震后救災(zāi)網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)急資源配置魯棒優(yōu)化研究

郝西浩，張 玲

(福州大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，福建 福州 350116)

近年來，大規(guī)模地震災(zāi)害頻繁發(fā)生，造成了嚴(yán)重的人員傷亡和財產(chǎn)損失。如2008年的汶川大地震，2010年的青海玉樹地震，2013年的四川雅安地震，2017年的九寨溝地震。地震災(zāi)害的發(fā)生具有不確定性、動態(tài)性、復(fù)雜性等特征，使得災(zāi)害發(fā)生后應(yīng)急救援過程應(yīng)急資源需求具有不確定性、持續(xù)時間長、需求量大等特點，決策者往往在短時間內(nèi)難以全面、準(zhǔn)確地掌握災(zāi)情信息，要求決策者能基于這些不確定性信息對應(yīng)急資源保障網(wǎng)絡(luò)的規(guī)劃和資源優(yōu)化配置作出相應(yīng)的決策。

在災(zāi)害保障網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和資源優(yōu)化配置研究方面,HAGHI等[1]考慮到需求和物資成本的不確定性，建立了一個以對傷員醫(yī)療需求的響應(yīng)時間最大、響應(yīng)階段的總成本最小為目標(biāo)的多目標(biāo)規(guī)劃模型，為了處理不確定性，使用了魯棒優(yōu)化方法，并用ε-約束方法求解模型。HU等[2]提出了一個考慮提前期折扣、退貨價格和權(quán)益的兩階段隨機規(guī)劃模型，將災(zāi)難前庫存水平和災(zāi)難后采購數(shù)量的決策與供應(yīng)商選擇整合在一起，采用基于場景的方法來表示需求的不確定。ALEM等[3]考慮預(yù)算分配、多周期、多類型車輛、購買物資及交貨時間等因素，建立了兩階段隨機網(wǎng)絡(luò)流模型，并且提出一種啟發(fā)式算法求解該模型。盛虎宜等[4]基于公平視角研究震后初期災(zāi)區(qū)應(yīng)急物資短缺情景下的定位-路徑問題 ，以總配送時間最短作為應(yīng)急物資配送的效率性衡量指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建雙目標(biāo)LRP模型，并基于分層序列法思想設(shè)計一種二階段混合啟發(fā)式求解算法。李雙琳等[5]針對震后初期應(yīng)急物資配送系統(tǒng)優(yōu)化問題，考慮應(yīng)急物資需求模糊情況下應(yīng)急物資配送中心選址和應(yīng)急物資多式聯(lián)運安排的集成決策，以應(yīng)急物資配送總時間最短和受災(zāi)點應(yīng)急物資未滿足的總損失最小為目標(biāo)，建立了一個震后應(yīng)急物資配送的多目標(biāo)選址-多式聯(lián)運問題優(yōu)化模型。王紹仁等[6]針對震后緊急響應(yīng)階段的應(yīng)急物流系統(tǒng)優(yōu)化問題,建立了一個兩級設(shè)施定位-運輸路線安排問題模型(LRP)。彭春等[7]考慮資源成本的不確定性，提出了多類應(yīng)急資源配置的魯棒選址-路徑優(yōu)化。張乃平等[8]考慮地震后道路存在嚴(yán)重?fù)p毀的情況,為提高此時應(yīng)急物資配送的公平性和時效性,構(gòu)建以應(yīng)急物資分配公平性最大和運輸總時間最小為目標(biāo)的多物資、多出救點和多受災(zāi)點的分配-運輸模型。ZHANG等[9]考慮主要災(zāi)害和次生災(zāi)害情景下的應(yīng)急資源分配問題，提出了一個基于條件概率的情景樹來定義主要災(zāi)害和次生災(zāi)害之間相關(guān)性的三階段多目標(biāo)隨機規(guī)劃模型，可以最大程度地減少運輸時間、運輸成本和不滿意的需求，為了計算可處理性，提出了一種近似的單階段隨機規(guī)劃方法。BARON等[10]分別基于盒形不確定性集合和橢球不確定性集合,建立了一個多周期選址-生產(chǎn)-分配優(yōu)化模型，分析推導(dǎo)出了原模型的魯棒對應(yīng)模型。SADJADI等[11]針對災(zāi)后救援初始階段所面臨的不確定性需求和運輸成本，建立了一個基于魯棒優(yōu)化的單目標(biāo)選址分配優(yōu)化模型,給出了模型的魯棒對應(yīng)形式。朱佳翔等[12]針對應(yīng)急物流配送過程中救災(zāi)信息的多重不確定性特點,兼顧考慮“灰”與“魯棒”等雙重交叉不確定性因素的影響,構(gòu)建了應(yīng)急物流配送多階段多目標(biāo)灰動態(tài)規(guī)劃模型,并在此基礎(chǔ)上給出魯棒控制策略。張志霞等[13]考慮應(yīng)急響應(yīng)系統(tǒng)中多種應(yīng)急物資需求的不確定性,建立最小化總成本和總時間的多目標(biāo)-兩階段臨時配送中心選址和應(yīng)急資源調(diào)度模型，采用相對魯棒優(yōu)化方法求解模型,利用區(qū)間估計描述不確定性因素,并引入擾動系數(shù)和控制參數(shù)調(diào)節(jié)模型的魯棒性和最優(yōu)性。俞武揚[14]提出了災(zāi)害發(fā)生前的應(yīng)急物資配置問題具有兩個重要的不確定性, 即交通網(wǎng)絡(luò)中受自然災(zāi)害影響而阻斷的道路和受災(zāi)點的應(yīng)急物資需求量，建立了不確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的兩階段應(yīng)急物資魯棒配置模型。DONYA等[15]考慮在災(zāi)后啟用備用供應(yīng)商提供物資，并增加分配中心的使用，建立了一個可靠的魯棒優(yōu)化模型，提出了基于拉格朗日松弛法的模型求解方法。

