一種未知激勵(lì)下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別新方法

劉景良，俞安華，吳 琛，盛 葉，駱勇鵬

（1.福建農(nóng)林大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院，福州350002；2. 福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州350118）

模態(tài)參數(shù)識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域的一個(gè)關(guān)鍵問題。通過模態(tài)參數(shù)可以獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，從而方便對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步的振動(dòng)控制和狀態(tài)評(píng)估[1-3]。然而需要指出的是：在實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)受到的激勵(lì)是難以測量的，只有輸出響應(yīng)才能測得并提供有用的信息。因此，對(duì)未知激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別研究具有十分重要的意義。

目前，信號(hào)處理技術(shù)在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別研究領(lǐng)域獲得廣泛運(yùn)用，主要方法有峰值采樣法、頻域分解法[4]、隨機(jī)子空間[5]、頻響函數(shù)[6]、自然激勵(lì)技術(shù)[7]、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法[8]和自回歸滑動(dòng)平均[9]等。然而，上述識(shí)別方法的可靠性容易因噪聲的影響而降低，同時(shí)它也不能識(shí)別土木工程結(jié)構(gòu)中常見的密集模態(tài)參數(shù)[10]。為此，一些新的時(shí)頻分析方法不斷被引入并成為處理未知激勵(lì)下土木工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)的有力工具，其主要方法有Wigner-Ville 分布、短時(shí)傅里葉變換、小波變換(Wavelet Transform，簡稱WT)、希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，簡稱HHT)等，而其中又以HHT和WT方法研究最為深入[11-12]。

然而由于環(huán)境噪聲的不可避免性，WT 需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行多重分解才能有效揭示信號(hào)的內(nèi)部特征，因而其無法很好地分析大型土木工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)[13]?；诮?jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD)的HHT 方法通過三次樣條插值將多分量信號(hào)自適應(yīng)地分解成一系列本征函數(shù)，但EMD本質(zhì)上是一種經(jīng)驗(yàn)性的局域分析方法，它無法分離密集的模態(tài)響應(yīng)，特別是具有模態(tài)頻率疊混現(xiàn)象的多分量信號(hào)[14]。Wu 等[15]基于高斯白噪聲統(tǒng)計(jì)特性，提出集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法來解決EMD算法中存在的模態(tài)疊混問題。該方法通過添加高斯白噪聲對(duì)數(shù)據(jù)的極值分布進(jìn)行均勻化，從而緩解了模態(tài)密集和疊混現(xiàn)象。但正是由于白噪聲的添加，集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法也將出現(xiàn)分解不完備性和重構(gòu)信號(hào)中含有白噪聲等缺點(diǎn)[16]。為此，Chen 和Wang[17]提出解析模態(tài)分解(Analytical Modal Decomposition，簡稱AMD)這一時(shí)域信號(hào)分解方法來提取分量信號(hào)。該方法的本質(zhì)是利用構(gòu)造的正交函數(shù)與原始信號(hào)乘積的希爾伯特變換把每一具有特定頻率成分的分量信號(hào)解析地分解出來。AMD 不但能夠從大的波動(dòng)中分離出小的間歇性波動(dòng)信號(hào)，同時(shí)也能夠分解密集模態(tài)分量和窄帶分量信號(hào)。然而需要指出的是：模態(tài)參數(shù)時(shí)域識(shí)別法的關(guān)鍵是如何獲得結(jié)構(gòu)的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)。而隨機(jī)減量法(random decrement technique，簡稱RDT)作為一種從隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中提取自由衰減振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，能夠在多分量信號(hào)分解之前對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理從而有效減少信號(hào)中的隨機(jī)成分。

