真實步伐荷載作用下人行橋振動及共振加速分析

李澤民，吳冬雁，劉宣含，趙俊亮

（溫州大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 溫州325000）

近年隨著倫敦千禧橋、法國Solférino橋[1]等一系列人行橋振動問題的出現(xiàn)，人行振動荷載作用下人行橋的振動問題得到了廣泛的關(guān)注，其中人行振動荷載的準確模擬成為解決人行橋振動問題的關(guān)鍵。

對于人行橋人致振動計算發(fā)展出了多種行人模型，如移動質(zhì)量、單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)、雙足模型[2-3]等，但由于上述人-橋耦合模型計算復(fù)雜且部分行人參數(shù)難以確定導(dǎo)致應(yīng)用受限，而基于傅里葉展開得到的簡諧步伐力因為力學(xué)模型簡單而得到了廣泛的研究與應(yīng)用。Ricciardelli 等[4]采用解析方法得到了簡支梁橋在共振及非共振正弦移動荷載作用下豎向峰值加速度的計算公式；C.C.Caprani[5]采用隨機移動簡諧作用模擬行人荷載并基于蒙特卡洛框架提出了全局模態(tài)精細積分計算方法；陳舟[6]等基于單人移動荷載模型推導(dǎo)了豎向振動計算解析表達式，并以此給出了簡化振動頻率響應(yīng)函數(shù)以計算振動響應(yīng)的峰值加速度。而基于1階移動簡諧力簡化計算，多個國家人行橋規(guī)范，如BS 5400[7]、HIVOSS[8]、Setra[9]等給出了簡支或連續(xù)人行橋在單人作用下共振峰值加速度的計算公式以用于結(jié)構(gòu)振動舒適性評價。

雖然以移動簡諧力為代表的人致振動計算得到了廣泛的研究，但研究大多集中于1 階簡諧力作用下的簡化分析，而忽略了高階部分的影響，導(dǎo)致簡化單人荷載模型與真實步伐力有一定差距，引起人致振動響應(yīng)計算出現(xiàn)偏差。本文以單人行走左、右腳空間交替前行產(chǎn)生的實測豎向腳步步伐力為人行振動荷載，真實模擬行人行走過程中其對結(jié)構(gòu)的豎向作用，進行人致振動響應(yīng)的精確估算，并通過一實際人行橋人致振動試驗驗證了該法的準確性；再以共振步伐荷載下的結(jié)構(gòu)豎向加速度峰值為目標，與各國規(guī)范、文獻的計算結(jié)果進行對比，可為人行橋振動舒適性評價及設(shè)計提供參考。

1 真實步伐荷載模擬及振動計算方法

1.1 真實步伐荷載模擬

人在行走過程中對結(jié)構(gòu)的作用表現(xiàn)為左、右腳掌交替以步寬W、步長l與地面接觸時產(chǎn)生的空間步伐力，如圖1所示。為了真實模擬步伐荷載作用，本文同時考慮兩腳步寬及左、右腳前后交替步長產(chǎn)生的空間效應(yīng)。

圖1 行走雙腳步伐力作用示意圖

圖2 單腳地面豎向步伐力實測

其中，每步步伐力大小通過實測行走步伐力得到，如圖2所示為瑞士規(guī)范中根據(jù)步伐力實驗結(jié)果[10]提供的常速行走（步頻范圍1.5 Hz～2.3 Hz）時不同步頻的豎向步伐力模型，以步伐力動力系數(shù)αv計，每步豎向步伐力可由式（1）得到

式中：G為行人體重，fp為行走步頻。

1.2 人致振動響應(yīng)計算方法

為了精確計算結(jié)構(gòu)在單人行走步伐力作用下的振動響應(yīng)，采用左、右腳空間交替前行的真實步伐力來模擬行人振動荷載，行人以步寬W、步長l及步頻fp沿人行橋中心線行進時，得到結(jié)構(gòu)人致振動方程如式(2)所示

