基于改進區(qū)間攝動分析的統(tǒng)計能量分析法

張 政，許孟輝

（寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波315211）

統(tǒng)計能量分析(Statistical Energy Analysis，SEA)可以有效克服有限元法、邊界元法等在解決復雜系統(tǒng)寬帶高頻動力學問題中遇到的困難[1-2]。它將復雜系統(tǒng)劃分為多個具有相似模態(tài)的耦合子系統(tǒng)，利用統(tǒng)計學方法以能量描述系統(tǒng)狀態(tài)及動響應。然而，以SEA 進行動力學系統(tǒng)的環(huán)境預示需要確定3類參數(shù)：子系統(tǒng)的模態(tài)密度與內(nèi)損耗因子、子系統(tǒng)間耦合損耗因子。以內(nèi)損耗因子為例，其10%的誤差導致響應估計1 dB 的偏差，其100%的誤差導致響應估計3 dB的誤差[2]。然而，內(nèi)損耗因子通常為10-2～10-4數(shù)量級的小數(shù)，耦合損耗因子的數(shù)量級則更小，在工程領域內(nèi)對這些小數(shù)量級參數(shù)進行高可靠度的試驗測量是非常困難的。同時，系統(tǒng)服役環(huán)境亦非一成不變，這將導致材料參數(shù)、邊界參數(shù)等的變異。因此，SEA 參數(shù)具有明顯的不確定性[3-4]，快速準確計算輸入?yún)?shù)的不確定性對子系統(tǒng)能量及其對動響應的影響規(guī)律的分析是十分必要的。

Culla等[5]研究了隨機參數(shù)對SEA功率流平衡方程的影響。在系統(tǒng)參數(shù)可用數(shù)據(jù)不足的條件下，高精度地擬合隨機參數(shù)分布難以實現(xiàn)，而以非概率凸模型對不確定性參數(shù)建模具有突出的優(yōu)勢。Yin等[6]結(jié)合有限元法、SEA 與區(qū)間攝動分析法(Interval Perturbation Method，IPM)研究了區(qū)間參數(shù)對中頻聲振耦合分析的影響規(guī)律。吳迪等[7-8]將不確定性以區(qū)間參數(shù)和非概率凸模型參數(shù)定量化，基于Taylor級數(shù)展開法研究了認知不確定性對結(jié)構(gòu)振動子系統(tǒng)間能量流的影響。本文作者也對區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的高頻動力學特性分析提出了逐維法和頂點法[9]，但這兩種方法的計算效率低于IPM。雖然定量度量系統(tǒng)參數(shù)的不確定性對分析其高頻動力學特性的影響規(guī)律具有重要的理論價值和工程意義，但不確定性在SEA 中的傳播分析研究相對有限，且現(xiàn)有方法面臨計算精度(如Taylor級數(shù)展開法)或計算效率(如逐維法和頂點法)的限制。

本文以區(qū)間參數(shù)向量對不確定性建模，基于IPM 高效率的優(yōu)勢，通過保留部分高階攝動項克服IPM 計算精度不足的限制，提出基于改進區(qū)間攝動分析(Improved Interval Perturbation Method，IIPM)的統(tǒng)計能量分析法(IIPM-SEA)，通過與蒙特卡洛法、頂點法與經(jīng)典IPM法的比較驗證本文方法有效性。

1 SEA基本原理與方程

SEA 使用統(tǒng)計模態(tài)的概念，以振動能量作為描述系統(tǒng)振動的基本參數(shù)，利用各子系統(tǒng)間的能量流關(guān)系式對結(jié)構(gòu)振動與聲輻射等系統(tǒng)動力學特性進行時間與空間上的統(tǒng)計評估。SEA的基本假設包括：