綜上所述，國內(nèi)外目前對于災(zāi)前應(yīng)急設(shè)施選址、資源配置的研究較多，但關(guān)于基于魯棒優(yōu)化的應(yīng)急設(shè)施選址和資源配置等方面的研究成果還較少，對于災(zāi)后資源需求點、資源供應(yīng)點共同約束下確定應(yīng)急物流中心選址與資源配置的研究也較少。而且，大多數(shù)的震后定位-路徑問題研究只考慮了大規(guī)模災(zāi)害發(fā)生后的單級配送，不經(jīng)過中轉(zhuǎn)站即直接從供應(yīng)點向需求點運輸物資，這樣的研究缺乏一定的現(xiàn)實意義。因此，筆者考慮災(zāi)區(qū)需求的不確定性及資源配置中救援物資與運輸工具之間的協(xié)調(diào)性，著力解決災(zāi)后的應(yīng)急資源配置問題。運用魯棒優(yōu)化的方法，建立了一個多目標(biāo)應(yīng)急資源魯棒配置優(yōu)化模型,推導(dǎo)出了所建模型的魯棒對應(yīng)形式,提出了求解多目標(biāo)優(yōu)化模型的方法。

1 問題描述

震后應(yīng)急物資保障網(wǎng)絡(luò)主要由應(yīng)急物資供應(yīng)點、臨時救災(zāi)中心和需求點3方面構(gòu)成。在救援過程中，選擇離災(zāi)區(qū)最近的國家應(yīng)急物資儲備倉庫作為應(yīng)急物資供應(yīng)點，在受災(zāi)點附近建立若干個臨時救災(zāi)中心承擔(dān)救援物資的中轉(zhuǎn)、存儲及再分配等功能。災(zāi)區(qū)需求點所需的大批量、多批次、多品種的物資需要從臨時救災(zāi)中心通過卡車和直升飛機向災(zāi)區(qū)進行運輸，以使需求點的綜合不滿足量最小。假設(shè)有若干候選應(yīng)急物資供應(yīng)點、臨時救災(zāi)中心、受災(zāi)需求點和不同類型的應(yīng)急物資運輸設(shè)備。其中公路運輸為卡車運輸，空中運輸為直升機，在運輸設(shè)備允許工作時間內(nèi)可以反復(fù)派出執(zhí)行配送任務(wù)。震后應(yīng)急資源保障網(wǎng)絡(luò)示意圖如圖1所示，其中雙向?qū)嵕€箭頭表示臨時救災(zāi)中心通往需求點的道路沒有受損，運輸交通工具(卡車和直升機)可以在運送完物資后返回到臨時救災(zāi)中心，雙向虛線箭頭表示道路受損，此時只能通過直升機進行物資運送。筆者主要考慮受災(zāi)點需求的不確定性及各類應(yīng)急物資的分配量與運輸工具之間的協(xié)調(diào)性，以實現(xiàn)需求點的不滿足總量最小和整個系統(tǒng)的救援響應(yīng)時間最小。