式中：M、K和C分別為橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及阻尼矩陣，、、u分別為結(jié)構(gòu)加速度、速度和位移響應(yīng)；Fr和Fl分別為單人左、右腳產(chǎn)生的步伐荷載力，δ(x)為Dirac函數(shù)，每個步伐力作用于腳掌與地面接觸的位置，以步長l交替向前；fl與fr分別為左、右腳真實步伐荷載，由式（1）得到。

結(jié)構(gòu)阻尼采用經(jīng)典Rayleigh 阻尼近似，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動特性試驗測得或采用規(guī)范推薦值。振動響應(yīng)求解即為每個時間步中步伐荷載下的振動響應(yīng)計算，數(shù)值計算采用Newmark-β法，β值取為0.25。

2 實例應(yīng)用分析

2.1 實測橋梁概況及結(jié)構(gòu)振動試驗

為了驗證本文計算方法的適用性，以一座鋼桁架簡支人行天橋為試驗對象，進行振動特性及人行振動荷載下結(jié)構(gòu)振動試驗，與本文計算結(jié)果進行對比分析。

如圖3所示為一鋼桁架人行天橋，主橋采用單跨為42.06 m、橋面總寬為4.7 m 的鋼桁架結(jié)構(gòu)。人行天橋由兩片鋼桁架通過上下橫梁連接而成，每片鋼桁架高為4.6 m，由上、下弦桿、腹桿、豎桿組成。橋面人行道板凈寬為4.4 m，橋面板由3 cm花崗巖鋪裝+3 cm水泥砂漿+13 cm混凝土+壓型鋼板組成，樓梯鋼筋混凝土板式結(jié)構(gòu)與主跨結(jié)構(gòu)分離。

為了得到結(jié)構(gòu)的自振特性及人行振動荷載下結(jié)構(gòu)豎向振動響應(yīng)特性，對人行橋進行了動載試驗。試驗中采用高靈敏度低頻加速度傳感器及配套設(shè)備，傳感器測點布置如圖3（c）所示，采樣頻率設(shè)為256 Hz，測試中對結(jié)構(gòu)振動豎向加速度時程進行記錄分析。

2.2 結(jié)構(gòu)振動模態(tài)參數(shù)識別

圖3 橋型布置及測點布置圖（單位：cm）

采用脈動法及跳擊法分別對結(jié)構(gòu)自振頻率及振動阻尼比進行識別。由于真實結(jié)構(gòu)受到外界環(huán)境影響，為了剔除噪聲對結(jié)果的影響，采用快速傅里葉變換（FFT）與特征系統(tǒng)算法（ERA）相結(jié)合的方法，具體如下：

(1)對結(jié)構(gòu)多組脈動或跳擊自由衰減振動響應(yīng)進行FFT 分析，提取多組數(shù)據(jù)中都穩(wěn)定出現(xiàn)的頻率結(jié)果；

(2)采用ERA 法對多組自由衰減振動響應(yīng)進行模態(tài)分析，得到不同階數(shù)N下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)（包括自振頻率、振動阻尼比，模態(tài)置信因子，模態(tài)相位角及模態(tài)振幅），提取模態(tài)置信因子大于0.99且各模態(tài)參數(shù)穩(wěn)定的結(jié)果；

(3)對比ERA 法與FFT 法，提取ERA 法中自振頻率與FFT 法相一致的模態(tài)參數(shù)作為最終識別結(jié)果。

如圖4所示為跨中結(jié)構(gòu)脈動及自由衰減振動一例與對應(yīng)的FFT分析和ERA分析結(jié)果。

由圖4可得：

(1)結(jié)合脈動響應(yīng)下FFT 頻譜結(jié)果與ERA 頻率穩(wěn)定圖及模態(tài)參數(shù)，得到結(jié)構(gòu)第1 階豎向?qū)ΨQ、2 階豎向反對稱振型的自振頻率分別為4.09 Hz 和18.0 Hz；

