基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計
——以“全等三角形的判定”為例

廣東省廣州市白云區(qū)同和中學(xué) 李衛(wèi)華

當(dāng)下對核心素養(yǎng)的關(guān)注已成為教育領(lǐng)域的一個新熱點，數(shù)學(xué)教育也不例外.核心素養(yǎng)的課程邏輯從課程育人到育人為本，教師更應(yīng)該思考的是：學(xué)生學(xué)了某節(jié)課后，到底學(xué)到了什么？除知識外，還有哪些收獲？本文立足于教學(xué)實踐，通過課堂教學(xué)案例“全等三角形的判定”，談?wù)劵跀?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計方案.

一、問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)特別重視的10個重要能力，這十個核心概念總體上提出對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，更是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中關(guān)鍵、必要的基本素養(yǎng).所謂數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，簡單來說就是滿足學(xué)生終生發(fā)展和社會發(fā)展所必備的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，包含數(shù)學(xué)化、運算、推理、意識、思想方法及情感態(tài)度價值觀.總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)作為教學(xué)導(dǎo)向的意識，為學(xué)生構(gòu)建能夠培養(yǎng)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)情境.

筆者認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于要將其嚴(yán)格落實在實際教學(xué)中，同時要按照核心素養(yǎng)的相關(guān)要求進(jìn)行數(shù)學(xué)課程的設(shè)計.下面以“全等三角形的判定”設(shè)計為例，分享筆者的實踐與思考.

教材中三角形全等的5種判定方法，是作為基本事實提出來的，常規(guī)的教材處理：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”各一課時.若這樣處理教材，學(xué)生很難理解為什么需要三個條件，不知道如何去選擇條件，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.筆者在教學(xué)設(shè)計中遵循啟發(fā)式教學(xué)原則，創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計一系列活動，引導(dǎo)學(xué)生動手操作、探索交流、發(fā)現(xiàn)結(jié)論.根據(jù)初中幾何教學(xué)要求及現(xiàn)階段學(xué)生實際，在理解了全等三角形的概念的基礎(chǔ)上，把三角形全等的五個判定集結(jié)在一節(jié)數(shù)學(xué)課中進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié).學(xué)生對三角形全等的判定的認(rèn)識，由整體到局部再到整體.

數(shù)學(xué)課程中常見的命題構(gòu)成了中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的核心，其主要形式是公式、定理、原理、法則.一方面要引導(dǎo)學(xué)生對全等三角形進(jìn)行相應(yīng)的觀察和思考，培養(yǎng)數(shù)學(xué)化這一核心素養(yǎng)，另一方面，要重視判定中的思維邏輯這條主線，培養(yǎng)學(xué)生推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)規(guī)則課的教學(xué)過程包括規(guī)則的習(xí)得、轉(zhuǎn)化和應(yīng)用等三個階段.數(shù)學(xué)規(guī)則課的教學(xué)操作模式：問題情境—建構(gòu)規(guī)則—變式練習(xí)—獲得規(guī)則—運用規(guī)則—反饋評價.

基于以上認(rèn)識，筆者設(shè)計了規(guī)則課型的“非線性”教學(xué)法：問題情境—建構(gòu)規(guī)則—疑點突破—獲得規(guī)則—運用規(guī)則—反饋評價.這一教學(xué)策略有利于暴露學(xué)生思維的過程，構(gòu)建三角形全等判定的整體知識.

二、“三角形全等的判定”新授課的創(chuàng)新設(shè)計

筆者秉持“數(shù)學(xué)教育要以理性思維育人”的教育思想，崇尚“數(shù)學(xué)教學(xué)要為思維而教”的教學(xué)觀，將教學(xué)過程分為以下四個環(huán)節(jié)：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題.

創(chuàng)設(shè)有意義的數(shù)學(xué)問題情境，不僅能夠激發(fā)學(xué)生對所學(xué)知識的積極性，同時能夠引起學(xué)生的思考，最后解決數(shù)學(xué)問題.

圖1

問題1：如圖1所示，小明家衣柜上需要鑲嵌兩塊全等三角形作為裝飾，但其中有一塊玻璃打碎成三塊，若到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，小明該怎么做？

教學(xué)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析三角形中的基本元素，三條邊與三個內(nèi)角.

問題2：假如小明家衣柜上只有一塊三角形的裝飾玻璃，小明不小心將這塊玻璃打碎成三塊玻璃，要想到玻璃店去配一塊相同的玻璃，那么最簡單的方法是小明帶哪塊玻璃去玻璃店呢？

教學(xué)意圖：引起認(rèn)知沖突，無法進(jìn)行運算與推理，體驗判定定理學(xué)習(xí)的必要性.在問題中通過如何配到相同的玻璃這一情境來激發(fā)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識的興致，同時能調(diào)動學(xué)生運用以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決，為思維教學(xué)做好相應(yīng)的教學(xué)基礎(chǔ).

