線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制方法研究

周秋坤，劉 樺，陳劍雪，段倩倩，郭海泉

（上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201600）

0 引言

從線性時(shí)滯系統(tǒng)理論觀點(diǎn)出發(fā)，任何系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)變化都會(huì)不可避免的受到外界干擾影響，這種影響稱之為時(shí)滯，具有時(shí)滯屬性的系統(tǒng)被稱為時(shí)滯系統(tǒng)。對于線性時(shí)滯系統(tǒng)來說，系統(tǒng)功能研究是建立在該系統(tǒng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)上的，但在實(shí)際生活中由于環(huán)境變化等因素難免會(huì)存在一些無法避免的時(shí)滯問題，這種問題的產(chǎn)生在很大程度上會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)功能性差，甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象[1]。因此，線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究是從時(shí)滯系統(tǒng)基本點(diǎn)出發(fā)的，同時(shí)研究線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)也是控制該系統(tǒng)的重點(diǎn)。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)重要特征之一，因此，研究時(shí)滯系統(tǒng)控制方法可使線性時(shí)滯系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。目前，有關(guān)線性時(shí)滯系統(tǒng)的問題正在研究中，隨著MATLAB工具箱的不斷完善，需將研究重心轉(zhuǎn)移到線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制中[2]。

當(dāng)前，針對線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制方法主要有兩條主線，分別是頻域和時(shí)域，時(shí)滯系統(tǒng)分析是在頻率域中進(jìn)行的，此時(shí)需要一個(gè)超越方程，求解過程相對比較復(fù)雜，尤其是在系統(tǒng)存在不確定因素時(shí)求解更為復(fù)雜。文獻(xiàn)[3]提出一種不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制方法，采用差分方程增廣處理系統(tǒng)的狀態(tài)變量，同時(shí)將時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)變?yōu)樵鰪V狀態(tài)方程。參考得到的時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)建相應(yīng)的參考模型，最后運(yùn)用模型控制律，確保閉環(huán)參考模型系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，該方法能夠在時(shí)滯不確定的情況下，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的控制。但是由于沒有考慮到線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題，導(dǎo)致控制效果較差。文獻(xiàn)[4]提出前提不匹配的模糊時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定與控制方法，依據(jù)線性矩陣不等式給出保守性較小的時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。在此基礎(chǔ)上結(jié)合不匹配策略，設(shè)計(jì)模糊狀態(tài)反饋控制器，運(yùn)用該控制器實(shí)現(xiàn)對時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的控制。分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，該方法下的線性時(shí)滯系統(tǒng)與實(shí)際控制下的運(yùn)行軌跡存在一定的偏差，控制效果不理想。

根據(jù)上述分析可知，研究控制線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法是具有必要性的，本文對時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析做了詳細(xì)描述，也總結(jié)了相關(guān)成果，考慮外界干擾，提出了基于軌跡跟蹤的線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制方法。

1 問題描述

在進(jìn)行線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制之前需要充分考慮具有代表性的狀態(tài)線性時(shí)滯系統(tǒng)：

式(1)中：a(x)表示線性時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)；u(x)表示線性時(shí)滯系統(tǒng)控制輸入；b(x)表示線性時(shí)滯系統(tǒng)控制輸出。標(biāo)量h為線性時(shí)滯系統(tǒng)常數(shù)時(shí)滯；A、Ad、B、C表示已知的適當(dāng)維數(shù)實(shí)數(shù)矩陣。

根據(jù)式(1)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣：

式(2)中：R1、R2表示狀態(tài)反饋矩陣參數(shù)。

1）當(dāng)R1≠0、R2=0時(shí)，為無記憶狀態(tài)反饋矩陣；

2）當(dāng)R1=0、R2=0時(shí)，為有記憶狀態(tài)反饋矩陣。

因此，無記憶狀態(tài)反饋矩陣是有記憶狀態(tài)反饋矩陣的特殊表現(xiàn)形式[5]。

根據(jù)問題描述得出，本文研究主要包括兩個(gè)方面：一是針對線性時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，使得系統(tǒng)對于任何常數(shù)都具備滿足漸近穩(wěn)定的條件；二是針對所獲取的結(jié)論進(jìn)行仿真研究，驗(yàn)證該結(jié)論的有效性[6]。

2 線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

根據(jù)上述描述的問題，從工程實(shí)踐角度分析，線性時(shí)滯系統(tǒng)的存在往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析流程如圖1所示。

圖1 線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析流程

根據(jù)線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析流程，以單時(shí)滯方程為例：

式(3)中，h＞0為線性時(shí)滯狀態(tài)，初始條件是在[-h,0]連續(xù)方程式中確定的，線性時(shí)滯系統(tǒng)中x＞0的行為不僅僅依賴于0時(shí)刻的狀態(tài)，還與該時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)息息相關(guān)，由此可知解空間具有無窮維數(shù)。利用解析法進(jìn)行相關(guān)研究，以此獲取穩(wěn)定充分條件，通過引入適當(dāng)變換，可將方程式轉(zhuǎn)化為非超越形式，得到穩(wěn)定性判據(jù)[7]。

根據(jù)上述分析，選取Lyapunow-Krasovskii泛函如下所示：

其中：

對稱矩陣Q，W，E都為對稱正定矩陣，由此可知：

P（a，x）＞0，由上述公式可得：

其中：

如果式(7)小于0，那么：

即P（a，x）為Lyapunow函數(shù)，由上述公式可推斷出該函數(shù)成立，因此線性時(shí)滯系統(tǒng)(1)對所有的（0，范圍內(nèi)都是趨于穩(wěn)定狀態(tài)的[11,12]。

