盤活基本圖形 提升兩大能力

上海市嶺南中學(xué) (郵編：200435)

近年來，運用基本圖形處理幾何綜合題已逐漸成為各類公開課教學(xué)展示的一道獨特風(fēng)景，并為廣大師生所熱捧．而隨著2019年上海中考壓軸題第25題的面世，本市必將掀起新一輪對幾何基本圖形研討的熱潮．

1 盤活基本圖形，提升轉(zhuǎn)化能力

所謂基本圖形是指由常規(guī)幾何圖形(如線、角、多邊形、圓等)與一些特殊線(如垂線、平行線、角平分線等)組成的具有特定規(guī)律性結(jié)論的基礎(chǔ)圖形，主要來源于教材中的定理和例習(xí)題，并為解決復(fù)雜的幾何圖形問題提供直接明了的思想方法或顯性結(jié)論導(dǎo)向，是解題思路生成的一種重要源泉與突破口．

圖1

圖2

圖3

例1(2019年上海中考第25題)如圖1，在△ABC中，AD、BD分別平分∠BAC、∠ABC，過點A作AE⊥AD，交BD的延長線于點E．

(2)如圖2，若AE=AB，且BD∶DE=2∶3，求∠ABC的余弦值；

那么本壓軸題又可挖掘出哪些基本圖形？并為解題提供何種處理策略呢？

圖4

圖5

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圖8

圖9

由此可見，從綜合題的復(fù)雜圖形中巧妙地挖掘出基本圖形往往能使解題思路有茅塞頓開之感和化難為易之妙，凸顯了“化繁為簡”與“化陌生為熟悉”的轉(zhuǎn)化思想．當(dāng)然，研究基本圖形的積極意義不僅僅在于打開解題思路的又一扇窗，豐富轉(zhuǎn)化策略，提高解題能力，更重要的是有利于其他學(xué)習(xí)能力的深化與發(fā)展．因為基本圖形雖然來源于教材，但需從一定量同類問題處理中敏銳地觀察出具有共性的經(jīng)典圖形，并挖掘出規(guī)律性的結(jié)論或具有較強啟發(fā)性與廣泛應(yīng)用性的思想方法，而且在具體運用時又需從復(fù)雜的圖形中精確地剖析出基本圖形，自然對培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、歸納能力、分析能力和探究能力均大有裨益．

2 盤活基本圖形，提升命題能力

其實，上海市2019年中考壓軸題(即例1)來源于上教版七年級第二學(xué)期練習(xí)冊第43頁第4題(“探究與活動”)，原題如下：

圖10

圖11

(2)如圖10，AD、BD分別是△ABC的兩個外角的平分線，請你探究∠ADB與∠C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

(3)如圖11，AD、BD分別是△ABC的一個內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線，試探究∠ADB與∠C的數(shù)量關(guān)系．

對比例1(中考題)與例2(課本題)可知，中考題第(1)題就是由課本題第(1)題與第(3)題組合而成，即把圖10與圖3疊加，隱去邊BA延長線部分，再把外角平分線改為內(nèi)角平分線的垂線，便成了一道角度獨特、導(dǎo)向新穎的中考壓軸題的一部分；而中考題第(2)題既可以看成是基本圖形5與圖1 的組合，并從逆向角度進行重新設(shè)計與包裝，也可看成是讓圖1的△ABC的形狀“活”起來并特殊化為等腰三角形，再綜合比例、銳角三角形函數(shù)等考點而得；進而繼續(xù)讓形狀“活”起來的△ABC特殊化為直角三角形再加入相似三角形與解三角形的元素，便命制了把基本圖形(圖8)巧妙地隱含于求法中的第(3)題，也成就了一道“既來源于教材又高于教材”且“綜合性強、能力要求高和梯度適中”的中考壓軸題，走出了上海近幾年壓軸題命制的老路，給人以耳目一新之感．由此可見，從基本圖形入手進行適當(dāng)變形與考點綜合，也是命題的一種重要策略和提高命題能力的有效途徑．

另外，除了上述重組方法外，把基本圖形拆分也是編制考題一個重要策略，如下面的2019年上海市中考第18題．

例3 在△ABC與△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°，AC=A1C1=3，BC=4，B1C1=2，點D、D1分別在AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，則AD的長是．

圖12

圖13

當(dāng)然，對基本圖形進行重構(gòu)的方法除了重組與拆分外，還有讓部分元素動起來等化靜為動的技巧，甚至把封閉圖形設(shè)置為開放圖形、把封閉問題設(shè)置為開放問題都不失為重構(gòu)的有效策略．

3 兩點思考

(1)基本圖形教學(xué)要立足于“挖”

首先，要借助定義定理教學(xué)挖掘基本圖形．在幾何定義和定理中不乏一些典型的基本圖形，如由等腰三角形所聯(lián)想的“三線合一圖”、平行線分線段成比例定理所衍生的“X型圖與A型圖”和射影定理所隱含的“母子相似圖(即圖13中的∠BAC為直角)”等．從這些深深刻在學(xué)生腦海里的圖形入手開展基本圖形教學(xué)，自然有一份潛在的親切感，容易引起學(xué)生的共鳴，不知不覺中強化了對基本圖形的認識．

其次，要依賴思想方法的生成挖掘基本圖形．在一些問題解決的思想方法中往往含有大量基本圖形的典型素材，如由中心對稱圖形所引發(fā)的“三角形中線倍長圖”、證明三條線段和差關(guān)系的“截長補短圖”和解直角三角形中的“雙仰角測量圖(即圖8)”等．深入挖掘此類基本圖形可以極大地豐富處理問題的轉(zhuǎn)化策略，提升解決問題的類比遷移能力．

最后，要善于從復(fù)雜圖形中挖掘基本圖形．加強對基本圖形的直觀感受訓(xùn)練，注重由條件到基本圖形的遷移聯(lián)想，強化“去支存主(隱去干擾線凸顯主脈線)”的剖圖技巧，進而提高學(xué)生從綜合圖形中厘析基本圖形的意識與能力．

當(dāng)然，關(guān)于基本圖形的教學(xué)切忌走“教師歸納學(xué)生硬套”的量化強塞之路，而要創(chuàng)設(shè)必要的觀察情境(即把同類問題適當(dāng)歸類)，引導(dǎo)學(xué)生感悟共性、大膽猜想并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體驗生成過程，使基本圖形成為學(xué)生自主探究的成果，并深挖基本圖形構(gòu)成要素，建立由條件到基本圖形的聯(lián)想通道，使基本圖形真正成為學(xué)生處理問題的轉(zhuǎn)化策略與致勝法寶．

(2)由基本圖形切入命題要突出“變”

命制幾何題是一個創(chuàng)新的過程，是一個把基本圖形不斷加工的重構(gòu)過程，故而成敗的關(guān)鍵就在于“求變”．著手于圖形與圖形重組、知識與知識綜合力求“量變”，立足于平移、翻折和旋轉(zhuǎn)力求“位變”，側(cè)重于化靜為動(如點、線動起來)、化一般為特殊(如四邊形——平行四邊形——菱形——正方形)與化少維為多維(如三角形到四邊形)力求“形變(即形狀變化)”， 當(dāng)然也可從語言描述、逆向切入和數(shù)形結(jié)合等角度“求變”．但不管如何“求變”，只要注意表述的規(guī)范、梯度的把握與能力的導(dǎo)向，就一定能編制出創(chuàng)新味濃厚的好題．

總之，對基本圖形的研究要力求水到渠成，以發(fā)展能力為宗旨，切不可模型化操作，教學(xué)生死套，否則，只會加重學(xué)生負擔(dān)，適得其反也！