考慮車橋接觸非線性因素的橋梁動(dòng)力響應(yīng)研究

周子驥，高芳清

(1.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031；2.西南交通大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031）

隨著現(xiàn)代交通事業(yè)的迅猛發(fā)展，公路車輛的運(yùn)行速度及荷載均有大幅度提高，車輛對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用顯著增加[1-2]。對(duì)于行駛中的車輛而言，地面對(duì)車輛的影響顯然比空氣影響更為顯著。地面作用力通過(guò)輪胎傳遞至汽車，因此作為車橋接觸構(gòu)件的輪胎是車橋耦合研究的重要部分。車輛行駛過(guò)程中，尤其是發(fā)生跳車情況，輪胎與橋面接觸的過(guò)程往往存在大變形。因此由輪胎大變形引起的車橋接觸非線性效應(yīng)該予以關(guān)注。

XW Liu 等[3]運(yùn)用半解析法研究車輪瞬時(shí)跳躍時(shí)的車橋動(dòng)力相互作用問(wèn)題。劉鈺等[4]建立車輛過(guò)橋時(shí)由于橋面不平度引起的跳車情況下的車橋耦合振動(dòng)計(jì)算模型，通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)研究跳車情況下橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。周子驥等[5]建立1/4 車輛模型研究了橋面障礙物引起跳車情況下的橋梁動(dòng)力響應(yīng)。雖然更深入研究了橋梁動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，但是上述研究均將車橋接觸看作是線彈性接觸而未涉及接觸非線性問(wèn)題。1979年，Captain基于輪胎變形和受力之間關(guān)系，從理論上推導(dǎo)了輪胎剛度模型[6]。劉任先提出輪胎剛度的多項(xiàng)式回歸模型[7]；其后管迪華根據(jù)輪胎的模態(tài)參數(shù)建立了便于離散計(jì)算的時(shí)域仿真模型[8]；最后陳棟華等通過(guò)振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行輪胎動(dòng)靜態(tài)試驗(yàn)，提出反映輪胎變形、輪胎壓強(qiáng)和外激勵(lì)頻率等輪胎剛度的非線性解析模型[9]。此模型的提出為車橋接觸非線性的研究奠定了基礎(chǔ)。因此可以在前人對(duì)車橋接觸構(gòu)件所進(jìn)行的研究基礎(chǔ)上，結(jié)合橋梁動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題研究方法，進(jìn)一步研究考慮車橋接觸非線性時(shí)的橋梁動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。

結(jié)合簡(jiǎn)支梁橋特點(diǎn)，采用簡(jiǎn)構(gòu)車輛和簡(jiǎn)支梁橋模型，通過(guò)胎壓非線性模擬、基于泰勒展開(kāi)的車橋接觸剛度擬合、車橋耦合非線性動(dòng)力學(xué)方程的改進(jìn)與建立、“新型預(yù)測(cè)-校正積分”數(shù)值求解方法的引用等工作，對(duì)不同跳車高度和車速情形下的橋梁動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算分析，并與基于車橋耦合作用線性方程的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，探究車橋接觸非線性與線性條件下分析結(jié)果的差異。

1 車橋接觸非線性的研究

1.1 輪胎模型的建立

車輛輪胎是汽車的重要部件，是將車輛荷載傳遞給橋梁結(jié)構(gòu)的主要構(gòu)件，是車橋接觸的樞紐。在車橋耦合研究中，尤其是在特殊行車狀態(tài)時(shí)的橋梁動(dòng)力學(xué)研究中，輪胎往往存在大變形，因此輪胎與橋梁的接觸非線性效應(yīng)尤為明顯，所以需要在輪胎沖擊橋梁時(shí)刻進(jìn)行仿真研究。

在建立系統(tǒng)模型過(guò)程中需進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化。由于主要研究胎壓變化與輪胎非線性關(guān)系，所以橋梁簡(jiǎn)化為剛性路面。在輪胎橡膠區(qū)域使用實(shí)體solid185 單元，對(duì)內(nèi)部氣體使用solid242 單元，用質(zhì)量單元mass21 模擬輪胎連接結(jié)構(gòu)件的質(zhì)量，用conta173 和targe170 接觸單元模擬輪胎與地面的接觸，用conta175 和targe170 接觸單元模擬輪轂的支撐作用，用solid265 單元模擬鋼絲加固層。設(shè)定輪胎區(qū)域邊上網(wǎng)格數(shù)量，可使截面網(wǎng)格形狀較為規(guī)則，然后沿輪胎軸向方向掃略生成整個(gè)輪胎網(wǎng)格。輪胎與橋梁有限元模型如圖1所示。

