旋轉(zhuǎn)彈控制耦合的分?jǐn)?shù)階滑模解耦

戴樹濤，陳華兵，程養(yǎng)民，楊宇星

(西安航天動(dòng)力技術(shù)研究所，陜西 西安 710025)

0 引言

導(dǎo)彈武器或運(yùn)載火箭采用旋轉(zhuǎn)體制能夠提升穩(wěn)定性，有利于提高導(dǎo)彈克服諸如推力偏心、起控點(diǎn)散布、質(zhì)量分布不均勻、隨機(jī)陣風(fēng)等干擾的能力[1]。為提升旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的過載能力，因此產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈雙通道控制，以解決傳統(tǒng)單通道控制的過載能力不足[2]。但是旋轉(zhuǎn)體制同時(shí)也會(huì)帶來俯仰、偏航雙通道的交叉耦合[3]，這些耦合主要包括陀螺慣性耦合、馬格努斯氣動(dòng)耦合以及舵系統(tǒng)控制耦合。耦合會(huì)對控制系統(tǒng)的工作造成不利的影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致失穩(wěn)，因此解耦成為旋轉(zhuǎn)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的首要問題。在這些耦合因素中，運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合造成的通道間耦合往往較小，且隨自旋轉(zhuǎn)速的變化不大，所以雙通道解耦的重點(diǎn)就是消除舵系統(tǒng)的控制耦合[4]。閆曉勇等人基于一階舵系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)了指令超前補(bǔ)償解耦控制器[5]，實(shí)現(xiàn)了舵系統(tǒng)的解耦。李永亮通過研究十字型鴨翼旋轉(zhuǎn)彈模型[6]，對一階舵系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)了前置補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)了鴨式舵系統(tǒng)的解耦?？偟膩碚f，這些傳統(tǒng)解耦方法的思路都是基于舵系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，通過前饋補(bǔ)償、指令超前補(bǔ)償?shù)榷嘧兞款l域方法設(shè)計(jì)解耦控制器實(shí)現(xiàn)對角占優(yōu)，使得傳遞函數(shù)矩陣的非對角元素為0或者近似為0，從而達(dá)到解耦的目的。但以上方法的最大問題在于需要對傳遞函數(shù)矩陣進(jìn)行復(fù)雜且計(jì)算量較大的求逆運(yùn)算，如果傳遞函數(shù)矩陣的階次較高或者系統(tǒng)模型復(fù)雜，求逆操作往往不易實(shí)現(xiàn)。而且在求逆計(jì)算中，易出現(xiàn)矩陣接近奇異使得求逆運(yùn)算的結(jié)果已不可采用的情況。除此之外，基于頻域方法設(shè)計(jì)的解耦控制器只能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件下的靜態(tài)解耦，且一旦舵系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)或者自旋轉(zhuǎn)速產(chǎn)生變化，解耦效果便難以保證。

為解決以上問題，本文基于更為貼合工程實(shí)際的二階舵系統(tǒng)模型，通過推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)舵系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示，采用分?jǐn)?shù)階微積分理論和滑模變結(jié)構(gòu)控制理論來設(shè)計(jì)舵系統(tǒng)的解耦控制器，以避免對傳遞函數(shù)矩陣求逆。仿真結(jié)果表明，滑模解耦能夠提升解耦控制系統(tǒng)對參數(shù)攝動(dòng)和轉(zhuǎn)速變化的魯棒性，采用分?jǐn)?shù)階微積分理論能夠減小滑?？刂品椒ǖ亩墩?。

1 舵系統(tǒng)的模型及耦合分析

1.1 舵系統(tǒng)的二階狀態(tài)空間模型

為避免自旋造成的不便，旋轉(zhuǎn)彈的建模往往基于準(zhǔn)彈體系，而舵系統(tǒng)是在旋轉(zhuǎn)的彈體系下生成舵偏角[7]，故先將彈體系下的舵系統(tǒng)輸入輸出信號投影到準(zhǔn)彈體系下。彈體系和準(zhǔn)彈體系下舵偏角的關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈體系和準(zhǔn)彈體系下舵偏角關(guān)系圖