(1)子系統(tǒng)間為線性保守耦合，不存在非保守性的耦合，且滿足互易性原理；

(2)子系統(tǒng)間能量流與子系統(tǒng)間實際能量差成正比，即能量流與平均模態(tài)能量之差成正比；

(3)系統(tǒng)受互不相關(guān)的寬帶隨機激勵作用，具有模態(tài)非相干性，且可進行能量線性疊加。

對于由N個子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，SEA 功率流平衡方程為

其中ηi(i=1,2,…,N)為子系統(tǒng)i的內(nèi)損耗因子，ηik(i≠k＆i,k=1,2,…,N)為振動能量從子系統(tǒng)i傳至子系統(tǒng)k的耦合損耗因子，Pi,in(i=1,2,…,N)為外界對子系統(tǒng)i的輸入功率，ω為分析帶寬的中心頻率，Ei(i=1,2,…,N)為分析帶寬內(nèi)子系統(tǒng)i的能量。功率流平衡方程的矩陣格式寫為

其中損耗因子矩陣L為

能量列向量E為

輸入功率列向量Pin為

上標T為轉(zhuǎn)置運算符。

根據(jù)式(2)表示的功率流平衡方程，若已知各子系統(tǒng)的模態(tài)密度與內(nèi)損耗因子、子系統(tǒng)間耦合損耗因子及外界激勵輸入功率，通過代數(shù)運算可獲得每個子系統(tǒng)的平均能量，進一步獲得諸如振動速度與聲壓等響應。但如前文所述，模態(tài)密度、內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子與外界激勵等參數(shù)不可避免地存在不確定性，導致各子系統(tǒng)能量及其動響應具有分散性。針對這個問題，下文提出一種用于定量度量參數(shù)不確定性對系統(tǒng)動響應影響規(guī)律的方法。

2 區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的統(tǒng)計能量分析

2.1 問題描述

系統(tǒng)參數(shù)以向量a表示，式(2)中SEA 功率流平衡方程進一步寫為

在系統(tǒng)參數(shù)a可用數(shù)據(jù)不足的前提下，系統(tǒng)參數(shù)的不確定性可通過區(qū)間向量建模，以aI表示。因此，區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的SEA功率流平衡方程為

其中區(qū)間參數(shù)向量aI的下界向量和上界向量分別表示為aL和aU，即

方程式(4)的解為

值得指出的是：(1)各子系統(tǒng)的能量因共享系統(tǒng)參數(shù)a而相互依賴，式(6)表示的解集通常極難精確計算；(2)工程領域更為關(guān)心每個子系統(tǒng)能量及動響應的變化規(guī)律或界限。因此，區(qū)間分析以獲得式(4)或式(6)的最小超立方體包絡解為目標，即

其中

2.2 基于改進區(qū)間攝動分析的統(tǒng)計能量分析

區(qū)間攝動分析法是一類經(jīng)典的區(qū)間分析算法，因其計算效率高而備受青睞，該領域研究集中于如何提高其計算精度。從發(fā)展歷程看，區(qū)間攝動分析法可分為3種格式，即Qiu-based IPM[10]、McWilliambased IPM[11]、IIPM[12-13]。從計算精度而言，Qiubased IPM 具有明顯的“區(qū)間過估計”效應；McWilliam-based IPM具有一定的“區(qū)間平移”效應，計算精度高于前者；IIPM 具有一定的“區(qū)間不可預估”效應，較前兩者的計算精度為高，但其存在計算格式不合理的問題。本文分析現(xiàn)有IIPM的局限，提出合理的IIPM 計算格式，進一步建立基于IIPM 的統(tǒng)計能量分析方法。