1.2 輪胎壓強(qiáng)變化公式

輪胎非線性因素主要與胎壓有關(guān)。輪胎壓強(qiáng)變化直接引起輪胎非線性效應(yīng)的改變。在跳車沖擊過(guò)程中，車輛下落沖擊橋面時(shí)，輪胎壓強(qiáng)變化尤為明顯。因此，研究車輛沖擊橋面時(shí)的輪胎壓強(qiáng)變化對(duì)研究輪胎非線性效應(yīng)尤其重要。

圖1 輪胎與橋梁有限元模型

對(duì)于重車，根據(jù)規(guī)范《GB/T2977-2016 載重汽車輪胎規(guī)格、尺寸、氣壓》，選取參數(shù)為10.00R20 輪胎進(jìn)行研究。輪胎充氣后胎壓為830 kPa，承受荷載為1/6車輛重量，下落高度為50 mm。

輪胎在車輛重力荷載作用下開(kāi)始自由下落，沖擊橋面。其求解運(yùn)算分為4個(gè)步驟：

(1）施加初始溫度和車輛荷載；

(2）施加充氣壓強(qiáng)；

(3）刪除壓力和位移約束；

(4）自由下落撞擊橋面。

計(jì)算后得到如圖2所示的輪胎壓強(qiáng)變化曲線：

圖2 輪胎壓強(qiáng)變化過(guò)程圖

由壓強(qiáng)變化曲線可知，輪胎在前1 s時(shí)初始溫度為27°C。從1 s開(kāi)始?jí)簭?qiáng)增大使得輪胎初始?jí)簭?qiáng)達(dá)到830 kPa。從3 s 開(kāi)始輪胎受車輛重力作用而下落，在3.177 8 s 時(shí)接觸橋面。輪胎下落時(shí)最大壓強(qiáng)為909 kPa，壓強(qiáng)最大時(shí)間出現(xiàn)在3.276 s。在3.411 4 s時(shí)，輪胎壓強(qiáng)恢復(fù)。根據(jù)ANSYS模擬結(jié)果可知，輪胎壓強(qiáng)變化與時(shí)間成線性關(guān)系；輪胎從下落撞擊橋面開(kāi)始變形到變形恢復(fù)所用的時(shí)間與輪胎下落高度有關(guān)。擬合ANSYS數(shù)據(jù)曲線，可以得到胎壓與下落高度關(guān)系，即

其中：P為壓強(qiáng)，單位是kPa；t1代表從輪胎下落撞擊橋面開(kāi)始變形到變形恢復(fù)所用的時(shí)間，單位是s；h代表下落高度，單位是m。

1.3 輪胎剛度與壓強(qiáng)關(guān)系

由文獻(xiàn)[9]可知，輪胎的受力與其剛度有關(guān)，即

其中：F代表受力大小，單位為N；δ代表輪胎變形量，單位是mm；k1、k2為剛度系數(shù)，單位分別為N?mm-1和N ?mm-2。

同樣由文獻(xiàn)[9]可以得到kl和k2值與胎壓變化P關(guān)系的準(zhǔn)確表達(dá)式。即

其中：kl、k2為輪胎剛度的相關(guān)量，單位分別為N ?mm-1和N ?mm-2；P為胎壓，單位為kPa；a01、a11、a02、a12為系數(shù)，單位分別是N ?mm-1、mm、N ?mm-2、mm；其中a01、a11、a02、a12數(shù) 值 分 別18.204 0 N ?mm-1、0.626 2×10-6mm 、-0.675 4 N ?mm-2、0.010 5×10-6。

2 非線性方程建立與求解

橋系統(tǒng)的計(jì)算模型見(jiàn)圖3。

圖3 考慮輪胎非線性時(shí)的車橋耦合模型

其中：yw、yv與y分別表示汽車懸掛結(jié)構(gòu)、車體和橋的位移；y0表示路面不平順；mw、mv分別為汽車懸掛結(jié)構(gòu)和車體的質(zhì)量；cw、cv分別是汽車懸掛結(jié)構(gòu)和車體的阻尼；k、ka、kv分別是汽車輪胎、汽車懸掛結(jié)構(gòu)和車體的剛度。橋梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，抗彎剛度為EI。H為障礙物高度。K與k1、k2有關(guān)，kw代表輪胎和懸掛結(jié)構(gòu)非線性剛度。