圖1中δzb和δyb分別為彈體系下俯仰舵偏角和偏航舵偏角，δz和δy分別為準(zhǔn)彈體系下俯仰舵偏角和偏航舵偏角。假設(shè)滾轉(zhuǎn)角為γ，由準(zhǔn)彈體系到彈體系下的舵系統(tǒng)指令變換關(guān)系為

(1)

為了分析問題的簡化，作以下假設(shè)：忽略導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)通道的動(dòng)態(tài)變化過程，并且由于導(dǎo)彈旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速的變化較緩慢，可假設(shè)導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)速度ωx不變，對式(1)求一階導(dǎo)數(shù)如下：

(2)

對式(2)再求導(dǎo)如下：

(3)

彈體系下舵機(jī)的系統(tǒng)模型一般表示為二階傳遞函數(shù)：

(4)

式中：Ts為舵機(jī)的時(shí)間常數(shù)，μs為舵機(jī)的阻尼系數(shù)，這2個(gè)參數(shù)為舵機(jī)的重要參數(shù)，受舵機(jī)硬件水平的限制。則根據(jù)式(4)可知彈體系下舵機(jī)的輸出舵偏角向量δb=(δzb，δyb)T與舵機(jī)的輸入信號δbc之間的關(guān)系如下：

(5)

將式(2),(3)代入到式(5)，并根據(jù)式(1)將指令投影到準(zhǔn)彈體系下，可得

(6)

式中：δ=(δz，δy)T和δc=(δzc，δyc)T分別為準(zhǔn)彈體系下的舵機(jī)輸出信號和輸入信號。

為了得到準(zhǔn)彈體系下舵機(jī)的狀態(tài)空間模型，選取狀態(tài)向量x=(x1,x2,x3,x4)T，各分量如下：

(7)

選取輸出向量y=(y1，y2)T,各分量為

(8)

可得舵機(jī)的狀態(tài)空間模型為

(9)

式中：u為解耦后舵系統(tǒng)的輸入信號，若沒有解耦控制器，則u=δc；

1.2 舵系統(tǒng)的耦合特性分析

為了便于分析舵系統(tǒng)的耦合特性，對式(6)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到準(zhǔn)彈體系下舵機(jī)傳遞函數(shù)矩陣為

(10)

式中：

由傳遞函數(shù)矩陣可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈體的滾轉(zhuǎn)速度為0時(shí)，即彈體不滾轉(zhuǎn)時(shí)非對角元素為0，此時(shí)不存在耦合。彈體滾轉(zhuǎn)使得舵系統(tǒng)的階次由二次變?yōu)樗拇?，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，且此時(shí)舵系統(tǒng)的頻帶與彈體滾轉(zhuǎn)速度相關(guān)。

為分析轉(zhuǎn)速對耦合效應(yīng)的影響，使用Matlab軟件對舵系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真，舵機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 舵機(jī)參數(shù)取值

分別給定俯仰舵指令信號為單位階躍信號和頻率為2 Hz，幅值為1的正弦信號，繪制出轉(zhuǎn)速分別為3，5，10 r/s時(shí)的偏航舵響應(yīng)信號曲線如圖2，3所示。

圖2 偏航舵耦合階躍響應(yīng)

由圖2可得出，轉(zhuǎn)速越大，控制耦合越嚴(yán)重。對本舵機(jī)參數(shù)而言，轉(zhuǎn)速3 r/s時(shí)穩(wěn)態(tài)耦合量約為15%，轉(zhuǎn)速5 r/s時(shí)穩(wěn)態(tài)耦合量約為32%，轉(zhuǎn)速10 r/s時(shí)穩(wěn)態(tài)耦合量約為60%。

圖3 偏航舵耦合正弦響應(yīng)

