基于梯形分布的雙方叫價(jià)拍賣博弈及均衡分析

■ 崔曉婕（甘肅有色冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

拍賣是一種典型的市場交易方式，集中市場競爭的特點(diǎn)使其能更有效地進(jìn)行資源配置。拍賣有多種形式，一級(jí)密封拍賣和雙方叫價(jià)拍賣是兩種常見的拍賣方式。國內(nèi)外學(xué)者們對(duì)這兩種拍賣理論做了很多研究工作，已經(jīng)取得了一些研究成果，但是他們的拍賣設(shè)計(jì)模型都是把賣者的偏好服從均勻分布作為一個(gè)基本的假設(shè)條件，其實(shí)這一假設(shè)忽略了一個(gè)重要事實(shí)，即如果投標(biāo)人具有一定的知識(shí)和理性，在拍賣過程中會(huì)表現(xiàn)出明顯的集中趨勢。所以正態(tài)分布或偏態(tài)分布更符合拍賣者的偏好規(guī)律，文獻(xiàn)[2]提出用三角形分布來模擬正態(tài)分布建立模型。本文則針對(duì)拍賣者的偏好規(guī)律，提出一種比三角形分布更符合實(shí)際的分布函數(shù)—梯形分布，這種分布函數(shù)體現(xiàn)了實(shí)際拍賣市場中拍賣者的偏好不僅具有集中趨勢，還會(huì)在集中點(diǎn)保持一定的平衡。所以本文用梯形分布代替均勻分布來改進(jìn)模型，最終所得均衡結(jié)果與現(xiàn)實(shí)的吻合性明顯優(yōu)于經(jīng)典模型，對(duì)實(shí)際拍賣工作具有一定現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

一、雙方叫價(jià)拍賣模型

（一）經(jīng)典雙方叫價(jià)拍賣模型

在雙方叫價(jià)拍賣中，潛在的賣者和買者同時(shí)開價(jià)，賣者提出要價(jià)，買者提出出價(jià)，然后拍賣商選擇成交價(jià)格p清算市場；所有要價(jià)低于p賣者賣出，所有出價(jià)高于p的買者買入；在價(jià)格p下的總供給等于總需求。首先看以下肖特金和薩繆爾遜建立的一個(gè)簡單的雙方叫價(jià)拍賣模型，在該模型中有一個(gè)買者和賣者交易單一不可分物品，賣方的成本為c，物品對(duì)買方的價(jià)值為v，且v∈[0,1]，c∈[0,1]。雙方同時(shí)報(bào)價(jià)和，當(dāng)時(shí)成交且交易價(jià)格否則無交易發(fā)生。這樣，在交易的情況下，賣者的效用是，買者的效用是若交易不發(fā)生，他們的效用均為0。在此交易機(jī)制下，如果信息是完全的，物品對(duì)賣方的成本c和對(duì)買方的價(jià)值v為共同知識(shí)，這就成了一個(gè)納什需求博弈問題，當(dāng)v＞c時(shí)，該完全信息博弈有連續(xù)的純戰(zhàn)略帕累托有效均衡：賣者和買者開出相同的價(jià)格每一方得到正的剩余。

下面我們看不完全信息的情況，即c和v各為私人信息，但雙方的估值分布是共同知識(shí)。那么戰(zhàn)略組合是一個(gè)貝葉斯均衡，如果下列條件成立：

因?yàn)関在[0,1]上均勻分布，因此我們有

代入（1）式后，最優(yōu)化的一階條件為：

同理我們可以得到買者的最優(yōu)化一階條件：

解兩個(gè)一階條件得均衡戰(zhàn)略為：

（二）基于梯形分布的雙方叫價(jià)拍賣模型

若一個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)可以表示為：

則稱該隨機(jī)變量在區(qū)間[0,1]上服從梯形分布。（密度函數(shù)圖像如圖1）

圖1 梯形分布密度函數(shù)圖

下面我們假設(shè)c和v都服從區(qū)間[0,1]上的梯形分布。

1.賣者最優(yōu)

其次，由于

其中

所以

⑴若

由一階條件得

由一階條件得

由一階條件得

2.買者最優(yōu)

對(duì)于買者我們做同樣的分析。

首先，因?yàn)?/p>

由一階條件得

二、基于梯形分布的雙方叫價(jià)拍賣模型的均衡分析

以下我們通過數(shù)值實(shí)例對(duì)兩種分布下的雙方叫價(jià)拍賣模型進(jìn)行分析比較。假設(shè)

在此情況下，無論是改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型還是經(jīng)典的雙方叫價(jià)模型買者的出價(jià)都高于賣者的要價(jià)，所以兩個(gè)模型都能達(dá)到均衡，但是如果記為改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型的買者與賣者的要價(jià)差，記為經(jīng)典的雙方叫價(jià)模型的買者與賣者的要價(jià)差，我們有則也就是說，在此情況下改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型的買賣雙方的報(bào)價(jià)差小于經(jīng)典雙方叫價(jià)模型的買賣雙方的報(bào)價(jià)差，因此改進(jìn)的模型與現(xiàn)實(shí)的吻合性更好，雙方都得到了更為合理的均衡。

在此特殊情況下，經(jīng)典的雙方叫價(jià)模型不能成交，而且改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型買者的出價(jià)都低于賣者的要價(jià)，因此也不能成交。但是同樣有也就是說，在此情況下雖然兩種模型都不能成交，將進(jìn)入第二輪拍賣過程，但改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型的買賣雙方的報(bào)價(jià)差小于經(jīng)典雙方叫價(jià)模型的買賣雙方的報(bào)價(jià)差，相比之下改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型在第二輪拍賣中更容易成交。

在此種情況下，經(jīng)典的雙方叫價(jià)模型和改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型買者的出價(jià)都低于賣者的要價(jià)，因此也不能成交，拍賣同樣將進(jìn)入第二輪拍賣過程。但注意到即在此情況下雖然兩種模型都不能成交，但改進(jìn)的雙方叫價(jià)模型的買賣雙方的報(bào)價(jià)差小于經(jīng)典雙方叫價(jià)模型的買賣雙方的報(bào)價(jià)差，相比之下改進(jìn)雙方叫價(jià)模型在第二輪拍賣中更容易成交。

三、結(jié)論

若拍賣者的出價(jià)服從均勻分布，說明拍賣者的出價(jià)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取值，與現(xiàn)實(shí)拍賣情況不太符合。

若拍賣者的出價(jià)服從三角形分布，拍賣者的出價(jià)由低到高，在一定點(diǎn)處達(dá)到最大，集中趨勢表現(xiàn)最為明顯，隨后即下降。而若拍賣者的出價(jià)服從梯形分布，拍賣者的出價(jià)由低到高，在一定點(diǎn)處集中趨勢最明顯，且保持一定水平后才下降，這在理論上更符合現(xiàn)實(shí)拍賣中的實(shí)際情形。

通過以上的算例討論可以知道，當(dāng)拍賣者出價(jià)服從梯形分布時(shí)，相對(duì)于經(jīng)典模型與三角形分布的均衡結(jié)果，我們證實(shí)梯形分布的假設(shè)與現(xiàn)實(shí)中拍賣情況的吻合性更好。