在采用AMD分解出分量信號(hào)后，提取瞬時(shí)頻率等模態(tài)參數(shù)成為可能。常見的方法有希爾伯特變換(Hilbert Transform，簡稱HT)、零點(diǎn)法和Teager 能量算子等，而其中又以HT 最為普遍和直接[18]。但是HT對(duì)噪聲極為敏感，其識(shí)別的結(jié)果與真實(shí)值存在一定的偏差，因此有必要引入卡爾曼濾波(Kalman Filter，簡稱KF)等平滑算法來修正HT識(shí)別的模態(tài)參數(shù)結(jié)果。

基于此，本文從未知激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)出發(fā)，聯(lián)合RDT、AMD、HT和KF方法提出了一種新的未知激勵(lì)下的土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，并通過一個(gè)合成信號(hào)和一個(gè)4 層鋼框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。研究結(jié)果表明：該方法能夠準(zhǔn)確有效地識(shí)別結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比。

1 基本理論

新提出的未知激勵(lì)下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的流程圖如圖1所示。

該方法主要由以下3 個(gè)步驟組成。首先，采用RDT從實(shí)測的環(huán)境振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中估算出自由振動(dòng)響應(yīng)。其次，引入AMD 算法將估計(jì)出的自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)分解成各階獨(dú)立的模態(tài)分量信號(hào)，且每階頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)自由振動(dòng)的模態(tài)響應(yīng)。最后，通過HT 得到各階模態(tài)響應(yīng)的固有頻率和模態(tài)阻尼比，然后進(jìn)一步運(yùn)用KF 算法進(jìn)行平滑處理，從而得到更為精確的頻率值和阻尼比值。

1.1 采用RDT估計(jì)自由響應(yīng)

由于未知激勵(lì)下的響應(yīng)信號(hào)是隨機(jī)的，直接對(duì)原始響應(yīng)進(jìn)行分析是不合適的[19]。而由Cole 提出的隨機(jī)減量技術(shù)主要用于提取隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的自由衰減響應(yīng)[20]。RDT 基于這樣一個(gè)假定：原始響應(yīng)信號(hào)x(t)由確定性和隨機(jī)性兩部分組成。在合理地確定初始條件(閾值a)之后，可通過統(tǒng)計(jì)平均的方法將隨機(jī)部分去除，從而過濾出確定性的自由衰減信號(hào)，如式(1)所示。

式中：y(ti)是實(shí)測原始響應(yīng)信號(hào)x(t)在ti時(shí)刻處的樣本個(gè)體，且y(ti)滿足閾值a條件，如圖2(a)所示。用y(ti)=a截樣本曲線可得到若干個(gè)交點(diǎn)，其中N為交點(diǎn)的數(shù)量，τ為時(shí)間變量。通過選擇合適的閾值可以得到足夠的交點(diǎn)以便獲得良好的自由響應(yīng)估計(jì)值。因此，閾值a的選擇對(duì)RDT至關(guān)重要，常見的閾值選定標(biāo)準(zhǔn)之一就是使估計(jì)的響應(yīng)方差最小化，如式(2)所示。

圖1 未知激勵(lì)下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別新方法流程圖

式中：σx是實(shí)測響應(yīng)信號(hào)x(t)的標(biāo)準(zhǔn)差。為詳細(xì)說明自由響應(yīng)的估計(jì)過程，采用一個(gè)如式(3)所示的合成信號(hào)來模擬結(jié)構(gòu)在未知激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)。

式中：Ai為振幅，fi為第i個(gè)固有頻率，N為頻率個(gè)數(shù)或模態(tài)階數(shù)。設(shè)定合成信號(hào)含有4 階頻率，即f1=2 Hz,f2=4 Hz,f3=5 Hz 和f4=10 Hz；而對(duì)應(yīng)的振幅分別為A1=7，A2=9，A3=2 和A4=5。采樣時(shí)間和采樣頻率分別設(shè)為1.5 s 和100 Hz，共150 個(gè)樣本。根據(jù)式(2)選定閾值，其交點(diǎn)如圖2(a)中的虛線所示。由圖2(a)可知，共有4 個(gè)交點(diǎn)，分別標(biāo)記為1、2、3 和4。其中，每個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)特定的信號(hào)段，且信號(hào)的每一段(用圖2(b)中的S1、S2、S3和S4標(biāo)記)均由45個(gè)樣本組成，即持續(xù)時(shí)間為0.45 秒。最終，根據(jù)RDT提取的自由振動(dòng)響應(yīng)如圖2(b)中的實(shí)線所示。