由圖3也能看出轉(zhuǎn)速越大，耦合程度越大，并且舵系統(tǒng)延遲時(shí)間也越長。

綜合以上分析可以得出，控制耦合的程度與彈體滾轉(zhuǎn)速度呈正相關(guān)，且耦合越劇烈，舵系統(tǒng)延時(shí)越長。

2 滑模變結(jié)構(gòu)解耦控制器

為改善轉(zhuǎn)速和參數(shù)變化下傳統(tǒng)解耦方法效果差的問題，采用滑模變結(jié)構(gòu)理論設(shè)計(jì)解耦控制器，其解耦控制結(jié)構(gòu)圖如圖4。

圖4 解耦回路圖

以δc=(δzc，δyc)T為舵指令信號，δ=(δz，δy)T為舵輸出信號。令e1，e2為跟蹤誤差，則e1=δzc-δz，e2=δyc-δy，故解耦控制的目標(biāo)即使得e1=e2=0。令e=(e1，e2)T，取滑模面函數(shù)為

(11)

對式(11)求導(dǎo)，可得

(12)

采用指數(shù)趨近律，為減少抖振趨近律中采用飽和函數(shù)，飽和函數(shù)表達(dá)式如下：

(13)

式中：Δ為正數(shù)。

設(shè)計(jì)趨近律如下：

(14)

(15)

由式(9)可推得：

(16)

將式(15)與式(16)聯(lián)立，可得到設(shè)計(jì)的滑?？刂坡蔀?/p>

(17)

3 分?jǐn)?shù)階滑模解耦控制器

滑模控制器雖然具有很多優(yōu)點(diǎn)，但也存在固有的抖振問題，這不利于工程實(shí)際應(yīng)用。使用分?jǐn)?shù)階微積分算子代替滑模控制器設(shè)計(jì)中變化劇烈的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，有利于減小滑模控制的抖振，因此使用分?jǐn)?shù)階微積分理論對滑模控制器進(jìn)行優(yōu)化。

3.1 分?jǐn)?shù)階算子的近似方法

目前，盡管一些學(xué)者對分?jǐn)?shù)階微積分控制器做了相關(guān)研究[8-11]，分?jǐn)?shù)階理論在數(shù)學(xué)上還是較難直接實(shí)現(xiàn)的，無法求得其精確值，主要還是采用有限的整數(shù)階微積分近似逼近。Outstaloup A提出了Outstaloup遞歸濾波器的有理化近似法[12]，該方法率先提供了一種分?jǐn)?shù)階算子的實(shí)現(xiàn)途徑，為其他方法的產(chǎn)生奠定了理論基礎(chǔ)。因整數(shù)階微分的幅相特性隨頻率變化，因此在近似逼近時(shí)要選定一個(gè)頻段。假定濾波頻帶為(ωb,ωh)，則可以構(gòu)造Outstaloup濾波器為

(18)

由于該方法的近似效果一般，因此也有其他學(xué)者提出了逼近方法，其中東北大學(xué)薛定宇教授等人在Outstaloup濾波器的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的Outstaloup濾波器法[13]。令

(19)

式中：α為分?jǐn)?shù)階次，0<α<1;b>0;d>0。

對L(s)進(jìn)行一階Taylor展開，整理可得

(20)

本文采用改進(jìn)型Outstaloup濾波器來近似分?jǐn)?shù)階算子。

3.2 分?jǐn)?shù)階滑模解耦控制器

取滑模面函數(shù)為

s=Ke+Dαe，

(21)

式中：Dα為分?jǐn)?shù)階微分算子，表示求α次導(dǎo)數(shù)，0<α<1。對式(21)求導(dǎo)，得

(22)

按照式(14)設(shè)計(jì)趨近律，并進(jìn)行類似于前述的推導(dǎo)過程，可得出控制律為

D1-α(εsat(s)+ps)).

