視覺化表征：讓數(shù)學(xué)問(wèn)題輕松解決

趙晨鑫 魏佳

【摘要】在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，用應(yīng)用題來(lái)評(píng)估并促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)潛能發(fā)展是一種有效手段。視覺化表征能夠使學(xué)生更好地理解問(wèn)題，直觀地把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)。本文呈現(xiàn)了應(yīng)用題教學(xué)的三種視覺化表征方式：圖像表征、圖式表征、情境表征。希望通過(guò)選擇符合小學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)的呈現(xiàn)方式來(lái)提高數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)生? 視覺化表征? 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決? 思維能力

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）48-0003-02

1.引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力” [1]。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，用應(yīng)用題來(lái)評(píng)估并促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)潛能發(fā)展成為一種有效手段。應(yīng)用題的解決不僅需要學(xué)生具備良好運(yùn)算能力，也需要有一定的問(wèn)題表征能力。所謂問(wèn)題表征能力，就是在應(yīng)用題的解決過(guò)程中，利用畫圖形、列表格等方法來(lái)增加對(duì)問(wèn)題的理解。根據(jù)著名數(shù)學(xué)心理學(xué)家Mayer的研究，數(shù)學(xué)中問(wèn)題解決的能力主要涵蓋以下兩個(gè)方面：一是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征能力，二是解決計(jì)劃的執(zhí)行能力[2]。如果小學(xué)生對(duì)問(wèn)題的表征能力相對(duì)薄弱，將直接影響數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。

2.視覺化表征、問(wèn)題解決、應(yīng)用題

2.1視覺化表征促進(jìn)小學(xué)生思維轉(zhuǎn)化

何美萍等人曾探討視覺化表征及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用[3]：視覺化表征描繪了具體的、形象的、直觀的意義，便于人們較為快捷地視覺化數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)和意義，這些表征既是人腦右半球的功能特點(diǎn)，也是右半球發(fā)展的外在促進(jìn)。因此，視覺化表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。

在小學(xué)階段，學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)主要是抽象邏輯思維在逐步發(fā)展，但仍帶有很大的具體性，離不開具體事物的支持[4]。因此，在進(jìn)行純文字的應(yīng)用題教學(xué)當(dāng)中，將文字表征模式的應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為圖像表征豐富的應(yīng)用題，不僅可以幫助學(xué)生直觀地理解題意，而且能夠促進(jìn)思維過(guò)渡。美國(guó)心理學(xué)家維特羅克認(rèn)為，如果訓(xùn)練學(xué)生對(duì)他所閱讀的東西產(chǎn)生一個(gè)類比或表象，他們的理解就會(huì)增強(qiáng)，這些表象可能包括圖形、圖像、表格和圖解等[5]。也有專家認(rèn)為，個(gè)體在知識(shí)的表征過(guò)程當(dāng)中，影響比較大的是視覺認(rèn)知。基于此，我們可以認(rèn)為小學(xué)生對(duì)圖式有著更好的理解力，多利用圖式表征能夠使小學(xué)生更好地明白問(wèn)題的含義，從而提高解決應(yīng)用題能力[6]。

如果教師能根據(jù)不同年齡段學(xué)生運(yùn)算策略的使用特征及數(shù)學(xué)思維發(fā)展?fàn)顩r，并遵循科學(xué)的原則，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行教學(xué)，不僅可以提高課堂效率，還能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

2.2應(yīng)用題成為培養(yǎng)問(wèn)題解決能力的重要載體

應(yīng)用題是用語(yǔ)言或文字?jǐn)⑹鲇嘘P(guān)事實(shí)，反映某種數(shù)量關(guān)系，并求解未知數(shù)量的題目。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題通常分為兩類：只用加、減、乘、除一步運(yùn)算進(jìn)行解答的稱簡(jiǎn)單應(yīng)用題;需用兩步或兩步以上運(yùn)算進(jìn)行解答的稱復(fù)合應(yīng)用題[7]。

應(yīng)用題——作為小學(xué)階段的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，不僅考查了學(xué)生們所學(xué)習(xí)和掌握的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與相關(guān)技巧，更考查了他們的思考能力以及整合所學(xué)知識(shí)與技能解決身邊現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，同時(shí)也包含了學(xué)生們對(duì)于生活中某些問(wèn)題的態(tài)度與情感。正如Reusser所說(shuō)[8]，應(yīng)用題是將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情境相結(jié)合的問(wèn)題形式，這種形式有助于幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)[9]。但在實(shí)際的教學(xué)當(dāng)中我們卻發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解決應(yīng)用題，尤其是純粹文字應(yīng)用題的狀況卻并不理想。