圖1 震后應(yīng)急資源保障網(wǎng)絡(luò)示意圖

2 震后初期應(yīng)急資源配置魯棒優(yōu)化模型

2.1 符號說明

(1)相關(guān)參數(shù)定義。I表示應(yīng)急物資需求點的集合；J表示臨時救災(zāi)中心集合；O表示應(yīng)急物資供應(yīng)點的集合；M表示應(yīng)急資源種類集合；Wom表示供應(yīng)點o儲備的應(yīng)急資源種類m的數(shù)量；L表示臨時救災(zāi)中心和需求點之間進行物資運送的工具集合；qlm表示運輸工具l每次可以運輸物資m的有效數(shù)量 ；dim表示需求點i對第m種物資的需求量；Vl表示可以到臨時救災(zāi)中心的運輸工具最大數(shù)量；Tl表示運輸工具l的可工作時間的最大值；fjil表示單位時間內(nèi)從臨時救災(zāi)中心j到需求點i的運輸工具l的流量限制；fijl表示單位時間內(nèi)從需求點i到臨時救災(zāi)中心j的運輸工具l的流量限制；ξm表示應(yīng)急物資m不滿足量的權(quán)重；tjil表示運輸工具l從臨時救災(zāi)中心j到需求點i單次運輸所花費的時間；Φ表示一個非常大的實數(shù)。

(2)決策變量。xojm表示物資供應(yīng)點o向臨時救災(zāi)中心j供應(yīng)的物資m的數(shù)量；yjim表示臨時救災(zāi)中心j向需求點i供應(yīng)的物資m的數(shù)量；zjl表示運輸物資到臨時救災(zāi)中心j的運輸工具l的數(shù)量；Njilm表示運輸工具l從臨時救災(zāi)中心j向需求點i運輸物資m的次數(shù)；Nijl表示運輸工具l從需求點i回到臨時救災(zāi)中心j的次數(shù)；Tijl表示臨時救災(zāi)中心j的運輸工具l向需求點i運送完救災(zāi)物資所耗費的時間；rim表示需求點i未滿足的物資m的數(shù)量。

2.2 需求確定下的應(yīng)急資源多目標(biāo)優(yōu)化配置模型

根據(jù)上述相關(guān)參數(shù)設(shè)置，建立需求確定下的應(yīng)急資源配置多目標(biāo)優(yōu)化模型。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Nijl≤fijlTijl≤Φ·Nijl，?i,j,l

(13)

(14)

i∈I,j∈J,l∈L,o∈O,xojm、yjim、Tijl∈R+,

zjl、Njilm、Nijl∈Z+

(15)

需求確定下的應(yīng)急資源配置模型包含兩個優(yōu)化目標(biāo)：目標(biāo)函數(shù)式(1)表示最小化系統(tǒng)的所有不滿足量；目標(biāo)函數(shù)式(2)表示最小化任意的臨時救災(zāi)中心和需求點之間的任意一類交通運輸工具的最大工作時間，即等價于整個系統(tǒng)的救援響應(yīng)時間最小。約束式(3)表示物資供應(yīng)點o向臨時救災(zāi)中心運送的物資m不能超過該供應(yīng)點的儲備數(shù)量；約束式(4)表示臨時救災(zāi)中心向需求點運送的物資m的數(shù)量不超過臨時救災(zāi)中心從供應(yīng)點獲取的物資m的數(shù)量；約束式(5)表示從臨時救災(zāi)中心運送到需求點的物資數(shù)量不超過需求點的需求量；約束式(6)表示各臨時救災(zāi)中心j可用的交通工具的總和不能超過此類交通運載工具的最大可用數(shù)量；約束式(7)表示臨時救災(zāi)中心j的運輸工具l運輸完物資后從需求點返回臨時救災(zāi)中心所耗費的時間不超過此類運輸工具總的最大工作時間；約束式(8)表示從臨時救災(zāi)中心向需求點i運輸物資m的總量和這兩個節(jié)點之間往返運輸次數(shù)的關(guān)系；約束式(9)主要是為了避免模型的結(jié)果中出現(xiàn)yjim=0而Njilm≠0的情況；約束式(10)和式(11)表示臨時救災(zāi)中心和需求點之間的任何一種交通工具的流量守恒；約束式(12)和式(13)表示臨時救災(zāi)中心和需求點之間往返的運輸量與其運輸所耗費的總時間之間的關(guān)系；約束式(14)表示需求點不滿足量的計算關(guān)系；約束式(15)表示模型中變量的約束。