(2)采用ERA 法對多組跳擊工況下自由衰減振動分析，發(fā)現(xiàn)識別到的不同組振動阻尼比存在一定的浮動（第1、2 階振動阻尼比變化范圍分別為0.32%～0.52%和0.69%～0.82%），取不同組中出現(xiàn)頻率較高值作為識別結(jié)果，得到第1、2 階振型（f=4.09 Hz、18.0 Hz）對應(yīng)的振動阻尼比分別為0.38 %和0.7%，擬合得到結(jié)構(gòu)Rayleigh阻尼C=a0M+a1K，a0和a1分別為0.112 39和0.000 13，如圖4(c)曲線所示。

2.3 人行真實步伐荷載振動試驗對比分析

為了驗證計算方法的準確性，對單人行走作用下的振動響應(yīng)計算值與試驗進行對比分析。

為了減少環(huán)境噪聲對振動響應(yīng)的影響，采用多人齊步走作用下的振動響應(yīng)除以人數(shù)獲得單人振動荷載下響應(yīng)。如圖5所示為單人行走過橋作用下，實測得到的跨中位置A1 的加速度時程響應(yīng)及對應(yīng)的FFT分析、小波分析結(jié)果。

由圖5可得：

(1)根據(jù)小波對頻譜-時程分析可得結(jié)構(gòu)1 階振動在整個時間段都起主導(dǎo)作用，而行走步頻2.3 Hz的荷載頻率在行人經(jīng)過跨中附近時比較卓越；

(2)在行人經(jīng)過橋跨測點附近時，激發(fā)高階局部橋面板振動振型，并隨行人離開而迅速衰減；

(3)為了提取行人振動荷載作用下的結(jié)構(gòu)振動加速度峰值，對時程響應(yīng)進行高頻濾波處理，如圖所示實線為濾波8 Hz以上高頻后得到的時程對比圖，得到加速度峰值為0.008 89 m/s2。

圖4 實測時程響應(yīng)及振動特性分析

圖5 行人行走時程響應(yīng)分析

根據(jù)上述行人行走的特點及結(jié)構(gòu)振動參數(shù)，采用本文提出的計算方法建立簡支人行橋模型進行計算，其中結(jié)構(gòu)振動阻尼比采用上述識別方法得到系數(shù)，體重取3 人平均體重68 kg、過橋時行走步頻為2.3 Hz、步長0.67 m、步寬0.15 m。如圖6所示。

圖6 計算與實測振動時程響應(yīng)對比

將計算得到的跨中處加速度時程與實測的時程對比，計算得到的加速度峰值為0.008 47 m/s2，與實測結(jié)果較相符（誤差率4.7%），表明本文提出的真實步伐荷載下的人致振動計算方法具有較高的精度。

3 共振峰值加速度對比分析

3.1 規(guī)范、文獻共振峰值加速度計算方法

各國規(guī)范對于人行橋豎向振動的規(guī)定主要為了避開對結(jié)構(gòu)行走敏感頻率區(qū)域和對共振步伐荷載下結(jié)構(gòu)峰值加速度響應(yīng)的限制。

為了避免結(jié)構(gòu)基頻落于人正常行走的步頻范圍（1.6 Hz～2.4 Hz）而引起結(jié)構(gòu)共振（即結(jié)構(gòu)基頻f1=步頻fp），如中國人行天橋規(guī)范[11]要求結(jié)構(gòu)基頻大于3 Hz，但對于基頻大于3 Hz 的人行橋仍存在出現(xiàn)2 階超諧共振問題（即f1=2fp），因此，需要對2階超諧共振下的加速度峰值進行計算評估。多個規(guī)范、文獻中單人共振（超諧共振）下簡支人行橋跨中豎向加速度峰值的計算公式如式(3)至式(9)及圖7所示。

