基于VMD和SVD聯(lián)合降噪方法的球磨機振動信號隨機噪聲壓制

羅小燕，盧文海，游義平，胡顯能

（江西理工大學 機電工程學院，江西 贛州341000）

球磨機負荷(包括鋼球量、礦石量以及水量)是磨礦過程中的重要參數(shù),直接關系到磨礦的效率和能耗,而球磨機的振動是反映球磨機負荷的重要指標[1]。球磨機振動信號具有非線性、非平穩(wěn)性的特點，且球磨機機組龐大，這使得大量有用信號淹沒在噪聲信號中。近年來，小波變換由于其良好的時頻局部化特性，被廣泛運用于信號分析中，但小波分析中的小波基和分解層次難以確定，且窗函數(shù)在整個分析過程中持續(xù)保持不變，無法針對不同的信號做出調(diào)整[2]。經(jīng)驗模態(tài)分解[3]（EMD）是1998年由Huang 等提出的一種自適應分解的方法，它突破了小波分析的局限，可以實現(xiàn)信號的自適應濾波，在振動信號去噪領域得到廣泛應用[4]。但這種遞歸模式效果受包絡方式的影響，存在端點效應和頻率混疊的問題[5]。

變分模態(tài)分解[6]（VMD）由Konstantin Dragomiretskiy于2014年提出，該方法通過迭代搜尋變分模型最優(yōu)解，從而確定每個分解分量的頻率中心和帶寬，可以自適應地實現(xiàn)信號的頻域剖分和各分量的有效分離，適用于分離多分量非平穩(wěn)信號，相比EMD等遞歸式的分解模式，VMD分解層數(shù)少、精度高，且表現(xiàn)出更好的魯棒性[7]。奇異值分解（SVD）是一種非線性濾波方法，能有效消除信號中的噪聲[8]，目前已廣泛應用于通信信號處理和語音信號降噪等方面。

為了在保留原始信號中大量有用信號的前提下，對球磨機振動信號中的隨機噪聲進行壓制，提出一種基于VMD-SVD 聯(lián)合降噪的方法，結(jié)果表明該方法相比VMD、SVD方法降噪能力更強。

1 基本原理

1.1 VMD算法

VMD算法的主要目的是將信號f分解成K個本征模態(tài)函數(shù)uk(t)，假設每個模態(tài)函數(shù)uk(t)都是圍繞中心頻率的有限帶寬，可通過變分模型來確定并估計相應頻段和模態(tài)函數(shù)，具體步驟為：

（1）通過Hilbert 變換計算出每個本征模態(tài)函數(shù)uk(t)，并求解各模態(tài)函數(shù)的邊際譜；

（2）根據(jù)指數(shù)混合調(diào)制預估模態(tài)的中心頻率，并將每個模態(tài)的頻譜調(diào)制到相應的基頻帶；

（3）由解調(diào)信號的高斯光滑度和梯度平方準則，估算出各模態(tài)函數(shù)的帶寬。

上述步驟對應的約束變分模型表達式為

式中：{uk}表示由信號f分解得到的K個分量的集合，{uk}={u1,u2,…,uk}；{ωk}為分解得到的K個IMF分量的中心頻率的集合，{ωk}={ω1,ω2,…,ωk}；σ(t)為脈沖函數(shù)。

引入二次懲罰因子α和Lagrange乘法算子λ(t)將式（1）轉(zhuǎn)變?yōu)榉羌s束變分問題，其中二次懲罰因子是足夠大的正數(shù)，這是經(jīng)典的保證重構(gòu)信號保真度的方法，Lagrange 乘法算子則用來確保信號的重構(gòu)精度。二者結(jié)合得到的擴展的Lagrange表達式為

根據(jù)交替方向乘子算法（ADMM）求解式（2）中的變分問題，迭代優(yōu)化uk+1、ωk+1和λk+1，在滿足精度條件下求得表達式的“鞍點”。

1.2 SVD降噪基本原理

SVD 降噪原理為：首先將原始帶噪信號構(gòu)造成p×q階Hankel 矩陣H；然后利用奇異值算法對矩陣H進行奇異值分解，得到信號的奇異值矩陣σi；最后將噪聲所對應的奇異值置零，再利用SVD逆運算對信號進行重構(gòu)得到降噪后的信號。