影響問(wèn)題解決的客觀因素之一便是問(wèn)題的情境。問(wèn)題情境是指問(wèn)題呈現(xiàn)的知覺方式。當(dāng)問(wèn)題呈現(xiàn)的知覺方式與人們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)越接近，問(wèn)題就越容易解決;相反，如果問(wèn)題呈現(xiàn)的知覺方式與人們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相差很遠(yuǎn)，問(wèn)題解決起來(lái)就越困難[10]。而大多數(shù)教師在課堂教學(xué)中往往會(huì)把能力培養(yǎng)形式化，傾向于直接交給學(xué)生抽象的數(shù)學(xué)算法、公式與技巧，而非根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)為其創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境來(lái)解決問(wèn)題。這就導(dǎo)致學(xué)生不能很好地彌合所學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題情境，也不能發(fā)揮真正潛能來(lái)解決問(wèn)題。

Morales，Shute，&Pellegrino（1985）[11]通過(guò)分析3至6年級(jí)學(xué)生在解決應(yīng)用題上的錯(cuò)誤后發(fā)現(xiàn)：超過(guò)67%的錯(cuò)誤是“概念性的”而不是“計(jì)算性的”。解答錯(cuò)誤的學(xué)生是因?yàn)樗麄冞x擇了錯(cuò)誤的方法而不是計(jì)算上失誤，這些概念性錯(cuò)誤通常只是發(fā)生在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的階段。如果學(xué)生不能用正確的數(shù)學(xué)方法表述應(yīng)用題中的文字信息（轉(zhuǎn)化），他們將不能正確解決問(wèn)題;如果能夠準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化，計(jì)算并不是主要的問(wèn)題[12]。

3.應(yīng)用題教學(xué)的視覺化表征舉例

3.1圖像表征方式

看圖列式計(jì)算隸屬問(wèn)題解決范疇。雖有圖畫做襯托，對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)要準(zhǔn)確領(lǐng)悟圖所表達(dá)的意思，也并不容易。他們對(duì)圖中信息的解讀可能會(huì)出現(xiàn)各種各樣問(wèn)題。要通過(guò)圖片引導(dǎo)學(xué)生讀懂圖，就要從學(xué)生對(duì)圖片的理解入手。開始時(shí)，學(xué)生可能會(huì)停留在仿說(shuō)跟說(shuō)的層面，隨著說(shuō)圖練習(xí)的加強(qiáng)，他們對(duì)于問(wèn)題情境建構(gòu)就會(huì)逐漸清晰起來(lái)。

如圖1，一道混合運(yùn)算題目，看箭頭的順序，兩張圖片要連接在一起看?！昂性瓉?lái)有4只天鵝在嬉戲，不一會(huì)兒飛來(lái)了三只天鵝，過(guò)了一會(huì)兒，又有兩只天鵝結(jié)伴飛走了，湖中現(xiàn)有多少只天鵝？”其中要強(qiáng)調(diào)“飛走”這樣的詞用減法，“飛來(lái)”用加法。當(dāng)學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷看圖——說(shuō)圖——列式這樣的步驟，也就等同于經(jīng)歷了自主學(xué)習(xí)、合作交流，共同探究等過(guò)程，在培養(yǎng)了學(xué)生思維能力的同時(shí)，也在一定程度上幫助學(xué)生理解運(yùn)算過(guò)程，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.2圖式表征方式

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，一個(gè)關(guān)鍵的影響因素便是對(duì)問(wèn)題的表征能力。學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的表征，是否具有相應(yīng)的圖式?jīng)Q定著表征的成功與否。圖式表征策略是小學(xué)生廣泛采用的、影響小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的一種表征策略。圖式表征是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和特征為基礎(chǔ)，以簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)量、線段等形式表征題中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。教學(xué)中亦常稱為線段圖表征，一般約定如下[13]：（1）“? ? ?”? ? 表示數(shù)量反映在線段上的起點(diǎn)與終點(diǎn);（2）“？”表示未知數(shù)量;（3）不同長(zhǎng)度線段表示不同數(shù)量; （4）長(zhǎng)度相等的線段表示同樣多的兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)量;如圖2：一條繩子，第一次剪去全長(zhǎng)的，第二次剪去3米，此時(shí)剛好剩下一半，那么繩子原長(zhǎng)多少米？