3 基于軌跡跟蹤的線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制研究

基于上述內(nèi)容，提出了基于軌跡跟蹤的線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制研究方法，其基本思路為：根據(jù)輸出的動(dòng)態(tài)信息以及期望輸出軌跡，使用相對簡單的學(xué)習(xí)方式，修正控制輸入，并進(jìn)行迭代控制。在既定時(shí)間區(qū)域內(nèi)，經(jīng)過若干次迭代處理后，可使系統(tǒng)確定精確的目標(biāo)軌跡[13]。

通過設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器kf（x），保證線性時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到參考系統(tǒng)狀態(tài)中，控制器設(shè)計(jì)方案如圖2所示。

圖2 控制器設(shè)計(jì)方案

其中，V1、V2表示狀態(tài)反饋增益矩陣，該矩陣的設(shè)立就是為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，且在無記憶狀態(tài)反饋矩陣控制和有記憶狀態(tài)反饋矩陣控制之間的差值最小化[15]。除此之外，容錯(cuò)控制設(shè)計(jì)方案還需了解矩陣相關(guān)參數(shù)，為了估計(jì)af(x)和f(x)，需充分考慮觀測器。

為了方便描述，在不出現(xiàn)歧義情況下，省略x，在該設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)先定義狀態(tài)跟蹤誤差e1、狀態(tài)估計(jì)誤差e2、輸入誤差e3和控制出現(xiàn)錯(cuò)誤估計(jì)誤差e4以及輸出估計(jì)誤差e5：

通過上述公式加減m1af、m2af(h)以及f項(xiàng)，可得到：

因此，e3可表示為：

根據(jù)上述公式，得到e1和e2導(dǎo)數(shù)為：

控制出現(xiàn)錯(cuò)誤估計(jì)誤差導(dǎo)數(shù)為：

進(jìn)一步整理，可得到輸出誤差導(dǎo)數(shù)方程：

將上述公式組成如下廣義系統(tǒng)：

其中：

在已知常數(shù)下，如果存在適當(dāng)維數(shù)正定矩陣，則狀態(tài)跟蹤誤差e1、狀態(tài)估計(jì)誤差e2、輸入誤差e3和控制出現(xiàn)錯(cuò)誤估計(jì)誤差e4以及輸出估計(jì)誤差e5的增益小于該常數(shù)。此時(shí)存在Lyapunow-Krasovskii泛函下的廣義系統(tǒng)穩(wěn)定值小于既定界限值，由此完成線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制。

4 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證提出的基于軌跡跟蹤的線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制研究方法有效性，需進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析。充分考慮式(1)形式的線性時(shí)滯系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣如下所示：

基于此，可得到不同的時(shí)滯上界，如表1所示。

表1 不同的時(shí)滯上界

圖3 依次為5和10時(shí)的線性時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)曲線

以S3數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，將不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制方法（文獻(xiàn)[3]方法）、前提不匹配的模糊時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定與控制方法（文獻(xiàn)[4]方法）與基于軌跡跟蹤的控制方法的控制效果進(jìn)行對比分析，結(jié)果如圖4所示。

不同方法下的線性時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)曲線，如圖4所示。

圖4 不同方法下的線性時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)曲線

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法控制效果更好，需將不同方法的控制效果進(jìn)行對比分析，結(jié)果如表2所示。

表2 兩種方法的控制效果對比分析

根據(jù)表2所示對比結(jié)果可知，采用文獻(xiàn)[3]方法的控制效果始終低于55%，且在控制時(shí)間為6s時(shí)，該方法控制效果達(dá)到最低為40%；采用文獻(xiàn)[4]方法的控制效果始終低于73%，且在控制時(shí)間為1s時(shí)，該方法控制效果達(dá)到最低為65%；采用基于軌跡跟蹤的控制方法控制效果始終高于90%，且在控制時(shí)間為4s時(shí)，控制效果達(dá)到最高為99%，由此證實(shí)了基于軌跡跟蹤的線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性自動(dòng)化控制方法是具有有效性的。

5 結(jié)語

時(shí)滯的存在會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)極其不穩(wěn)定，因此對時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究是具有必要性的。研究的內(nèi)容主要包括三個(gè)方面：

1）描述時(shí)滯問題所在，提出無記憶狀態(tài)反饋矩陣和有記憶狀態(tài)反饋矩陣。

2）分析時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性，并構(gòu)建Lyapunow-Krasovskii泛函，獲取最新不等式，得到時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)。

3）根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性依據(jù)，利用基于軌跡跟蹤控制方法，得到保守性較高的系統(tǒng)控制條件。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法的控制效果更好，充分驗(yàn)證了該方法的有效性。

雖然本文方法較好的解決了傳統(tǒng)方法存在的問題，但是在線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題上需要進(jìn)一步完善，有必要從以下三個(gè)方面探究：

1）在Lyapunow-Krasovskii泛函選取上，需構(gòu)造泛函使問題變得更加簡單，同時(shí)得到穩(wěn)定性判據(jù)，這是需要繼續(xù)解決的問題。

2）在不等式問題上，需利用更加先進(jìn)技術(shù)推進(jìn)不等式的計(jì)算，這也是未來需要努力的方向。

3）在控制領(lǐng)域中，單純分析穩(wěn)定性是不足的，需對系統(tǒng)進(jìn)行嚴(yán)格控制，保證系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。