實測原始信號x(t)一般由真實信號s(t)和噪聲信號n(t)兩部分組成，由于真實信號s(t)與噪聲信號n(t)之間互不相關，且真實信號的能量相對集中，噪聲信號的能量較分散，因此可把奇異值分解視為將Hankel 矩陣H分為兩個互不相關的空間，即較大奇異值對應真實信號的重構(gòu)，較小奇異值對應噪聲信號的重構(gòu)。

對Hankel矩陣H進行SVD分解，可得

其中：U∈Rp×p，Us∈RP×rs，Un∈Rp×rn，V∈Rq×q，Vs∈Rq×rs，Vn∈Rq×rn，σi為奇異值，σl為真實信號與噪聲信號分界對應的奇異值。

因此，只需找到奇異值σl對應的點即可求得重構(gòu)信號，本文采用文獻[9]中提出的一種單邊極大值原則方法，即先求得原始信號的奇異值差分譜，然后從右至左，選擇第一個至少單邊極大值與其相鄰峰值進行比較，根據(jù)差距絕對值最大的極大峰值所對應點的位置來確定重構(gòu)信號的有效秩階次，最后對有效信號進行重構(gòu)。

2 VMD-SVD聯(lián)合降噪方法

2.1 基于瞬時頻率均值法的模態(tài)數(shù)選取

由于VMD 分解K值過小會出現(xiàn)模態(tài)欠分解現(xiàn)象，K值過大則會出現(xiàn)過分解現(xiàn)象，這將導致分量的瞬時頻率出現(xiàn)斷斷續(xù)續(xù)現(xiàn)象。傳統(tǒng)VMD 分解一般采用中心頻率法[11-12]來確定模態(tài)數(shù)，而中心頻率法針對不同的實際問題選取的中心頻率差值不一致，存在較大主觀臆測性，針對這一問題，提出一種基于瞬時頻率均值的VMD模態(tài)數(shù)選取方法，首先對原信號進行預分解，預設模態(tài)數(shù)K從小到大取值；然后將分解出的各模態(tài)分量進行希爾伯特變換，再求出各模態(tài)分量的瞬時頻率均值；最后，將不同K值對應模態(tài)分量的瞬時頻率均值進行比較，當瞬時頻率均值在模態(tài)數(shù)取K時出現(xiàn)明顯減小現(xiàn)象時，說明該分解數(shù)為臨界值，因此K-1為分解的合適數(shù)量。

瞬時頻率均值的計算過程為

（1）對原始信號X(t)進行希爾伯特變換

式中：P.V.代表柯西主值。

（2）利用X(t)與Y(t)形成一復共軛對，得到新的時間序列Z(t)

式中a(t)為瞬時幅值，θ(t)表示相位。

（3）計算瞬時頻率均值

瞬時頻率f(t)計算公式為

則瞬時頻率均值為

2.2 基于互相關系數(shù)有效分量選取

為了消除原始信號中的噪聲信號，且更好地提取信號中的特征信息，需要選取分解結(jié)果中有效的IMF分量進行重構(gòu)。文中采用互相關系數(shù)法對有效分量進行選取，首先對每個IMF 分量與原始信號求得相應的互相關系數(shù)，然后根據(jù)公式求得相關系數(shù)閾值，最后將各相關系數(shù)與相關系數(shù)閾值進行比較，并將互相關系數(shù)大于閾值的分量視為有效分量?；ハ嚓P系數(shù)法可以衡量一個分量包含關于另一個分量的信息量，能夠定量表示2 個變量之間的相互依賴程度，比傳統(tǒng)的相關系數(shù)選取方法更加精確?；ハ嚓P系數(shù)及閾值計算公式為[11]

其中：xn、yn為IMF分量和原始信號為IMF分量數(shù)據(jù)點均值和原始信號數(shù)據(jù)點均值，max(ρxy)為最大相關系數(shù)。

2.3 基于VMD-SVD的球磨機振動信號降噪方法

VMD-SVD聯(lián)合去噪主要步驟為：

（1）采集磨機筒體振動信號，初始化VMD算法中各參數(shù)，其中初始化模態(tài)數(shù)K=2，懲罰因子α和帶寬τ使用默認值，即α=2 000，τ=0。