2.3 需求不確定下的應(yīng)急資源魯棒優(yōu)化配置模型

由于災(zāi)害的突發(fā)性，受災(zāi)點對救援物資的需求往往不確定，而這種不確定性會導(dǎo)致模型的求解困難。針對需求的不確定性，采用BERTSIMAS等[16]提出的魯棒優(yōu)化方法求解模型,以解決需求參數(shù)不確定性對模型求解的影響,達到模型解的魯棒性和模型目標(biāo)的最優(yōu)性之間的折衷平衡。

上述多目標(biāo)優(yōu)化模型中只有約束式(5)和式(14)中包含需求不確定性參數(shù)dim，接下來介紹相關(guān)約束的魯棒對應(yīng)式的推導(dǎo)過程。式(5)中只有一個不確定性參數(shù)dim，為了建立對應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型，必須要使約束條件中出現(xiàn)更多的不確定性需求參數(shù)。所以，對約束式(5)做如下的等價轉(zhuǎn)換：

(16)

其中,δim通過求解線性規(guī)劃式(18)得到：

(18)

式(18)的對偶形式為：

(19)

將式(19)代入式(17)，可以得到：

(20)

通過分解式(16)，可以避免松弛解的產(chǎn)生。其中變量gim的對偶變量為δim，為了分解式(20)，將變量gim的下標(biāo)i集合擴展到全集I。通過這種變換，變量gim可以轉(zhuǎn)換成為：

(21)

將式(21)代入式(20)，并且將其按照需求點進行分解，可以得到：

(22)

對于約束式(14)的魯棒對應(yīng)式轉(zhuǎn)換與約束式(5)的變換思路類似，先將約束式(14)做如下的等價轉(zhuǎn)換：

(23)

其中，λim通過求解線性規(guī)劃式(24)得到：

(24)

式(24)的對偶形式為：

(25)

將式(25)代入式(23)，并按照需求點進行整理可以得到：

(26)

3 魯棒優(yōu)化模型的求解方法

通過以上約束的魯棒對應(yīng)式的轉(zhuǎn)換，可以得到原模型的魯棒對應(yīng)模型，原模型中的式(5)和式(14)分別被式(22)和式(26)所替換，得到的魯棒對應(yīng)模型是一個多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型，將多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)優(yōu)化模型更有利于模型的求解。

由于目標(biāo)函數(shù)式(1)表示最小化系統(tǒng)的所有不滿足量；目標(biāo)函數(shù)式(2)表示最小化任意的臨時救災(zāi)中心和需求點之間的任意一類交通運輸工具的最大工作時間，即等價于整個系統(tǒng)的救援響應(yīng)時間最小。在震后的應(yīng)急資源配置過程中，對災(zāi)害的響應(yīng)時間往往比滿足災(zāi)區(qū)的全部需求要更加重要，因此用主次兼顧法將多目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)模型。

β=minobj1

(27)

約束條件包括式(3)、式(4)、式(22)、式(6)～式(13)、式(26)、式(15)。

該方法就是先不考慮救援的響應(yīng)時間，只是求解單目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型式(27)，由此可以得到最小化系統(tǒng)的所有不滿足量β，再求解以下的單目標(biāo)優(yōu)化模型。

minT

(28)

先求解式(27)得到β，再將其代入式(28)中求解，就可以得到整個系統(tǒng)的應(yīng)急響應(yīng)時間和相應(yīng)決策變量的取值。

4 算例分析

筆者采用CPLEX軟件進行具體的模型求解，算例選用2010年4月14日在青海玉樹縣發(fā)生的7.1級地震作為研究對象，選擇受災(zāi)中心區(qū)域的8個地區(qū)作為受災(zāi)需求點，考慮到臨時救災(zāi)中心建設(shè)成本的因素，不應(yīng)設(shè)置過多，而且要便于車輛運輸物資，因此選取受災(zāi)較輕的3個地區(qū)作為臨時救災(zāi)中心，具體如圖2所示。

筆者僅考慮兩種災(zāi)后救災(zāi)點需要的物資(帳篷和食物)，各個需求點的需求量如表1所示。因為存在震后道路損毀的可能，不利于大型運輸車輛進行運輸，所以假設(shè)只有兩種型號貨車作為陸上運載工具，載重能力分別為1.5 t的小型貨車和2.5 t的中型貨車，空中運輸工具為載重量1.5 t的直升機。假定兩種型號貨車的最大工作時間均為28 h，直升機的最大工作時間為8 h。臨時救災(zāi)中心到需求點的陸上交通工具的通行流量如表2所示。

