對一道模考把關試題的分析

安徽省銅陵市第一中學 (郵編：244031)

1 題目呈現(xiàn)

2019年合肥市包河區(qū)中考一模第23題為：

圖1

圖2

圖3

已知△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=2∠B,CD是∠ACB的角平分線.(1)如圖1，若∠A=∠B，則a、b、c之間的關系是；

(2)如圖2，求證：c2-b2=ab；

2 解法探究

2.1 第(1)小題

2.2 第(2)小題

第(2)小題的實質(zhì)就是證明“△ABC中，若∠C=2∠B,則c2-b2=ab”.這是三角形中由角度關系向邊長關系轉(zhuǎn)化的經(jīng)典問題，我們可以從三角運算和幾何方法兩個方面考慮.由于三角運算，涉及邊角關系和正、余弦定理，屬于高中知識，這里不再展開.

以下從幾何關系方面展開探究.

方法一(母子相似)

評析本證法根據(jù)題目所給的角平分線尋找相似三角形，再利用比例性質(zhì)進行變形到達證明目標，與參考答案方法一致.

圖4

方法二(另一組母子相似)

如圖4，延長AC至E,使得CE=CB.

由于∠E=∠CBE,

所以∠ACB=2∠E=2∠ABC=∠ABE.

整理得c2-b2=ab.

評析本證法是利用形外作輔助線尋找相似三角形，構(gòu)圖上另辟蹊徑，方法巧妙自然.

圖5

方法三(托勒密定理)

如圖5，構(gòu)造等腰梯形ACBE,則C、D、E三點共線.

由∠ACB=2∠CBA=∠CBE得∠CBA=∠ABE=∠BAE,所以AC=BE=AE=b.

由于等腰梯形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，

所以根據(jù)托勒密定理得AB·CE=CB·AE+AC·BE,

即c2=ab+b2,移項得c2-b2=ab.

評析本方法先構(gòu)造一個等腰梯形ACBE,再利用托勒密定理完成證明，高效直接.

方法四(張角定理)

整理得c2=ab+b2,即c2-b2=ab.

評析本方法先利用張角定理的角平分線的特殊狀態(tài)，再引入邊長關系運算，體現(xiàn)了幾何法與代數(shù)法完美結(jié)合.

2.3 第(3)小題

評析①這里CD+BC=AC需要證明，方法可對AC截長，也可以對BC補短，其細節(jié)留給讀者；②本方法通過三角形的相似比引入邊長運算，再結(jié)合邊的長度之間的特殊關系CD+BC=AC代入完成證明.

方法二如圖6，在BC的延長線上，取一點E,使得∠EAC=∠CAB,

容易證明∠E=∠ACE=3∠A,所以AC=AE=b.

在△ABE中，AC是角平分線，

圖6

評析本方法通過形外作圖由三角形內(nèi)角平分線定理引入邊長運算，再結(jié)合角的特殊性得出邊之間的相等關系代入完成證明.

方法三由∠ACB=2∠B得c2-b2=ab,即c2=b(a+b)；

又∠B=2∠C,同理可得b2-a2=ac,即ac=(a+b)(b-a).

評析本方法要求對已知條件作充分挖掘，深刻理解并靈活應用第2題的結(jié)論.進而得出兩個代數(shù)式，再對它們聯(lián)立進行適當變形完成證明.體現(xiàn)出邏輯推理、運算求解、創(chuàng)新思維等多重數(shù)學能力.

3 本質(zhì)探索

3.1 圖形生成過程

本題的本質(zhì)核心是△ABC中，∠ACB=2∠B這一幾何關系與c2-b2=ab的代數(shù)形式等價.要想處理好這里面的推理關系，充分探索滿足∠ACB=2∠B的△ABC的幾何構(gòu)型成為關鍵.從角的關系來看，可以從平分∠ACB或者加倍∠B從而產(chǎn)生等角這兩個思路下手.

方法一(作角平分線)

作∠ACB的平分線交AB于D,

由∠ACB=2∠B得∠ACD=∠DCB=∠B,于是∠ACD=∠DCB且DC=DB.

所以我們可以這樣理解原題圖形的形成過程：

圖7

如圖7，先在以D為圓心，DB為半徑的圓上取一個動點C形成等腰△DCB.再以CD為對稱軸，作出CB的對稱直線CA交BD的延長線于A.

注意①由上即可得出原題的第1和第3小題是動點C在圓上的不同特殊位置形成，其中第1題最為特殊，此時∠CDB為直角，△ACB為等腰直角三角形；②按照這個思路不變，圖形也可以換個生成的方式，在∠ACB的角平分線上取一點D,再以D為圓心，DC為半徑作圓交BC于B,BD的延長線交CA于A；③CA也可以看做是等腰△DCB外接圓在點C處的切線.

方法二(以AB為軸作軸對稱)

作BC的垂直平分線，設點A關于垂直平分線的對稱點為點D,AD、BC的中點分別記為M、N.易得:ADBC為等腰梯形且AC=AD=DB.

圖8

所以我們也可以這樣理解圖形的形成過程：

如圖8，先作一個等腰梯形ADBC且AC=AD=DB(作法略)，而△ACB就是等腰梯形ADBC除去兩條相等的鄰邊AD、DB形成△ADB所留下來的圖形.