（二）探究新知，構(gòu)建規(guī)則

思維行為表現(xiàn)主要在于學(xué)生深入思考問題，在對比的前提下做出相應(yīng)的決策，集合比較、評價、證明等教學(xué)行為，充分調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

師：在問題2中，要檢驗三角形是否重合，用概念難以做到，因此考慮通過考察三角形的邊和角去判定三角形是否全等，而且希望判定的條件能夠盡量少.我們知道，三角形有3條邊、3個角，內(nèi)角和為180°，任何兩邊之和大于第三邊.若我們以邊和角的元素個數(shù)由少到多，可能有哪些組合？

問題3：考慮一個元素，情況怎樣？

（1）單純考慮邊.

生1：顯然，已知一條線段并以這條線段為邊可以作無數(shù)個三角形.

（2）單純考慮角.

生2：我發(fā)現(xiàn)已知一個角，能作無數(shù)個三角形.我們手上的三角板，都有一個直角，但不一定都能重合.

生3：已知一個角或一條線段，可以畫出無數(shù)個三角形，同桌之間畫的三角形也不能重合.

教學(xué)意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動手操作和觀察，學(xué)會滿足一個條件對應(yīng)相等時不能保證兩個三角形全等.

問題4：考慮兩個元素，情況怎樣？

（1）單純考慮邊.

生4：若線段AB=2，BC=3，求作△ABC，線段AC的長的范圍是1＜AC＜5.所以線段AC的值有無數(shù)個，顯然可以構(gòu)造無數(shù)個三角形.

（2）單純考慮角.

生5：已知兩個角，能作無數(shù)個三角形.我們手上的三角板，有一個是60°，一個是30°，但它們不一定重合.

（3）同時考慮邊和角.

生6：如圖2，固定AB和∠CBA′，點C是射線BA′上任意一點，這樣的△ABC有無數(shù)個.

圖2

教學(xué)意圖：各個小組的學(xué)生根據(jù)教師指定的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探究，最終得出滿足兩個條件對應(yīng)相等的兩個三角形不一定是全等的.

問題5：考慮三個元素，情況怎樣？

（1）單純考慮邊.

任務(wù)1：已知線段a、b、c，作△ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a.

圖3

生7：作這個三角形，需要確定該三角形的三個頂點，并且需要一個個進(jìn)行，第一個：畫一條射線；第二步，在射線上截一條線段，等于已知線段；第三步：弧相交.但要注意弧的交點有兩個，選取其中任意一個即可，這主要是因為它們是成軸對稱的.

（2）單純考慮角.

生8：已知三個角，能作無數(shù)個三角形.比如，我們手上的三角板，有一個是60°，一個是30°，一個是90°，但它們不一定重合.

生9：如△ABC，平移AB得AB∥A′B′∥A′′B′′，所以∠CBA=∠CB′A′=∠CB′′A′′，∠CAB=∠CA′B′=∠CA′′B′′，明顯，△ABC與△A′B′C不重合.

圖4

（3）同時考慮邊和角.

師：請看剛才所老師作的△ABC，若已知AB、AC，那么一個已知角和這兩邊屬于哪些類型？

生10：若是∠A，是它們的夾角，若是∠B或∠C，則是其中一條已知邊的對角.

任務(wù)2：作△ABC，使得AC=b，BC=a，∠C=∠1.

任務(wù)3：作△ABC，使得AC=b，AB=a，∠C=∠1.

生11：任務(wù)2得到的三角形為兩個成軸對稱的三角形，而任務(wù)3得到的為兩個大小不同的三角形.

不少學(xué)生畫不出任務(wù)3的圖形.若從核心素養(yǎng)這一角度來看待這部分的數(shù)學(xué)教學(xué)，就需要教師為學(xué)生設(shè)計符合教學(xué)實際的體驗活動，如腳手架，筆者對上述任務(wù)3進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)充，并開展以下教學(xué)活動：

第一步：為學(xué)生準(zhǔn)備一套三節(jié)折尺，然后讓學(xué)生自己去“做”.要求學(xué)生制作折尺中在第一節(jié)與第二節(jié)中不會變化的一個角，之后讓第三節(jié)折尺圍繞連接點進(jìn)行轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動時學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與第三條邊可能會出現(xiàn)兩個交點，這也就說明在“邊邊角”這一情況下，可能會出現(xiàn)兩個形狀不同的三角形，顯而易見，這兩個三角形不是全等三角形.

第二步：讓學(xué)生離開做的環(huán)節(jié)進(jìn)行相應(yīng)的思考，這時候?qū)W生的思維經(jīng)過加工就形成了對剛才學(xué)習(xí)活動的表象，筆者要求學(xué)生在小組內(nèi)交流，說明“邊邊角”無法證明三角形全等.證明的過程中，離不開對數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用，結(jié)合相應(yīng)的動畫，也可以通過在草稿紙上畫相應(yīng)的圖，表現(xiàn)方式越多，說明學(xué)生對本節(jié)課的知識理解角度越多.

教學(xué)意圖：一方面，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力；另一方面，培養(yǎng)學(xué)生動腦方面的認(rèn)知能力，體現(xiàn)體驗式的教學(xué)過程，以此來提升學(xué)生的思考能力，逐步生成關(guān)于三角形不全等判定的表象，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理的核心素養(yǎng).

