利用導數(shù)求解不等式恒成立問題的策略

■河北省秦皇島市第一中學

含參數(shù)的不等式恒成立問題是同學們學習的難點之一,也是高考、數(shù)學競賽的熱點,怎樣處理這類問題呢? 通過轉(zhuǎn)化能使恒成立問題得到解決,下面就含參數(shù)的不等式恒成立問題的解題策略舉例說明,以供參考。

一、分離參數(shù)法

將原不等式分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,利用導數(shù)求該函數(shù)的最值,根據(jù)要求得出參數(shù)的范圍。

例1已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+1,若對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥0恒成立,求b的取值范圍。

解析：因為x3-x2+bx+1≥0,所以b≥x-x2-。令g(x)=x-x2-,則當0＜x＜1時,g'(x)＞0;當x＞1時,g'(x)＜0。

故g(x)max=g(1)=-1,b≥-1。

點評： 1.變量與參數(shù)的確定：本題x的范圍已知,將其視為變量,構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù),另一個字母b視為參數(shù)。

2.分離參數(shù)法遵循兩點原則：①已知不等式中兩個字母容易進行分離;②分離參數(shù)后,已知變量的函數(shù)解析式容易求出最值或臨界值。

3.一般地,f(x)＞a恒成立,只需f(x)min＞a即可;f(x)＜a恒成立,只需f(x)max＜a即可。

練習1：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-2ax+a2,若對任意的x∈(2,+∞),都有f(x)＞a2恒成立,求a的取值范圍。

解析：因為當x＞2時,x3+ax2-2ax+a2＞a2,所以令g(x)=當2＜x＜4時,g'(x)＞0;當x＞4時,g'(x)＜0。

故g(x)max=g(4)=-8,a＞-8。

練習2：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+9x+a2,若對任意的x∈(0,+∞),都有6xlnx+f'(x)≥0恒成立,求a的取值范圍。

解析：因為6xlnx+3x2+2ax+9≥0,所以2a≥-6lnx-3x-

二、函數(shù)最值法

將不等式轉(zhuǎn)化為含某個待求參數(shù)的函數(shù)最值問題,先求該函數(shù)的最值,然后構(gòu)建不等式求解。

例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2,當a=0,b=-3時,證明：任意的x∈R,都有恒成立。

點評： 辨析“f(x)≥g(x) ”型與“f(x1)≥g(x2)”型的差異：

1.對?x∈I,不等式f(x)≥g(x)恒成立,可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[f(x)-g(x)]min≥0。

2.對?x∈I,不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)min≥g(x)max。

練習3：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+a2,若對任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1＜x2都有f(x1)-f(x2)＜a(x1-x2)成立,求a的取值范圍。

解析：因為f(x1)-f(x2)＜a(x1-x2),所以f(x1)-ax1＜f(x2)-ax2。

設(shè)g(x)=f(x)-ax=x3+ax2-ax+a2,若g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則g'(x)=3x2+2ax-a≥0對x∈(0,+∞)恒成立。

令h(x)=3x2+2ax-a。

三、分類討論、放縮取點法

例3已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+1,若?x∈(-∞,0)都有f(x)≤ex恒成立,求b的取值范圍。

解析：ex-x3+x2-bx-1≥0,對?x∈(-∞,0)恒成立。

令g(x)=ex-x3+x2-bx-1,g'(x)=ex-3x2+2x-b,g'(0)=1-b。

因為當x∈(-∞,0)時,g″(x)=ex-6x+2＞0,所以g'(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增。

當1-b≤0,即b≥1 時,g'(0)≤0,g'(x)＜0,g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,g(x)＞g(0)=0;

當1-b＞0,即b＜1 時,g'(0)＞0,則?x0＜0,使得g(x)在(x0,0)上單調(diào)遞增,但x∈(x0,0)時,g(x)＜g(0)=0,此時不成立。

綜上,b≥1。

練習4：(2010年新課標理數(shù))設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2,當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍。

解析：由題意知f(x)=ex-1-x-ax2且f(0)=0,則?x∈[0,+∞),f(x)≥f(0)恒成立。

由f'(x)=ex-1-2ax,得f″(x)=ex-2a。易知f″(x)=ex-2a在[0,+∞)上單調(diào)遞增,f″(x)≥f″(0),即f″(x)≥1-2a。

①當1-2a≥0,即時,由f″(x)≥1-2a≥0,則f'(x)=ex-1-2ax在[0,+∞)單調(diào)遞增,f'(x)≥f'(0),即f'(x)≥0,f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,也即?x∈[0,+∞),f(x)≥f(0)符合題意。

②當1-2a＜0,即時,令f″(x)=0,即ex-2a=0,解得x=ln 2a。

當x∈(0,ln 2a)時,f″(x)＜0,f'(x)在(0,ln 2a)上單調(diào)遞減,f'(x)＜f'(0),即f'(x)＜0,f(x)在(0,ln 2a)上遞減,f(0)不是f(x)的最小值,不符合題意。

綜上所述,a的取值范圍為

小結(jié)：求解某些數(shù)學問題時,根據(jù)問題的條件或目標,可構(gòu)造一種新的函數(shù)關(guān)系,使問題在新函數(shù)下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)法解題是一種創(chuàng)造性思維過程,具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中,應(yīng)有目的、有意識地進行構(gòu)造,始終“盯住”要解決的目標。