2.1 輪胎與懸掛結(jié)構(gòu)剛度擬合

由式（3）可知輪胎剛度k=k1+k2δ。由圖3可知，輪胎剛度和懸掛結(jié)構(gòu)剛度組成串聯(lián)系統(tǒng)，因此其串聯(lián)剛度為

其中：kw為懸掛結(jié)構(gòu)和輪胎整體剛度，δ為輪胎變形量。將式（5）化簡(jiǎn)可得

雖然k2的數(shù)值大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于k1和ka，是其值的1/60，但是輪胎變形量δ較大，因此分母中k2δ不能省略。運(yùn)用泰勒展開(kāi)式可將整體剛度表示為

2.2 車輛與橋面接觸

車輛輪胎與橋面保持接觸時(shí)，車-橋系統(tǒng)方程為耦合方程，即

將方程式（11）按照模態(tài)展開(kāi)并積分，由φi(x)正交性，可以得到

令mv+mw=mt，將上述公式代入式（9）、式（10）、式（13）中得到

其中：M、C和K分別為(i+2)階質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，Q為(i+2)階荷載向量，q為(i+2)階向量。表達(dá)式如下

2.3 車輛離開(kāi)橋面過(guò)程

跳車即車輛輪胎受到障礙物影響而騰起，與橋面發(fā)生脫離，對(duì)應(yīng)時(shí)間為ts≤t＜ts+tL。tL表示車輛離開(kāi)橋面騰空時(shí)間。車-橋系統(tǒng)可用非耦合方程表示為

寫(xiě)成矩陣形式

其中矩陣M2、C2、K2和向量Q2、q分別為

對(duì)于跳車持續(xù)時(shí)間tL：y+y0+yw+H-0.5g?tL2≥0。

3 算法選取與路面不平順

3.1 算法選取

文中計(jì)算涉及非線性方程組，使用Newmark 隱式法計(jì)算，雖然穩(wěn)定性較好，但是由于每步積分都需要求解高階線性代數(shù)方程組，且需要重新計(jì)算剛度矩陣，其時(shí)效性較差；使用Newmark顯式法計(jì)算，雖然穩(wěn)定性較好，但是顯著受穩(wěn)定性限制，容易影響計(jì)算精度。為保證結(jié)果精確性與時(shí)效性，互補(bǔ)2 種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)，采用翟婉明提出的“新型預(yù)測(cè)-校正積分”方法來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解[10]。

預(yù)測(cè)式修正

校正式修正

由此構(gòu)成的預(yù)測(cè)與校正積分模式，共分為6 個(gè)步驟：

（1）進(jìn)行預(yù)測(cè){y}p,n+1，{V}p,n+1；

（2）校正，求得{y}m,n+1，{V}m,n+1；

（3）通過(guò)計(jì)算，求得{A}p,n+1={M}-1({P}n+1-(K)n+1{X}n+1- {C}n+1{V}p,n+1)；

（4）校正{X}c,n+1、{V}c,n+1；

（5）改進(jìn){X}n+1、{V}n+1；

（6）計(jì)算{A}n+1。

初始條件為

得到

于是便可以開(kāi)始積分了。

其中ε為誤差補(bǔ)償系數(shù)，下標(biāo)p、c、m代表預(yù)測(cè)值(predict)、校正值(correct)、改進(jìn)值(modifier)；下標(biāo)n和（n+1）表示t=nΔt 和t=(n+1)Δt 的響應(yīng)量；{C}n+1、(K)n+1表示(n+1)Δt時(shí)的瞬時(shí)阻尼、剛度矩陣，僅對(duì)線性問(wèn)題才為定值。{M}為質(zhì)量陣，{A}(或{y})、{V}為廣義位移、速度矢量。

3.2 路面不平順

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)路面進(jìn)行大量測(cè)試和研究，通過(guò)傅里葉變換將路面功率譜轉(zhuǎn)化為表面平順度數(shù)據(jù)。其橋面平順度數(shù)據(jù)可以描述為

