15)一致。由表2可看出：理論誤差與仿真誤差的吻合度很高，最大相對(duì)誤差為2%，驗(yàn)證了公式(15)。

表2 不同幅值偏差下的理論誤差與仿真誤差

表2中：k——SIN_C和COS_C的幅值偏差小量；ΔθS——仿真得到的最大誤差；ΔθT——公式(15)計(jì)算得到的最大理論誤差，即公式(15)中θ=π/4；Err——(ΔθS-ΔθT)/ΔθT×100%。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過引入?yún)⒖夹盘?hào)，此跟蹤算法能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定跟蹤；前置放大電路中，SIN_F、COS_F的相位不同，會(huì)造成系統(tǒng)的測(cè)量誤差為Δθ=arcsin[sin2θ·(1-cosφ)/2]；參考信號(hào)的相位誤差，在保證相位誤差的余弦值符號(hào)不發(fā)生變化時(shí)，會(huì)造成系統(tǒng)實(shí)際增益變化，但不會(huì)直接造成系統(tǒng)的速度跟蹤誤差，考慮到調(diào)相電路的難度，應(yīng)將該誤差絕對(duì)值控制在45°內(nèi)；SIN_F、COS_F的調(diào)幅誤差，會(huì)造成系統(tǒng)的測(cè)量誤差為Δθ=-arcsin[k(sin2θ)/2]。