式中f1為結(jié)構(gòu)基頻，Hz；L為簡支梁跨徑，m；m1為模態(tài)質(zhì)量，m1=mL/2，m為單位長度質(zhì)量kg/m；M為全橋質(zhì)量M=mL；ξ1為結(jié)構(gòu)1 階阻尼比；ψ(f1)為結(jié)構(gòu)基頻偏離步頻時衰減系數(shù)，如圖7(a)所示；ys為結(jié)構(gòu)在跨中集中力作用下靜態(tài)位移，簡支梁在跨中700N作用下的變形，ys=700N?L3/48EI，E和I分別為結(jié)構(gòu)彈性模量和截面慣性矩；ψ為結(jié)構(gòu)振動動力系數(shù)，BS 5400和FIB 1階共振步頻如圖7(b)所示，圖中橫坐標分別為跨徑L和n=L/l，l為單步步長，2階共振步頻取圖中數(shù)值的0.25倍；ε為計算參數(shù)ε=n?ξ1；α為步伐力傅里葉展開比例系數(shù)，1、2階共振步頻分別取為0.4和0.1；G為行人體重，取為700 N。

圖7 計算參數(shù)圖式

3.2 峰值加速度對比分析

為了比較本文提出的計算方法與規(guī)范、文獻計算值的差異，比較前述結(jié)構(gòu)在2 階超諧共振下跨中峰值加速度，如圖8所示。

圖8 峰值加速度比較圖

由圖8可得：

(1)由于各國規(guī)范對步伐荷載的簡化方法不同，故計算結(jié)果亦不相同，Setra 與HIVOSS 規(guī)范采用穩(wěn)定正弦分布力模擬人行荷載，而BS5400、FIB、Ricciardelli、Fryba 采用1 階移動正弦集中力，本文則采用完全真實步伐力進行模擬；

(2)基于Setra與HIVOSS的計算結(jié)果偏大，而基于BS5400 的結(jié)果與Fryba 相同，由于基于最大峰值發(fā)生在行人經(jīng)過跨中位置時這一錯誤假設(shè)造成結(jié)果偏小，F(xiàn)IB 與Ricciardelli 結(jié)果較本文偏大；在上述1階正弦移動力作用下，基于Ricciardelli 的計算精度最高，與本文計算結(jié)果亦最接近，但仍有一定差異，表明不考慮高階步頻成分對結(jié)構(gòu)振動會產(chǎn)生一定影響。

4 結(jié)語

本文以人行橋人致振動為研究對象，采用左、右腳空間交替前行的實測步伐力作為人行振動荷載，提出了真實步伐荷載下人致振動響應(yīng)的精確計算方法，并對比了實橋振動試驗結(jié)果，驗證了該法的準確性；進一步將2 階超諧共振下的結(jié)構(gòu)加速度峰值與各國規(guī)范、文獻進行對比，得到如下結(jié)論：

(1)本文提出的人行振動荷載模型能較好模擬行人行走時對結(jié)構(gòu)的作用，人致振動計算方法能準確計算真實人行振動荷載作用下結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)；

(2)采用FFT 和ERA 聯(lián)合法能有效識別結(jié)構(gòu)自振頻率、阻尼比等參數(shù)，并可結(jié)合小波方法揭示結(jié)構(gòu)振動頻域-時程特性；

(3)對基頻在2.8 Hz～5 Hz 之間的人行橋，在2階超諧共振下可能產(chǎn)生較大振動，故有必要進一步進行人群振動荷載作用下的振動舒適性評估；

(4)各國規(guī)范、文獻中采用不同的單人荷載模式及簡化方法，計算得到的峰值加速度亦不相同，本文采用的真實步伐荷載由于考慮高階步頻成分，與1階正弦移動力計算結(jié)果有一定差異，在人行橋設(shè)計中應(yīng)予以關(guān)注。