式中：θi為[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)；ni是空間頻率，Gr(ni)為路面功率譜函數(shù)。

圖4為利用傅立葉逆變換法得出的路面較差的A、D級(jí)路面隨機(jī)不平順樣本。

4 算例與分析

橋的參數(shù)為：EI=2.05×1010N ?m2，m=9.36×103kg/m，L=24 m。車輛的參數(shù)：mv=15 670 kg，mw=2 530 kg，Cv=10 000 N ?s/m，Cw=5 000 N ?s/m，kv=1.8×106N/m ，P=830 kPa，ka=126×106N/m。結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)η=0.001；時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.001 s。

4.1 起跳高度不同時(shí)的跳車沖擊過(guò)程計(jì)算結(jié)果比較

橋面不平順取A、D級(jí)路面不平度，車輛速度取V=10 m/s?？紤]車輛起跳高度H=0.03 m、0.05 m時(shí)，沖擊點(diǎn)選擇為跨中。比較在不同起跳高度情況下，考慮車橋接觸線性與非線性時(shí)跳車沖擊對(duì)橋面豎向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的影響差異。計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

車輛過(guò)橋過(guò)程計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)跳車高度H=0.05 m 時(shí)，車橋接觸線性與非線性兩種情況對(duì)橋梁跨中豎向位移值影響尤為明顯，最大差異超過(guò)4 mm；考慮接觸非線性時(shí)，橋梁跨中豎向位移值有所增加。車輛未處于跳車狀態(tài)時(shí)，考慮接觸非線性對(duì)橋梁位移值的影響與其線性情況影響差異很小。路面不平順度越高，接觸非線性和線性差異越明顯。

4.2 車輛速度不同時(shí)的跳車沖擊過(guò)程計(jì)算結(jié)果比較

橋面不平順取A、D級(jí)路面不平度，障礙物高度H=0.03 m，車輛速度V=10、20 m/s 時(shí)，考慮在橋梁跨中處發(fā)生跳車沖擊現(xiàn)象。比較不同車速情況下，考慮車橋接觸線性與非線性時(shí)跳車沖擊對(duì)橋面豎向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的影響。

橋梁跨中響應(yīng)如圖6所示，計(jì)算結(jié)果表明：車橋接觸非線性對(duì)橋梁豎向位移響應(yīng)的影響與速度有關(guān)；當(dāng)V=10 m/s時(shí)，接觸非線性與線性條件下橋梁跨中位移值相差超過(guò)2 mm，當(dāng)V=20 m/s 時(shí)，其差異超過(guò)1 mm；隨著速度增大，接觸非線性影響減弱。車輛行駛速度越快，路面不平度使接觸非線性對(duì)橋梁影響越減弱。

圖4 橋面不平度模擬

圖5 跳車高度不同時(shí)輪胎線性與非線性差異

圖6 車速不同時(shí)輪胎線性與非線性差異

5 結(jié)語(yǔ)

車輛過(guò)橋面發(fā)生跳車沖擊過(guò)程時(shí)，考慮不同跳車高度、不同車速工況下，車輛對(duì)橋梁沖擊作用受輪胎非線性影響程度。

(1)考慮車橋接觸非線性與輪胎線性兩種情況，車橋接觸非線性會(huì)使橋梁跨中豎向位移值增大。

(2)車輛未處于跳車狀態(tài)時(shí)，車橋接觸非線性與線性兩種情況對(duì)橋梁豎向位移值影響差異不明顯。而出現(xiàn)跳車狀況時(shí)，車橋接觸非線性對(duì)橋梁豎向位移值的影響與輪胎線性條件下相比，差異明顯。因此研究發(fā)生跳車沖擊時(shí)的橋梁動(dòng)力響應(yīng)，應(yīng)該考慮車橋接觸非線性效應(yīng)影響。

(3)橋面不平順度越高，車橋接觸非線性對(duì)橋梁豎向位移值影響越明顯，但是其影響趨勢(shì)不太顯著。

因此，當(dāng)不考慮車輛跳車沖擊時(shí)在橋面耦合行駛時(shí)，可以忽略車橋接觸非線性的影響；而當(dāng)考慮特殊行車狀態(tài)時(shí)，應(yīng)該考慮車橋接觸非線性影響。