1.2 AMD定理

在獲得自由振動(dòng)響應(yīng)δ(t)之后，可采用AMD定理將其分解成多個(gè)單分量信號(hào)，且每一個(gè)分量信號(hào)xi(t)對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率成分和獨(dú)立模態(tài)，其表達(dá)式如式(4)所示。

式中：n為分量信號(hào)個(gè)數(shù)。

對(duì)于任意由n個(gè)信號(hào)分量xi(t)(i=1,2,3,…,n)組成的原信號(hào)δ(t)，如果它的每一分量的頻率ω1、ω2、…、ωn(ωi＞0;i=1,2,…,n)滿足( |ω1|＜ωb1)，(ωb1＜ |ω2|＜ωb2)，…,(ωb(n-2)＜ |ωn-1|＜ωb(n-1))和 (ωb(n-1)＜ |ωn-1|)，其中：ωbi∈(ωi,ωi+1)(i=1,2,…,n-1)為n-1個(gè)二分截止頻率，則它的每一信號(hào)分量可以解析地給出，如式(5)和式(6)所示。

式中：H{?}為Hilbert 變換。

1.3 模態(tài)參數(shù)估計(jì)

1.3.1 希爾伯特變換

在成功提取原始隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)的分量信號(hào)后，采用HT求解每個(gè)單分量信號(hào)xi(t)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)阻尼比。HT通常被定義為信號(hào)的卷積，其表達(dá)式如式(7)所示[21]。

將xi(t)作為實(shí)部，其HT 變換作為虛部，構(gòu)建新的解析信號(hào)xa(n)如下

在構(gòu)建解析信號(hào)之后，可通過式(9)和式(10)估計(jì)每個(gè)單分量的瞬時(shí)頻率ω(n)和瞬時(shí)阻尼比ζ(n)。

1.3.2 卡爾曼濾波

KF 是一種特殊類型的濾波器，常用于建模、跟蹤、提取、濾波或平滑信號(hào)[22]。通過HT 和求導(dǎo)估計(jì)的信號(hào)頻率和模態(tài)阻尼比通常都是時(shí)變和振蕩的，這是因?yàn)槿魏屋p微的擾動(dòng)在經(jīng)過求導(dǎo)后都有可能被放大從而引起模態(tài)參數(shù)識(shí)別的潛在誤差。而KF 濾波算法可以最小化這種可能存在的誤差，其基本原理如下

圖2 RDT分析處理信號(hào)

式中：xs和zo分別是狀態(tài)和觀測變量；Gs和Go分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣；ns和no分別表示狀態(tài)變量和觀測變量的噪聲。

為應(yīng)用傳統(tǒng)的KF，需進(jìn)行如式(13)至式(17)所示的迭代過程。在此迭代過程中，狀態(tài)變量xs由式(8)中的實(shí)部xi(n)與虛部yi(n)組成。

(1)第n次迭代時(shí)的預(yù)測狀態(tài)變量xs(n)和預(yù)測協(xié)方差p(n)分別為

(2)獲得新的KF的增益矩陣GKF

(3)根據(jù)計(jì)算得到的GKF和新的測量數(shù)據(jù)zo(n)，預(yù)測樣本xs(n+1 )和相應(yīng)的誤差協(xié)方差p(n+1 )，如式(16)和式(17)所示。

式中：I為單位矩陣。

通過KF 迭代過程可得到新的實(shí)部xi(n)和虛部yi(n)，然后將其分別用于計(jì)算每個(gè)分量的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)相位φ(n)=從而最終估計(jì)得到更精確的固有頻率和模態(tài)阻尼比。