區(qū)間向量aI的中點ac與半徑ar分別為

將損耗因子矩陣L( aI)和輸入功率向量Pin(aI)在ac處進行Taylor級數(shù)線性展開，有

其中

根據(jù)式(4)可知區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的區(qū)間能量矩陣為

當ΔLIL-1譜半徑小于1時[12-13]，(Lc+ΔLI)-1可以展開為Neumann級數(shù)，有

令

從而，式(16)化簡為

而級數(shù)和的冪次項可以表示為

忽略式(19)中的交叉項，式(18)進一步化簡為

其中I為單位矩陣。令

其中

從而，式(20)進一步化簡為

將式(23)代入式(15)中，有

忽略式(24)中的二階攝動項，有

現(xiàn)有IIPM 根據(jù)式(25)給出的區(qū)間能量向量EI的區(qū)間半徑ΔE分別為

在式(26)中有兩類區(qū)間變量，即ΔaIk和ΔMIk，因式(22)的關(guān)系，這兩類區(qū)間變量是相互獨立的，且ΔMIk中各區(qū)間變量分量也是相互獨立的。進一步地，由式(26)可知，ΔEI是ΔaIk和ΔMIk的線性函數(shù)，ΔEI的區(qū)間界可以通過頂點法精確獲得。因此，式(27)和式(28)忽略了2 個事實：(1)能量向量EI不同分量的區(qū)間界可在區(qū)間變量張成子空間的不同頂點處取得；(2)能量向量EI任一分量的區(qū)間界并非總在區(qū)間變量右端點取得，其僅是區(qū)間變量張成子空間的一個特殊頂點。為清晰起見，以如下形式簡單的矩陣和向量來說明，即令

從而，E1I= ( Lc)-1ΔMkIPicn的精確區(qū)間界為

在由ΔMkI中區(qū)間變量xI=[xI1,xI2,xI3,xI4]張成子空間內(nèi)，以式(30)所表示精確區(qū)間界的上界EU1為例，與它2個分量所對應的空間頂點是

由式(31)可知，E1I中2 個區(qū)間分量分別在頂點處取得，且這2 個頂點均不是區(qū)間變量xI的右端點。然而，式(27)和式(28)均認為能量向量EI各分量區(qū)間界在區(qū)間變量張成子空間內(nèi)的同一個頂點處，即區(qū)間變量右端點取得。

因此，能量向量EI的區(qū)間半徑ΔE為

根據(jù)式(25)和式(30)獲得系統(tǒng)能量向量的區(qū)間界為

值得指出的是，本文方法以SEA 為基礎，滿足SEA假設前提下可通過所提方法獲得系統(tǒng)參數(shù)不確定性對系統(tǒng)響應的定量化影響規(guī)律，即：較SEA 而言，本文方法對響應頻率范圍等因素無附加要求。但就不確定性分析而言，本文方法適用于小區(qū)間參數(shù)輸入問題，其適用范圍可通過子區(qū)間方法得以有效拓展。

3 算例與討論

考慮圖1中板腔系統(tǒng)，它由1個四邊簡支矩形鋁板與5個剛性壁面圍成，板長L、板寬W與板厚t在圖中標識，該系統(tǒng)區(qū)間參數(shù)列在表1中，其中ρs、Es、vs和ηs分別為鋁板的質(zhì)量密度、彈性模量、泊松比和內(nèi)損耗因子，ρa和ηa分別為聲腔內(nèi)聲學介質(zhì)的質(zhì)量密度和內(nèi)損耗因子，矩形鋁板上表面的幾何中心點的位置作用白噪聲機械激勵。

表1 板腔系統(tǒng)的區(qū)間參數(shù)

圖1 板腔系統(tǒng)構(gòu)型

板腔系統(tǒng)的SEA 模型如圖2所示，在給定區(qū)間參數(shù)任意實現(xiàn)的條件下，平板子系統(tǒng)的能量與聲腔子系統(tǒng)的能量可以通過式(1)中的經(jīng)典功率流平衡方程計算獲得。