圖2 臨時救災(zāi)中心和需求點的位置分布圖

表1 各個需求點的應(yīng)急物資需求量

表2 臨時救災(zāi)中心到需求點的陸上交通流量限制 輛次/h

貨車和直升機從臨時救災(zāi)中心j到需求點i單次運輸所耗費時間Tijl分別如表3和表4所示。此外，假設(shè)從石渠縣到隆寶鎮(zhèn)的陸上通行道路被毀，無法通行，將其運輸時間設(shè)置為一個很大的實數(shù)。

表3 貨車從臨時救災(zāi)中心到物資需求點單次運輸耗費時間 h

表4 直升機從臨時救災(zāi)中心到物資需求點單次運輸耗費時間 h

假設(shè)地震災(zāi)區(qū)附近有4個國家應(yīng)急物資儲備中心(救災(zāi)物資供應(yīng)點)，各個物資供應(yīng)點的儲備容量如表5所示，每一類應(yīng)急救災(zāi)物資的權(quán)重都取0.5。

表5 各個物資供應(yīng)點儲備的物資數(shù)量

經(jīng)過編程計算可以得到貨車數(shù)量變化情況下需求點的總不滿足量和未使用量結(jié)果，如表6所示，其中，使用直升機的數(shù)量設(shè)置為48架。由表6可知，當(dāng)使用的貨車數(shù)量在600～970輛之間時，隨著小貨車數(shù)量的增加，所有救援需求點的全部不滿足量之和及未被利用的應(yīng)急物資都在逐漸減少，說明影響災(zāi)后救援的主要問題在于臨時救災(zāi)中心和需求點之間可以利用的物資運輸工具。由此可見，筆者建立的模型能夠分析出在地震災(zāi)害發(fā)生后整個應(yīng)急救災(zāi)系統(tǒng)存在的主要問題，尤其是需求點所需要的救援物資和運輸物資的交通工具之間的緊密關(guān)系。

表6 貨車數(shù)量變化情況下需求點的總不滿足量和未使用量

需求不確定情況下，需求的變化會導(dǎo)致整個模型目標(biāo)值的變化，因此要確定一個需求變化的區(qū)間范圍。筆者基于需求在其名義值左右5%、10%、15%的變化范圍內(nèi)組成3個需求變化區(qū)間。隨著需求變化的同時，改變Γ的取值，求解得到需求不確定情況下優(yōu)化模型的目標(biāo)值，如表7所示。

表7 需求不確定情況下優(yōu)化模型的目標(biāo)值

從表7可以觀察到：在Γ保持不變的情況下，需求在其名義值左右擾動范圍越大，整個救災(zāi)系統(tǒng)的不滿足需求量之和也會越來越大，但是整個應(yīng)急救援的響應(yīng)時間在下降，這是因為救援響應(yīng)時間的計算是在系統(tǒng)不滿足量之和的基礎(chǔ)上進行的；在需求擾動區(qū)間范圍保持不變時，隨著Γ取值越來越大，整個系統(tǒng)的不滿足量之和與應(yīng)急救援響應(yīng)時間均隨之增長，體現(xiàn)了Γ在平衡決策模型的最優(yōu)性和魯棒性之間的效果。

5 結(jié)論

筆者通過建立相應(yīng)的應(yīng)急資源優(yōu)化配置模型，解決了地震災(zāi)害發(fā)生后整個應(yīng)急救災(zāi)網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)急資源優(yōu)化配置的問題，同時考慮了臨時救災(zāi)中心和需求點之間交通運輸工具的分配問題。在求解模型時，針對地震災(zāi)害造成的應(yīng)急需求在一定的區(qū)間變化的特點，利用魯棒優(yōu)化處理不確定性，實驗結(jié)果驗證了該模型在需求不確定性情況下能夠體現(xiàn)模型目標(biāo)函數(shù)的魯棒性和最優(yōu)性之間的均衡，能夠為應(yīng)急救災(zāi)部門在災(zāi)后的應(yīng)急救災(zāi)工作中提供參考和決策支持。然而筆者僅僅考慮了災(zāi)后需求的不確定性，而在應(yīng)急資源配置過程中，還可以考慮資源成本、路徑中斷等不確定性。同時考慮多目標(biāo)、動態(tài)多階段的應(yīng)急資源配置問題，將是未來研究的一個方向。