(23)

4 仿真校驗(yàn)

4.1 仿真過程及參數(shù)

設(shè)導(dǎo)彈自旋轉(zhuǎn)速為3 r/s，舵機(jī)參數(shù)如表1所示。需要說明的是，表1中舵機(jī)參數(shù)的選取不能隨意設(shè)置，因?yàn)樾D(zhuǎn)導(dǎo)彈彈體固有頻率fn、自旋頻率fx和舵系統(tǒng)帶寬fb之間應(yīng)滿足以下關(guān)系[14]：

1.8fn

(24)

否則會(huì)引起系統(tǒng)共振，導(dǎo)致災(zāi)難性后果。因fx=3 Hz,取fb=8 Hz，則ωb≈50.880 8 rad。

根據(jù)二階系統(tǒng)帶寬計(jì)算公式[15]：

(25)

取阻尼系數(shù)μs=0.5，可推出ωs≈40，故Ts=1/ωs=0.025。

按照式(17)的設(shè)計(jì)思路搭建模型進(jìn)行仿真，滑模解耦控制器各參數(shù)取值如表2所示。

表2 滑模解耦參數(shù)取值

按照式(23)的設(shè)計(jì)思路搭建模型進(jìn)行仿真，分?jǐn)?shù)階滑模解耦控制器各參數(shù)取值如表3所示。

表3 分?jǐn)?shù)階滑模解耦參數(shù)取值

4.2 仿真結(jié)果及分析

將俯仰舵指令信號設(shè)為單位階躍信號，偏航舵指令置0，將前饋解耦方法、滑模解耦方法、分?jǐn)?shù)階滑模解耦方法3種方法舵輸出信號的仿真曲線繪制如圖5，并將圖5的定量分析結(jié)果繪制如表4。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)值下3種解耦方法響應(yīng)對比

表4 圖5結(jié)果對比

由圖5和表4可知，滑模解耦和分?jǐn)?shù)階滑模解耦能夠消除響應(yīng)的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差，響應(yīng)速度僅為0.03 s，其解耦精度比傳統(tǒng)前饋解耦更高。

將俯仰舵指令信號設(shè)為單位階躍信號，偏航舵指令置0。為驗(yàn)證滑模解耦控制器對參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性，分別將舵機(jī)的時(shí)間常數(shù)、阻尼系數(shù)和彈體轉(zhuǎn)速拉偏10%,20%和30%，將前述3種方法的偏航舵耦合輸出信號的仿真曲線繪制如圖6，定量結(jié)果如表5。

圖6 參數(shù)拉偏下3種解耦方法偏航舵耦合對比

由圖6和表5可知，前饋解耦方法對參數(shù)變化無魯棒性，滑模解耦能夠抑制30%的參數(shù)偏差所引起的不利影響。還可發(fā)現(xiàn)Ts和ωx的變化對前饋解耦的效果影響較大，而μs的變化對前饋解耦的效果影響較小。

表5 圖6參數(shù)拉偏下耦合輸出量對比

圖7 兩種滑模方法的結(jié)果對比

由圖7可知，采用傳統(tǒng)滑模方法，穩(wěn)態(tài)控制量抖振幅值為1左右，舵偏角變化率抖振幅值為2左右，這些抖振均不利于舵系統(tǒng)安全穩(wěn)定工作。采用分?jǐn)?shù)階滑模解耦能夠消除控制量和舵偏角變化率的抖振，以保護(hù)舵系統(tǒng)，且能夠減小跟蹤誤差，提高跟蹤精度。

5 結(jié)束語

本文針對旋轉(zhuǎn)彈箭雙通道舵系統(tǒng)的解耦問題，為解決傳統(tǒng)頻域補(bǔ)償方法需要求逆和對參數(shù)攝動(dòng)魯棒性差的問題，設(shè)計(jì)了滑模解耦控制器，并且為抑制滑模方法的抖振，引入了分?jǐn)?shù)階微積分理論，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑模解耦控制器。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的解耦控制器能夠滿足舵機(jī)系統(tǒng)的解耦要求，且能夠解決傳統(tǒng)解耦方法存在的問題，具備一定的工程應(yīng)用價(jià)值。