圖2 板腔系統(tǒng)的統(tǒng)計能量分析模型

根據(jù)鋁板子系統(tǒng)能量計算得到鋁板振速級VSL

其中Es為鋁板子系統(tǒng)的能量，ρs為鋁板質(zhì)量密度，Vs為鋁板體積，vref為參考速度，取為

相應地，聲腔內(nèi)聲壓級SPL 根據(jù)聲腔子系統(tǒng)能量計算得到

其中：Ea為聲腔子系統(tǒng)的能量，ρa為聲腔內(nèi)介質(zhì)的質(zhì)量密度，ca為聲腔內(nèi)介質(zhì)的聲速，Va為聲腔體積，pref為參考壓強，取為

采用區(qū)間攝動分析法(McWilliam-based IPM)、所提方法(Proposed method)、蒙特卡洛法(MC)和頂點法(Vertex method)計算平板子系統(tǒng)和聲腔子系統(tǒng)能量的區(qū)間界。根據(jù)區(qū)間擴張原理，鋁板區(qū)間振速級/聲腔區(qū)間聲壓級的下界和上界分別為

其中聲學介質(zhì)中聲速與聲學介質(zhì)密度是相關(guān)的，其下界和上界分別為

鋁板區(qū)間振速級頻響分布和聲腔區(qū)間聲壓級頻響分布分別如圖3和圖4所示。

圖3 鋁板振速級的區(qū)間界

可以獲得結(jié)論如下：

(1)頂點法與蒙特卡洛法計算的區(qū)間界基本吻合，且前者略寬于后者。因這兩種方法均源于抽樣策略，二者計算的區(qū)間界為精確區(qū)間界的子集，因此，在該問題中頂點法計算精度高于蒙特卡洛法。進一步地，頂點法需運行64 次傳統(tǒng)SEA 模型，其計算效率隨區(qū)間參數(shù)個數(shù)的增加而指數(shù)遞減，此例中蒙特卡洛法運行傳統(tǒng)SEA模型次數(shù)為106；

(2)與頂點法計算結(jié)果相比，經(jīng)典區(qū)間攝動分析法的計算結(jié)果存在明顯“區(qū)間平移”現(xiàn)象。相比而言，本文方法可以減小“區(qū)間平移”效應，計算精度高。且本文方法僅需7 次SEA 分析過程，其計算效率隨區(qū)間參數(shù)個數(shù)的增加而線性遞減，顯著高于頂點法的計算效率。與頂點法相比，本文方法以其計算精度極小幅度的犧牲為代價大幅度提高了計算效率。

4 結(jié)語

圖4 聲腔聲壓級的區(qū)間界

在統(tǒng)計能量分析過程中，耦合損耗因子的不確定性源于系統(tǒng)幾何參數(shù)波動、系統(tǒng)材料參數(shù)變異與試驗測量誤差，內(nèi)損耗因子的不確定性源于試驗測量誤差。為定量獲得內(nèi)損耗因子與耦合損耗因子的不確定性對系統(tǒng)高頻動力學特性的影響規(guī)律，本文以區(qū)間參數(shù)對系統(tǒng)參數(shù)的不確定性建模，對現(xiàn)有改進區(qū)間攝動分析法中區(qū)間響應的計算過程進行了合理改進，并與統(tǒng)計能量分析法相結(jié)合提出了一種基于改進區(qū)間攝動分析的統(tǒng)計能量分析法。主要結(jié)論包括：

(1)從計算精度看，本文方法因有效減小經(jīng)典區(qū)間攝動分析法的“區(qū)間平移”效應而較后者具有更高的計算精度，但所提方法的計算精度低于蒙特卡洛法和頂點法；

(2)從計算效率看，本文方法與經(jīng)典區(qū)間攝動分析法具有相同的計算效率，均隨區(qū)間參數(shù)個數(shù)的增加而線性遞減，且計算效率顯著高于頂點法；

(3)本文方法可以高效準確地定量系統(tǒng)參數(shù)的不確定性對系統(tǒng)高頻動力學特性的影響規(guī)律。與基于現(xiàn)有區(qū)間分析的統(tǒng)計能量分析法相比，本文方法在確保滿意計算精度的前提下具有計算效率方面的優(yōu)勢。