（2）將模態(tài)數(shù)K從小到大取值，并對其進行VMD分解，采用瞬時頻率均值法確定最終K值。

（3）計算各IMF 分量與原始信號的互相關系數(shù)，并求出互相關系數(shù)閾值，選取大于等于閾值的分量作為敏感模態(tài)分量。

（4）利用單邊極大值原則確定奇異值分解有效階次，通過奇異值分解對敏感模態(tài)分量進行降噪處理。

（5）將奇異值分解后的模態(tài)分量進行重構(gòu)，得到球磨機最終降噪振動信號。

3 有效性驗證

3.1 仿真驗證及分析

由于球磨機工作時產(chǎn)生的振動信號往往表現(xiàn)為非平穩(wěn)信號，下面通過構(gòu)造一個非平穩(wěn)信號對上述方法進行驗證。

首先，將3 個不同頻率的衰減正弦波函數(shù)和一個隨機噪聲信號構(gòu)造成合成信號S(t)[12]

式中：fi、αi為衰減正弦波函數(shù)的頻率和衰減因子，ζ(n)為維度與信號源相同的隨機噪聲信號，噪聲強度為3 dB。仿真信號波形及其頻譜如圖1所示。

采用瞬時頻率均值法，將模態(tài)數(shù)K從小到大取值，并對其進行VMD 分解，然后求出各IMF 分量的瞬時頻率均值，各IMF 分量的瞬時頻率均值變化曲線如圖2所示。

觀察可知，K值增加到一定值時，曲線由平穩(wěn)下降向明顯彎曲轉(zhuǎn)變，此時臨界K值對應最佳的IMF分量分解個數(shù)，本仿真實驗中K=3為最優(yōu)模態(tài)分解個數(shù)。

取K=3，對仿真信號進行VMD 分解所得的IMF分量及其頻譜如圖3所示。

這與原始合成信號由3個諧振頻率的衰減正弦波函數(shù)和一個隨機噪聲信號構(gòu)成相符合，相比于用傳統(tǒng)的中心頻率法確定均值，瞬時頻率均值法不需要求取相鄰中心頻率差值來判斷階次，減少了誤差的產(chǎn)生。

通過式（9）求解出各IMF 分量與原始信號的互相關系數(shù)如表1所示。

根據(jù)式（10）求得閾值為0.201 1，由于所有分量互相關系數(shù)都大于該閾值，因此3 個分量均為敏感模態(tài)分量。由單邊極大值法計算得3個分量的奇異值有效階次均為2，將分量信號奇異值分解降噪后進行累加重構(gòu)得到VMD-SVD聯(lián)合降噪后的信號。計算出重構(gòu)信號與仿真信號的相關系數(shù)為0.925 7，這表明重構(gòu)信號波形與原始信號基本一致。

圖1 仿真信號波形及其頻譜圖

圖2 各IMF分量的瞬時頻率均值變化曲線

圖3 仿真信號的IMF分量及其頻譜

表1 經(jīng)VMD分解后仿真信號各IMF分量與原始信號的互相關系數(shù)

圖4為經(jīng)VMD-SVD 聯(lián)合降噪后的仿真信號波形及其頻譜圖，從圖中可以看出，經(jīng)聯(lián)合降噪后仿真信號波形更加平滑，且去除了一些頻段的噪聲信號。選取信噪比（SNR）和均方根誤差（MES）作為降噪效果的評價指標，信噪比越大說明去噪效果越好，均方根誤差越小，說明重構(gòu)信號越接近原始信號。

表2為仿真信號經(jīng)3 種算法去噪所得信噪比和均方根誤差的對比表，從表中可知，采用VMD-SVD聯(lián)合降噪得到的信噪比最大且均方根誤差最小，說明本文提出的方法能夠在保留原始信號特征的前提下提高信噪比。

表2 仿真信號經(jīng)VMD、SVD和VMD-SVD聯(lián)合降噪的信噪比和均方根誤差對比表

圖4 VMD-SVD聯(lián)合降噪后仿真信號波形及其頻譜

3.2 實驗驗證及分析

為了驗證本文所提出降噪方法對于球磨機振動信號噪聲壓制的有效性，實驗中采用φ330 mm×330 mm的小型實驗球磨機，其電機功率為0.75 kW。選用DH131 加速度傳感器對球磨機筒體進行振動測量，使用DH5922N動態(tài)數(shù)據(jù)采集儀進行振動信號采集，分別采集球磨機在欠負荷、正常和過負荷3種工作狀態(tài)下的筒體振動信號，實驗中數(shù)據(jù)采集儀的采樣頻率為20 kHz，采樣點數(shù)為20 000。

