含歐拉函數(shù)方程φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]的正整數(shù)解

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000)

設(shè)Z+為所有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，φ(m)是Z+上的歐拉函數(shù)。關(guān)于歐拉函數(shù)φ(m)與含歐拉函數(shù)的方程，許多學(xué)者研究了他們的性質(zhì)，如1935年ERD?S[1]研究了歐拉函數(shù)的計(jì)算與若干性質(zhì)，提出了含歐拉函數(shù)的方程，1981年GUY[2]證明了歐拉函數(shù)的加性，1960年 MAKOWSKI[3]討論了含歐拉函數(shù)φ(mn)=φ(m)+φ(n)的正整數(shù)解，2010年SUN和CHENG[4]等研究了方程φ(mn)=k[φ(m)+φ(n)]在k為素?cái)?shù)時(shí)的可解性，張明麗等[5]在2018年討論了方程φ(mn)=12(φ(m)+φ(n))的正整數(shù)解，但漏了許多正整數(shù)解，而文獻(xiàn)[6-7]也分別研究了一類含歐拉函數(shù)的方程的正整數(shù)解，得到了較好結(jié)果。本文主要研究方程。

φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]

正整數(shù)解的存在性等問題，并設(shè)計(jì)一種有效的初等方法求出了方程在m≤n時(shí)的全部119組正整數(shù)解，并用此方法可以求出文獻(xiàn)[5]中漏了的正整數(shù)解。

1 引理

引理1[1]設(shè)m=p1α1p2α2…prαr∈Z+，其中pi為互不相同的素?cái)?shù)，則

φ(m)=p1α1-1p2α2-1…prαr-1(p1-1)(p2-1)…(pr-1)。

引理2[8]設(shè)m∈Z+，若m<3，則φ(m)=1，若m≥3，則φ(m)為偶數(shù)。

引理3[9]設(shè)m,n∈Z+，且m|n，則φ(m)|φ(n)。

引理5[7]設(shè)m∈Z+，則φ(m)=14無正整數(shù)解。

2 主要結(jié)論

定理含歐拉函數(shù)方程φ(mn)=20(φ(m)+φ(n))，當(dāng)m≤n時(shí)共有119組正整數(shù)解。

φ(mn)=20(φ(m)+φ(n))=20(k1+k2)φ(d)

(1)當(dāng)d=21時(shí)，φ(21)=12，k1=1,k2=20，因而φ(m)=12,φ(n)=240，所以方程有正整數(shù)解(m,n)=(21,525,)(21,924),(42,525)。

(2)當(dāng)d=22時(shí)，φ(22)=10，k1=1,k2=10，因而φ(m)=10,φ(n)=100，方程無正整數(shù)解。

(3)當(dāng)d=24時(shí)，φ(24)=8，k1=1,k2=5，因而φ(m)=8,φ(n)=48，此時(shí)方程無正整數(shù)解。

(4)當(dāng)d=25時(shí)，φ(25)=20，k1=1,k2=4，因而φ(m)=20,φ(n)=80，此時(shí)方程有正整數(shù)解(m，n)=(25,200),(25,300)。

(5)當(dāng)d=30時(shí)，φ(30)=8，k1=1,k2=2，因而φ(m)=8,φ(n)=16，此時(shí)方程有正整數(shù)解(m,n)=(30,60)。

(6)當(dāng)d=40時(shí)，φ(40)=16，k1=1,k2=1，因而φ(m)=16,φ(n)=16，此時(shí)方程有正整數(shù)解(m,n)=(40,40)。

綜上所述，得到了方程φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]在m≤n時(shí)的全部119組正整數(shù)解。