拉格朗日中值定理在微積分解題中的應用

黃梅花

【摘要】微分中值定理主要包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理。拉格朗日中值定理為主要核心，羅爾中值定理為特殊情況，柯西中值定理為推廣，其構(gòu)成為微分學的理論基礎，在微分學中具有重要的作用，也是數(shù)學研究主要工具，使用相當廣泛。

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理? 微積分? 解題

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）48-0006-02

高等數(shù)學研究對象為實數(shù)集中函數(shù)性質(zhì)，對函數(shù)性質(zhì)研究的主要工具就是微分中值定理。微分中值定理指的是對通過導數(shù)已知性質(zhì)推斷函數(shù)性質(zhì)討論的工具，創(chuàng)建使用導數(shù)知識研究函數(shù)形態(tài)的橋梁。微分中值定理中的拉格朗日中值定理能夠?qū)⒑瘮?shù)及導數(shù)關(guān)系相互連接。本文重點在分析求極限問題、不等式問題和級數(shù)收斂性判斷方面如何使用拉格朗日中值定理進行分析及研究，并且給出實際案例進行驗證。

1.拉格朗日中值定理的證明

在使用拉格朗日中值定理進行證明的過程中，一般都要使用輔助函數(shù)。利用以下方法創(chuàng)建輔助函數(shù)，并且對創(chuàng)建思維過程中進行分析：

定理1：假如函數(shù)f（x）在[a，b]閉區(qū)間中為連續(xù)，在（a，b）開區(qū)間為可導，那么其在（a，b）中至少有一點ξ，使f′（ξ）=（f（b）-f（a））/（b-a）成立。

1.1推理法

定理2：如果函數(shù)f（x）在[a，b]閉區(qū)間中為連續(xù)，在（a，b）開區(qū)間為可導，使f（a）=f（b），那么其在（a，b）區(qū)間中至少有一點ξ，使f′（ξ）=0成立。

假如函數(shù)f（x）和g（x）在[a，b]閉區(qū)間中連續(xù)，在（a，b）開區(qū)間中可導，要想使f（x）-g（x）函數(shù)在[a，b]區(qū)間中滿足羅爾中值定理，其需要滿足的條件是什么？

通過羅爾中值定理可以了解到，要想使f（a）=-g（a）=f（b）-g（b）得到滿足，也就是f（b）-f（a）=g（b）-g（a）

以羅爾定理表示，在（a，b）開區(qū)間中至少存在ξ，使f′（ξ）-g′（ξ）=0，也就是f′（ξ）=g′（ξ）

以此就能夠得到以下的理論：

推理1：如果函數(shù)f（x）及g（x）能夠在[a，b]閉區(qū)間中連續(xù)，在（a，b）開區(qū)間匯總可導，而且f（b）-f（a）=g（b）-g（a），那么（a，b）開區(qū)間中至少具有一點ξ，從而使f′（ξ）=g′（ξ）

簡單來說，就是兩個連續(xù)并且在內(nèi)部可導函數(shù)如果在同個區(qū)間的增量相同，那么在區(qū)間中某個點中也具有一定到數(shù)值。

利用推理1對拉格朗日中值定理進行證明，因為f（x）在[a，b]閉區(qū)間中相互連續(xù)，在（a，b）開區(qū)間中可導，如果使g（x）=x，那么函數(shù)g（x）在[a，b]中連續(xù)，并且在（a，b）中可導。又因為f（x）和g（x）在[a，b]中的增量相同，表示為f（b）-f（a）=g（b）-g（a）。通過推理1表示，至少具有一點ξ∈（a，b），從而使f′（ξ）-g′（ξ）成立，也就是f′（ξ）=

1.2分析法

假設=k，那么f（b）-f（a）-k（b-a）=0，證明k=f′（ξ），ξ∈（a，b）

假如等式左邊的式子b轉(zhuǎn)變成為a，使其值設置為0，也就是f（b）-f（a）-k（b-a）=0。所以，將等式左邊作為某函數(shù)在[a，b]區(qū)間中的兩個端點函數(shù)值，而且此函數(shù)值都設置為0。此也是羅爾中值定理滿足第三個的條件，以此尋找創(chuàng)建輔助函數(shù)，也就是：

F（x）=f（b）-f（a）-k（b-a）? ? ?a≤x≤b

以此可以看出來，F(xiàn)（a）=f（b）=0

那么F（x）連接到[a，b]中，在（a，b）中可導。通過Rolle中值定理可以看出來，至少具有一點ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0，那么F′（ξ）=f′（ξ）-k=0。

那么f′（ξ）=K

所以f′（ξ）=

2.拉格朗日中值定理在微積分解題中的使用

2.1應用在不等式中

此定理應用到不等式中的主要思想就是對此定理公式中ξ在（a，b）開區(qū)間取值，無論取值是多少，都能夠根據(jù)ξ在（a，b）開區(qū)間中的某個值對f′（x）的范圍進行估計，或者也能夠認為在ξ為（a，b）中取值對f′（x）取值上下界進行確定，之后根據(jù)f′（x）取值最大最小值代替此定理中的f′（ξ），從而能夠得出不等式。

其一，對不等式結(jié)構(gòu)進行觀察，對如果變形之后是否能夠轉(zhuǎn)變成為此定理基本公式方式進行考慮。

其二，在上個步驟變形基本需求及前提中，對題目所給出的已知條件進行分析，從而創(chuàng)建函數(shù)f（x）。

其三，驗證創(chuàng)建的f（x）函數(shù)是否滿足此定理條件。

其四，根據(jù)f′（x）能夠滿足不等式條件得到題目中需要證明不等式。

以此，就和例題相互結(jié)合，從而分析拉格朗日中值定理應用到不等式中的解題方法。

例題：證明0

證明：假設f（x）=archtanh，那么在[0，h]區(qū)間中使用此定理實現(xiàn)運算，從而能夠得到：

ξ∈（0，h）

使以上公式進行變形能夠整理成為archtanh=，另外，因為ξ∈（0，h），那么就能夠得到：

archtanh

所以證明了

在此道題目中，假如對于此定理應用到不等式中具有清晰的認知，那么學生在解題過程中都會創(chuàng)建函數(shù)，通過單調(diào)性等性質(zhì)實現(xiàn)求解。但是此解題較為麻煩，并且具有較大的計算量，所以使用中值定理實現(xiàn)解題就能夠使問題更加得簡單。另外還要注意，因為拉格朗日中值定理中存在求導公式，所以要牢記archtanh等簡單求導公式，此也是解題基礎。