以球磨機正常負荷工況下一組實驗為例，該組實驗中球磨機料球比為1.1，總裝載量為37.38 kg，該組實驗信號的原始信號波形如圖5所示。

圖5 正常負荷狀態(tài)下原始信號

為了防止模態(tài)出現(xiàn)過分解現(xiàn)象，采用瞬時頻率均值法確定K值，K=2～10時各IMF的瞬時頻率均值變化曲線如圖6所示。

由圖6可知當K=7 時，分量的瞬時頻率均值出現(xiàn)了明顯下彎現(xiàn)象，因此，取K=6，則原始信號的VMD分解結(jié)果如圖7所示。

計算VMD 各模態(tài)分量與球磨機原始振動信號的互相關系數(shù)，各互相關系數(shù)如表3所示。

根據(jù)公式求得閾值為0.226 1，因此將IMF1和IMF3舍去。對余下的各分量分別進行奇異值分解降噪處理，先將各IMF 分量信號構(gòu)造成Hankel 矩陣，然后求出矩陣的奇異值，再根據(jù)單邊極大值法求出相鄰奇異值的差分值，各IMF 分量奇異值差分譜如圖8所示。

從圖8中可得知IMF2、IMF4、IMF5和IMF6的有效階次為4、12、6、2，再對有效階次所含信號進行重構(gòu)，得到經(jīng)奇異值分解去噪后的分量信號，再將分量信號重構(gòu)得到最終的去噪信號。

圖9為原始信號經(jīng)VMD-SVD 聯(lián)合降噪后信號波形圖，從圖中可知信號經(jīng)二次降噪后保留了原始信號的波形特征。

為了進一步驗證本文所提降噪方法的有效性和優(yōu)越性，分別用VMD、SVD、VMD-SVD聯(lián)合降噪的方法對球磨機在正常工況下采集的振動信號進行降噪處理。為了定量分析重構(gòu)信號的去噪效果，處理后的各信號的信噪比和均方誤差如表4所示。

表4 各去噪方法去噪?yún)?shù)對比

由表4中經(jīng)各方法降噪后信號的信噪比及均方誤差可知，VMD-SVD聯(lián)合降噪方法相比于其他3種降噪方法，能夠更好地去除噪聲信號，并且重構(gòu)信號更加接近原始信號。因此，VMD和SVD聯(lián)合降噪方法在信號降噪方面具有一定的優(yōu)越性，且能夠更好保留球磨機振動信號中的有用信息。

圖6 正常狀態(tài)下信號分解各模態(tài)數(shù)量及其瞬時頻率均值

圖7 正常負荷下振動信號經(jīng)VMD分解后各IMF分量波形及其頻譜圖

表3 各模態(tài)分量與球磨機原始振動信號的相關系數(shù)

4 結(jié)語

本文針對球磨機振動信號中常伴隨著大量噪聲信號這一問題，提出一種基于VMD-SVD 聯(lián)合降噪方法，并將該方法應用于球磨機振動信號的仿真和實測信號的噪聲壓制處理過程，得出以下結(jié)論：

（1）根據(jù)IMF分量的瞬時頻率均值變化曲線確定VMD分解的模態(tài)數(shù)，相比傳統(tǒng)的中心頻率法誤差更小，能更好地避免信號發(fā)生欠分解和過分解現(xiàn)象。

（2）采用基于VMD-SVD 聯(lián)合降噪的方法對信號進行二次降噪處理，首先將現(xiàn)場采集的球磨機振動信號利用VMD 算法分解成k個不同頻率域的本征模態(tài)分量（IMF）；然后采用互相關系數(shù)法選取出互相關系數(shù)大于閾值的IMF 分量進行奇異值去噪；最后將經(jīng)過奇異值去噪的IMF 分量進行累加重構(gòu)，得到二次降噪后的振動信號。這進一步去除了信號中的噪聲信號，提高了信號的可靠性。

圖8 各IMF分量奇異值差分譜

（3）通過與其他噪聲壓制方法比較可知，經(jīng)采用本文所提方法進行降噪處理后，信號信噪比高，均方根誤差小，說明噪聲抑制效果好，對有效信號損害小。實例分析表明該方法能夠有效去除球磨機筒體振動信號中的噪聲信號，提取出原始信號中的有用信息，提高了后續(xù)球磨機振動信號分析的可靠性。

圖9 經(jīng)VMD-SVD聯(lián)合降噪后信號波形圖