師：根據(jù)上述學(xué)習(xí)得知，已知一條邊和兩個角，類型有兩種，一是這條邊為已知兩角的公共邊，二是這條邊為其中一角的對邊.

任務(wù)4：作△ABC，使得AB=a，∠A=∠1，∠B=∠2.

任務(wù)5：作△ABC，使得AB=a，∠A=∠1，∠C=∠2.

巡視發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很快完成任務(wù)4.

生12：任務(wù)5中，只是把∠C換成∠B，∠B=180°-∠A-∠C，因為∠A和∠C固定，其實就是∠A和∠B固定，化歸為任務(wù)4.

教學(xué)意圖：各小組的學(xué)生按照教師指定的內(nèi)容進(jìn)行探究，培養(yǎng)化歸思想.

問題6：筆者向?qū)W生提出，如果有四對元素對應(yīng)相等，怎么考慮這個問題？

生13：因為四對元素對應(yīng)相等，對于三角一邊，其實可以簡化成上面“考慮兩角一邊”的情況；對于兩角兩邊對應(yīng)相等，既可以簡化成上面“考慮兩角一邊”的情況，也可以簡化成兩邊及兩邊的夾角對應(yīng)相等；對于一角三邊對應(yīng)相等，可以簡化成三邊對應(yīng)相等或兩邊及兩邊的夾角對應(yīng)相等.

生14：對于五組或六組元素對應(yīng)相等，同樣可以簡化成三組元素對應(yīng)相等的情況.我們判定兩個三角形全等時，最多考慮三組元素相等就夠了.

教學(xué)意圖：讓學(xué)生思辨三角形全等至少要滿足3個要素的過程，以數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展來創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題情境，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家探究數(shù)學(xué)知識的思想及方法，以此來培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的再發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)方法對學(xué)生在幾何命題上的獲得是十分有效的.

（三）疑點突破，拓展提升

問題7：通過對△ABC進(jìn)行觀察和分析，我們能從另一個側(cè)面理解三角形全等的條件是三個嗎？

生15：若不關(guān)注邊BC，那么對∠B和∠C也就不用關(guān)注，這時候△ABC的形狀及大小沒有發(fā)生改變，換句話說，AB、AC這兩條邊及其夾角直接決定△ABC的形狀及大小，基于此也就推斷出通過兩條邊及兩條邊的夾角即可確定一個三角形，同時就明確“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這一數(shù)學(xué)基本事實，還可用這個基本事實推導(dǎo)出三角形全等的其他判定定理.

教學(xué)意圖：讓學(xué)生從另一個角度思考數(shù)學(xué)知識的獲得，首先確定基本事實知識，讓學(xué)生更進(jìn)一步認(rèn)識人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的全過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家探究數(shù)學(xué)知識的思想及方法，以此來培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的再發(fā)現(xiàn).

問題8：回顧任務(wù)3，作△ABC，使得AC=b，AB=a，∠C=∠1.畫出兩個一大一小的三角形.若把a(bǔ)取更短些，結(jié)論又是怎樣？

生18：可能作出大小不同的三角形；a取很小時，與射線CB無交點，作不出三角形；也可能只作出一個三角形，這個三角形為直角三角形.

圖5

生19：若AB⊥BC，其中b為點A到射線CB的距離，以點A為圓心、a為半徑的弧與射線CB只有1個交點，因此只能作1個三角形；當(dāng)a＞b時，以點A為圓心、a為半徑的弧與射線CB有2個交點；當(dāng)a＜b時，以點A為圓心、a為半徑的弧與射線CB沒有交點，不能作出三角形.

教學(xué)意圖：辨析了SSA 不能作為三角形全等的判定方法，同時引出了HL 定理.

（四）鞏固提升，及時反饋

問題9：設(shè)置一些填空題.

教學(xué)意圖：進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對三角形全等條件可取性及不可取性的數(shù)學(xué)思維，能夠運用幾何原因表述邏輯過程，能夠通過查看圖形證明全等，分析其中的已知條件，寫出證明，在落實和掌握中拓展數(shù)學(xué)技能.

三、初探的自我認(rèn)識

核心素養(yǎng)的課程邏輯從課程育人到育人為本，需要教師從全局俯視教材內(nèi)容，從整體上著眼于數(shù)學(xué)教學(xué)，對教材內(nèi)容進(jìn)行深入研究，這也在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)思想，需要大力推崇.

對于教學(xué)內(nèi)容的分還是合，合成多大的一塊才合適，不能千篇一律，要仔細(xì)分析內(nèi)容的難度和學(xué)生的接受水平.不過，無論如何，應(yīng)當(dāng)盡量把學(xué)習(xí)內(nèi)容整體交給學(xué)生，在主干循環(huán)的結(jié)構(gòu)中展開教學(xué)，這是一個基本取向.

思維是疑問、困惑等心理行為引發(fā)的，而核心素養(yǎng)就是基于這樣的背景進(jìn)行教學(xué).