2 數(shù)值模擬驗(yàn)證

為驗(yàn)證新方法的有效性，考慮如式(18)所示的合成響應(yīng)信號(hào)。

式中：Ai是振幅，fi是固有頻率，θi是相位角，ζi是阻尼比，i代表模態(tài)階數(shù)，N是頻率的總個(gè)數(shù)。

設(shè)定合成信號(hào)由x1(t)、x2(t)和x3(t)3個(gè)分量信號(hào)組成，且3個(gè)分量信號(hào)的頻率分別為f1=3Hz,f2=4 Hz，和f3=7 Hz。振幅Ai=1且初始相位θi=0，其中i=1,2,3。對(duì)應(yīng)的阻尼比ζ1=0.8%,ζ2=1.0%和ζ3=0.5%。信號(hào)采樣頻率為200 Hz，采樣時(shí)間為8 秒。由于所選合成信號(hào)中的2 階模態(tài)頻率(3 Hz和4 Hz)十分接近，因此可以用來驗(yàn)證所提出的方法能否有效分解密集模態(tài)分量信號(hào)。

模擬的合成信號(hào)如圖3所示，由于其為自由衰減振動(dòng)響應(yīng)，因此無需運(yùn)用RDT進(jìn)行預(yù)處理。通過選擇合適的截止頻率，采用AMD定理分解得到的各階自由振動(dòng)響應(yīng)如圖4所示。

圖3 模擬的合成信號(hào)

由圖4可知，提取的各階模態(tài)分量與真實(shí)值基本一致。通過HT 和KF 算法估計(jì)的合成信號(hào)各階頻率如圖5所示。由圖5可知，由于端點(diǎn)效應(yīng)的影響，頻率識(shí)別值在端點(diǎn)附近存在較大的起伏，但隨后收斂于一個(gè)特定的值。同理，通過HT 和KF 算法估計(jì)的合成信號(hào)各階阻尼比如圖6所示。與頻率識(shí)別值類似，阻尼比識(shí)別值在端點(diǎn)附近也存在較大的起伏，但隨后也收斂于一個(gè)特定的值。從表1可以看出，固有頻率識(shí)別結(jié)果與理論值十分吻合，特別是模態(tài)密集的兩個(gè)分量信號(hào)的頻率值(分別為3 Hz 和4 Hz)都得到了較好地識(shí)別。由此可見，阻尼比識(shí)別結(jié)果與理論值吻合較好，這很好地驗(yàn)證了本文所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖4 基于AMD分解得到的各階分量信號(hào)

圖5 HT-KF 估計(jì)的頻率

圖6 HT-KF 估計(jì)的阻尼比

表1 合成信號(hào)固有頻率和阻尼比識(shí)別值

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 鋼框架模型

通過一個(gè)鋼框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)來驗(yàn)證所提出的識(shí)別方法。圖7所示為2 跨×1 跨的4 層鋼框架縮尺模型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)簡化模型如圖8所示。梁柱軸間距為225 mm，各層層高均為225 mm。梁、柱材料均為碳素結(jié)構(gòu)鋼Q235，其界面尺寸和具體特性如表1所示。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可求得結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量為m1=m2=m3=4.02 kg，m4=3.48 kg，完整無損狀態(tài)下結(jié)構(gòu)各層理論剛度均為263 kN/m。在已知結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量和剛度的前提下，可求解結(jié)構(gòu)的1階、2 階、3 階和4 階固有頻率理論值，分別為17.39 Hz、49.80 Hz、75.56 Hz、91.77 Hz。在試驗(yàn)過程中，利用支架上安裝的激振器在結(jié)構(gòu)頂層施加掃頻激勵(lì)，然后通過在結(jié)構(gòu)第4 層布置的傳感器測量其加速度響應(yīng)信號(hào)，其中采樣頻率和采樣時(shí)長分別為1 000 Hz和600秒。