評述第2題解法六中構(gòu)造等腰梯形的做法就是基于這樣的圖形理解.

方法三(以BC為軸作軸對稱)以BC為對稱軸，作出BA的對稱直線BE交AC于E.

由于∠ACB=2∠ABC=2∠CBE,所以∠EBC=∠CBE.

所以我們還可以這樣理解圖形的形成過程：

圖9

如圖9，先作∠XBy的角平分線，以角平分線上一點C為圓心，CB為半徑畫圓交By于E,EC與Bx的交點設為A.

評述①第2題解法二形外作輔助線就是基于這樣的圖形理解；②注意方法三與方法一形成的關系，他們的本質(zhì)是相通的.

3.2 等價條件分析

通過以上的探究可以得出：在△ABC中，以下條件任意兩個等價①∠C=2∠B,②c=2bcosB,③b=a-2bcosC,④c2-b2=ab.

值得注意的是，上述4個條件都是關注三角形的基本元素.其中條件①是純粹角的倍數(shù)關系，條件④是純粹邊的關系，條件②、③是邊和角的混合關系，它們雖然形態(tài)各異，但是都簡潔直觀，體現(xiàn)出聯(lián)系的本質(zhì).除此以外，筆者還以∠C=2∠B這一條件得出一些幾何關系，前提是引進一些新的點或線段，具體的有(圖略)：

(1)若AE是∠A的內(nèi)角平分線，E在BC上，則AB=CE+AC；

(2)若AF是∠A的外角平分線，F(xiàn)在BC延長線上，則AB=CF-AC；

(3)若AH是BC邊上的高線，點M為BC邊的中點，

則①AC=2HM,②當∠C≤90°時，BH=AC+CH,

③當90°<∠C≤120°時，BH=AC-CH；

(4)過A作∠C的內(nèi)角平分線的垂線，垂足為G,則AB=2CG.

4 特色分析

每一道優(yōu)秀的把關試題的產(chǎn)生，一定是經(jīng)歷了命題組專家辛苦的思考，凝聚了集體的心血與智慧.下面我們來分析這道把關題的特色.

本題立足基礎，強調(diào)解決問題的通性通法.《義務教育階段數(shù)學課程標準(2011版)》指出，學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化.試卷既然選擇讓平面幾何題作為把關題，就應該立足于初中的基本圖形，著眼于解幾何題的基本方法，注重考查邏輯推理、數(shù)學轉(zhuǎn)化與化歸等基本能力. 本題涉及的知識點、幾何圖形與解決辦法都是基本的，突出了對通性通法的重點考查，同時在思維的考查上又分量十足，充分體現(xiàn)出把關題的功能.

本題綜合適當，準確考查學生數(shù)學核心素養(yǎng).作為初三畢業(yè)班?？嫉陌殃P題，必須要具有適當?shù)木C合性，綜合性稍強的試題不僅可以考查學生對多個知識點的掌握情況，更可以考查學生分析問題解決問題的關鍵能力. 當然把關題的綜合性要自然、得體，過輕達不到考查效果，過重則增加考生負擔，都會影響試題的效度.本題綜合了相似三角形的判定和性質(zhì)、代數(shù)式的變形等多個重要知識點，對學生方法、能力的考查也恰如其份、適中得體，能準確地達成考查的目標.

本題屬于老題新編，精心設計富有探索性的問題. 由于中學數(shù)學知識內(nèi)容的局限，考試中不可能也沒必要全面回避經(jīng)典問題，然而我們關注是的如何用專業(yè)的命題技術，使得這些老問題為今所用，起到預期的考查效果.筆者查閱相關資料，發(fā)現(xiàn)上個世紀八十年代的數(shù)學競賽中就有很多類似的試題，收集如下：

①(1980年上海市中學生數(shù)學聯(lián)賽)在△ABC中，最大角A是最小角C的二倍，夾角兩邊b=5,c=4,求第三邊a和三角形面積.

②(1985年新加坡中學數(shù)學競賽)設ABC是一個三角形，∠A=4∠C,∠B=2∠C,求證：(BC+AC)·AB=BC·AC.

③(1985年中國高中數(shù)學聯(lián)賽)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2-a2=ac,則角B的弧度數(shù)等于.

④(第10屆IMO)證明：邊長為三個連續(xù)自然數(shù)，且一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角兩倍的三角形有且只有一個.

本題的設計中，第一問是一種特殊狀態(tài)，同時也為證法二的討論提供素材支持，引發(fā)學生對特殊性的關注.第二問中角平分線能進一步啟發(fā)學生思維，引導學生從幾何的角度分析試題，實屬點睛之筆.第三問的本質(zhì)是倍角的嵌套，如果學生有很好的發(fā)現(xiàn)思維與分析問題的能力，就不必另起爐灶，立即從代數(shù)的方向利用2的結(jié)論就能乘勢而上，勢如破竹般解決問題.

由此可見，整個試題設計巧妙，特色鮮明，特殊與一般、幾何與代數(shù)相互交融. 而且富有層次性、探究性、綜合性. 引導學生探尋自然的思考方法，追求對數(shù)學本質(zhì)與核心素養(yǎng)、關鍵能力的考查，對一線的課堂教學也起到了很好的導向作用.