用線段圖來(lái)表征這類問(wèn)題，它可以有效減弱引入圖像或其他元素時(shí)造成的認(rèn)知負(fù)荷過(guò)大的情形。另外，通過(guò)作圖，原來(lái)題目中文字?jǐn)⑹龅臄?shù)量變得直觀，符合小學(xué)生形象思維特點(diǎn)，學(xué)生一看就明白文字的含義，也就能正確地求解。求解過(guò)程中還可保留這些痕跡，其優(yōu)點(diǎn)在于：這些具體操作活動(dòng)是進(jìn)一步開始抽象思考的基礎(chǔ)，同時(shí)保留具體作圖痕跡也便于監(jiān)控及反思解題過(guò)程。

3.3情境表征方式

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容多數(shù)源自生活，但也包含數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生們大多被灌輸“為了快速解題而解題”的學(xué)習(xí)思想，而不考慮真實(shí)問(wèn)題情境。這種行為會(huì)導(dǎo)致學(xué)生們不能理解問(wèn)題情境的意義，無(wú)法將所學(xué)知識(shí)技巧與生活彌合，不能充分發(fā)揮其在日常生活中解決問(wèn)題的潛力。Kees Hoogland et al.（2018）在語(yǔ)境教學(xué)問(wèn)題表征變化對(duì)學(xué)生表現(xiàn)的影響這一研究中，通過(guò)改變問(wèn)題表征方式，對(duì)來(lái)自中小學(xué)年齡在10-20歲之間的31，842名學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試并得出結(jié)論：學(xué)生在描述問(wèn)題情境的問(wèn)題上得分明顯較高[14]。在研究中，他們所采用的問(wèn)題表征方式主要以照片、報(bào)紙的標(biāo)題和手寫注釋的形式（如圖3），來(lái)增強(qiáng)模擬的逼真度，追求對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的再現(xiàn)，一定程度上避免了為“盡快得出答案”而專注于計(jì)算方法與結(jié)果的定勢(shì)思維。

蘋果以 2.5 公斤的袋裝出售，一個(gè)蘋果重157克。袋子里大概有幾個(gè)蘋果？文字表征轉(zhuǎn)換為視覺表征后，問(wèn)題情境更加真實(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的知覺性理解。所謂應(yīng)用題，是要把理論概念應(yīng)用起來(lái)解決真正的問(wèn)題。問(wèn)題不僅僅以書面形式存在，更滲透于生活當(dāng)中。轉(zhuǎn)換問(wèn)題表征方式，糅合知識(shí)與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，才能真正做到將應(yīng)用題應(yīng)用于生活。

結(jié)束語(yǔ)

小學(xué)生，尤其是低段的學(xué)生，在實(shí)際生活中的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)量是十分有限的，因此對(duì)應(yīng)用題所表達(dá)的情境以及某些符號(hào)語(yǔ)句都會(huì)感到難以理解。這就要求我們依照弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教學(xué)原則[15]，盡量為小學(xué)生創(chuàng)設(shè)與生活相關(guān)的實(shí)例——接近生活實(shí)際的圖像或照片，讓小學(xué)生容易理解題目文字的意思，引導(dǎo)他們結(jié)合已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去解題，以便更好地向抽象思維過(guò)渡，從而激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能，提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力。

需要注意的是，我們從認(rèn)知負(fù)荷理論角度來(lái)看，在添加圖像時(shí)，額外的信息會(huì)給學(xué)生的理解帶來(lái)額外的認(rèn)知負(fù)荷，從而引發(fā)注意分散?；谛W(xué)生思維的特點(diǎn)，容易被解決問(wèn)題的無(wú)關(guān)因素所吸引，例如，若出示一幅色彩豐富的圖片，題意是要學(xué)生計(jì)算圖片中小明手里和地上筐里的蘋果共有多少個(gè)，而學(xué)生可能額外注意到的藍(lán)天、白云、花草樹木這些無(wú)關(guān)因素。因此，在給文字應(yīng)用題添加視覺化表征時(shí)應(yīng)盡力避免太過(guò)復(fù)雜的圖像，僅呈現(xiàn)從題目文字中所提取出的信息即可。

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作者簡(jiǎn)介：

趙晨鑫（1996.3.14-），女，漢族，遼寧盤錦人，碩士研究生在讀。