圖7 縮尺鋼框架結(jié)構(gòu)模型

圖8 結(jié)構(gòu)簡化數(shù)學(xué)模型

表2 結(jié)構(gòu)構(gòu)件特性

3.2 模型參數(shù)識(shí)別

實(shí)測的結(jié)構(gòu)第4 層加速度響應(yīng)信號(hào)如圖9所示。首先，采用RDT 將第4 層加速度響應(yīng)信號(hào)轉(zhuǎn)換成自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，此時(shí)，時(shí)間被縮短為1.2 秒，共1 200 個(gè)樣本，結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，相比于原始信號(hào)，自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)更加光滑，其受噪聲干擾較少。通過選擇合適的截止頻率，采用AMD 定理分解自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)從而得到如圖11所示的各階模態(tài)分量信號(hào)。采用HT 可初步估算出各階模態(tài)分量信號(hào)的頻率，但由于激勵(lì)和求導(dǎo)運(yùn)算的緣故上述頻率估計(jì)值呈現(xiàn)振蕩模式，因此需通過KF 對(duì)其進(jìn)行光滑處理，其結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，由于端點(diǎn)效應(yīng)，頻率識(shí)別值在端點(diǎn)附近存在較大的起伏，但隨后收斂于一個(gè)特定的值。通過HT 和KF 算法估計(jì)的各階模態(tài)分量信號(hào)的阻尼比值如圖13所示。由于端點(diǎn)效應(yīng)的緣故，阻尼比識(shí)別值在端點(diǎn)附近也存在較大的起伏，但隨后收斂于一個(gè)特定的值。從表3也可以看出，前3 階頻率識(shí)別值與理論值吻合度較高，誤差率分別為0.75 %、2.22 %和3.16 %。第4 階的誤差相對(duì)較大(誤差率為6.76 %)，這是由于試驗(yàn)材料自身的缺陷、焊接的影響等多種因素引起的。整體來說，頻率識(shí)別值與理論值吻合度較好。通過動(dòng)力試驗(yàn)實(shí)測得到的1、2、3 和4 階阻尼比理論值分別為1.23 %、0.19 %、0.12 %、0.08 %，而1、2、3 和4 階阻尼比識(shí)別值分別為1.26 %、0.20 %、0.13 %、0.07 %。由表3可知，阻尼比識(shí)別值與理論值吻合度較高，相對(duì)誤差較小，這再次驗(yàn)證了本文所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖9 第4層的響應(yīng)信號(hào)

圖10 基于RDT提取的自由響應(yīng)信號(hào)

4 結(jié)語

結(jié)合隨機(jī)減量技術(shù)、解析模態(tài)分解、希爾伯特變換和卡爾曼濾波理論提出了一種未知激勵(lì)下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別新方法。通過一個(gè)含有密集模態(tài)分量信號(hào)的合成信號(hào)以及一個(gè)未知激勵(lì)作用下4 層鋼框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)驗(yàn)證了提出的方法，主要結(jié)論如下：

(1)RDT 能有效地提取未知激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)，同時(shí)消除一些測量過程中產(chǎn)生的噪聲。

圖11 基于AMD分解得到的各階分量信號(hào)

表3 識(shí)別的鋼框架固有頻率和阻尼比

圖12 基于HT-KF 估計(jì)的頻率

圖13 基于HT-KF 估計(jì)的阻尼比

(2)AMD 能夠分解含有密集模態(tài)分量的多分量信號(hào)，但是通過HT 和求導(dǎo)估計(jì)的分量信號(hào)的幅度和頻率通常是時(shí)變和振蕩的，而KF 濾波算法可以最小化這種可能存在的誤差。

(3)基于RDT、AMD、HT 和KF 聯(lián)合的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法能夠準(zhǔn)確有效地識(shí)別未知激勵(lì)作用下4層鋼框架結(jié)構(gòu)的各階頻率和阻尼比，將來有可能應(yīng)用于實(shí)際土木工程結(jié)構(gòu)。