以“確定特殊三棱錐外接球球心及線面垂直的垂足”為例論直觀想象能力的培養(yǎng)

賴志生

數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與功能目標(biāo)，也就是育人價(jià)值，其功能目標(biāo)用史寧中教授的話來詮釋是最恰當(dāng)不過的，即“讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，數(shù)學(xué)教學(xué)要將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)當(dāng)作課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力，塑造學(xué)生的個(gè)人品質(zhì)，使學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展. 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及數(shù)學(xué)分析六個(gè)方面.在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有效設(shè)計(jì)教學(xué)方案，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.

在立體幾何的教學(xué)活動(dòng)中，尋找特殊三棱錐外接球的球心，進(jìn)而求半徑以及特殊三棱錐體高、線面角計(jì)算時(shí)尋找垂足的位置，學(xué)生都覺得相當(dāng)困難. 恰恰這些都是高考的熱點(diǎn)問題，既考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力，同時(shí)也考查了學(xué)生運(yùn)用化歸思想的能力，題目難度為中等或偏難. 本文以這兩個(gè)常見問題為例，探討在解決問題過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的“直觀想象”這個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、尋找球心問題

以下是課堂教學(xué)過程中的例題設(shè)計(jì)：

例1：若長(zhǎng)、寬、高分別為3、4、5的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積為_____.（圖1）

例2：直三棱柱ABC-A1B1C1的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，AB=3，AC=4，AA1=5，AB⊥AC，則這個(gè)球的體積為 ????????.（圖2）

例3：已知三棱錐S-ABC，SA⊥AB、SA⊥AC、AB⊥AC，且AB=3、AC=4、SA=5，則該三棱錐外接球的表面積為 ????????.（圖3）

例4：三棱錐S-ABC，SA⊥平面ABC、AB⊥BC、BC⊥SB，且AB=3、BC=4、SA=5，則該三棱錐外接球的體積為 ????????.（圖4）

例5：在四面體ABCD中，AB=CD=5、AD=BC=■、AC=BD=

3■，其外接球的表面積為 ????????.（圖5）

在以上5個(gè)例題中，學(xué)生比較容易看出后四個(gè)幾何體都是以長(zhǎng)方體為模型，可把它們嵌入長(zhǎng)方體，通過補(bǔ)形法確定球心位置，求出半徑后再求出表面積或者體積. 當(dāng)我們把棱長(zhǎng)改成相等時(shí)，學(xué)生馬上就會(huì)想到這些幾何體都是以正方體為模型，特別是經(jīng)?？疾榈恼拿骟w外接球問題. 不少學(xué)生在尋找球心位置的時(shí)候感到非常困難，無從下手，主要原因就是直觀想象能力不強(qiáng). 這樣設(shè)計(jì)系列問題的目的，就是為了把學(xué)生經(jīng)常遇到的各種特殊三棱錐和長(zhǎng)方體相結(jié)合，培養(yǎng)他們的直觀想象能力.

對(duì)于某些三棱錐外接球問題，在確定球心位置時(shí)還可以用軸截面法，這種方法同樣能很好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.下面以上述例3為例：

第一步：先確定底面△ABC外接圓圓心. 因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，故其外接圓圓心在BC的中點(diǎn)處，設(shè)為O1，半徑r=■.

第二步：過O1作小圓圓面的垂線，則球心O必在該線上，且OA=OB=OC.

第三步：作出軸截面，即矩形SAO1P，球心O在O1P上，且只需OS=OA，顯然球心O就是O1P的中點(diǎn)，再在■中由勾股定理就可以算出球的半徑.

例6：已知三棱錐S-ABC，SA⊥AB、SA⊥AC、∠BAC=120°，且AB=3、AC=4，SA=5，則該三棱錐外接球的表面積為 ????????.（例3改編）

當(dāng)我們把∠BAC=90°改成120°時(shí)，顯然不適合補(bǔ)形法，故對(duì)這種題型我們?nèi)钥梢杂幂S截面法.

第一步：先確定底面△ABC外接圓圓心O1. 雖然不再是直角三角形，但是我們可以先用余弦定理，再用正弦定理求出外接圓半徑r=■.

第二步、第三步與上述相同.

通過以上幾個(gè)例題，想必不少學(xué)生對(duì)特殊三棱錐外接球問題的處理有了基本的思路. 當(dāng)然還有許多特殊幾何模型可以幫助確定球心，同時(shí)也可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，直接求出球心坐標(biāo)進(jìn)而求出半徑. 在建立坐標(biāo)系的過程中同樣能很好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，這里就不再贅述.

二、尋找垂足問題

在作線面垂直時(shí)，如何確定垂足的位置同樣是學(xué)生的一大難點(diǎn). 對(duì)于特殊三棱錐，筆者發(fā)現(xiàn)幾乎都滿足以下三個(gè)特征之一：①直接有線面垂直;②沒有線面垂直但有面面垂直;③如果以上兩個(gè)特征都沒有，那么該幾何體（或者幾何體部分）具備對(duì)稱性.

例7（2017年高考數(shù)學(xué)全國卷3文科）：如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求四面體N-BCM的體積.

顯然這道題具備“直接有線面垂直”的特征，這類問題最簡(jiǎn)單，往往給出的條件是側(cè)棱垂直于底面. 又N為PC的中點(diǎn)，所以在需要作四面體N-BCM的高時(shí)，過點(diǎn)N作平行于PA的直線交AC于點(diǎn)E，那么必有NE⊥底面BCM，且點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，NE=■PA. 故可充分利用線面垂直這個(gè)條件，可以直接用，也可以借用.

例8（2015年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科）：如圖，在三棱錐ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn).（1）證明：A1D⊥平面A1BC;（2）求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.

在第二問求線面角時(shí)，同樣需要作線面垂直，確定垂足的位置. 這道題既沒有特征①也沒有特征②，但是仔細(xì)觀察，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)該幾何體具備對(duì)稱性（特征③）. 我們作個(gè)截面A1DEA（如圖11），把這個(gè)幾何體對(duì)半分，必有截面A1DEA⊥平面BB1C1C，且截面A1DEA∩平面BB1C1C=DE. 也就是說這道題轉(zhuǎn)化為了具備特征②的題目，故我們只需過A1作A1F⊥DE于點(diǎn)F. 由上，我們輕易就能證明點(diǎn)F就是垂足，連接BF，則∠A1BF就是所求角（如圖11）. 教師在講解這類題時(shí)，可以出示一些具體簡(jiǎn)單的具有對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的幾何體，先讓學(xué)生好好感受作對(duì)稱截面會(huì)得到面面垂直的情況，培養(yǎng)他們的直觀想象能力，然后再進(jìn)行證明.

注：本文作者系廣東省嚴(yán)運(yùn)華名教師工作室成員.

責(zé)任編輯 ??羅 峰