高考函數“依式選圖”問題求解策略

甘肅省武威第十六中學 (郵編：733018)

函數圖象是高中數學的重要基礎，一直是歷年高考選擇題的命題熱點.高考函數圖象選擇題的類型有“依式選圖”和“依圖選圖”兩類.依式選圖是指根據函數解析式選擇函數圖象選項；依圖選圖是指根據圖象或圖形選擇函數圖象選項.其中“依式選圖”問題一直是歷年高考選擇題的?？碱}型，它能很好地考查函數圖象性質的綜合運用，解法靈活多樣,具有直觀性、基礎性、靈活性和綜合性的特點，是體現(xiàn)數形結合思想的典范，培養(yǎng)核心素養(yǎng)的良好素材.作者對近幾年來高考函數“依式選圖”選擇題進行了歸納、比較與分析，并選其具有代表性的典型試題的解題策略進行展示，以期達到拋磚引玉之功效.

1 直接法

直接由函數解析式確定函數的定義域、值域及函數的單調性、奇偶性、周期性等性質，再根據這些性質對函數圖象進行具體分析判斷，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，做出相應的選擇.直接法的解題過程，實質就是數學核心素養(yǎng)的提升和展示過程.

例1 (2018浙江卷理)函數y=2|x|sin2x的圖象可能是( )

A B C D

解析令y=f(x)=2|x|sin2x,則f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=-f(x),所以f(x)為奇函數①；當x∈(0,π)時，2|x|>0,sin2x可正可負，所以f(x)可正可負②.由①②可知,故選D.

評注(1)運用函數性質研究函數圖象時，先要正確理解和把握函數相關性質本身的含義及其應用方向.(2)在運用函數性質特別是奇偶性、周期性、對稱性、單調性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關系，結合特征進行等價轉化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉化，周期性可實現(xiàn)自變量大小轉化，單調性可實現(xiàn)將函數值的大小轉化為自變量大小關系.

2 特例法

在解選擇題時，可以通過取一些特殊數值、特殊點、特殊位置、特殊函數等對選項進行驗證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項，得到正確的選項，這就是特殊化策略在解選擇題中的應用.

A B C D

所以f(x)是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C.

故選B.

評注本題通過判斷函數的奇偶性，排除錯誤選項，通過計算特殊函數值，作出選擇．考查了邏輯推理、數據分析和數學運算素養(yǎng).特殊數值、特殊點、特殊位置、特殊范圍是一舉突破這類問題的最佳思路.用特例法解題時要注意：(1)所選取的特例一定要簡單，且符合題設條件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)當選取某一特例出現(xiàn)兩個或兩個以上的選項都正確時，這時要根據題設要求選擇另外的特例代入檢驗，直到找到正確選項為止.

3 排除法

充分運用選擇題中單選的特征(有且只有一個正確選項)，通過分析、推理、計算、判斷，逐一排除，最終得出正確選擇.

A B C D

評注本題考查函數的性質與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象、數據分析和數學運算素養(yǎng).解答本題時，先判斷函數的奇偶性，得f(x)是奇函數，排除A,再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．排除法適用于不易直接求解的選擇題.當題目中的選項多于一個時，先根據某些條件在選項中找出矛盾，這樣逐步排除，直到得出正確的選項.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用而有效的方法.

4 分類討論法

在解答某些數學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法.它能很好地訓練學生思維的條理性和概括性，培養(yǎng)學生邏輯推理、數學抽象等素養(yǎng)，在高考試題中占有重要的位置.

A B C D

評注本題易出現(xiàn)的兩個錯誤：一是指數函數、對數函數的圖象和性質掌握不熟練，導致判斷失誤；二是不能通過討論a的不同取值范圍，認識函數的單調性.分類討論是一種邏輯方法，也是一種數學思想.分類時注意：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復、分層次，不越級討論.

5 導函數定性法

當遇到比較復雜的函數解析式時，函數的單調性不能直接進行判斷，此時可借助導數工具，利用導函數的符號來判斷.但要注意函數求導之后，解析式發(fā)生了變化，故導函數的定義域與原函數的定義域可能有所不同，但必須在原函數的定義域內研究函數的單調性.

A B C D

因為f(1)=e-e-1>0,則舍去D.

所以當x>2時，f′(x)>0 . 故f(x)在(2,+∞)上是増函數，所以舍去C,故選B.

評注：本題根據解析式的結構特征，通過研究函數奇偶性以及單調性，確定函數的圖象.本題的解答，很好地考察了數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養(yǎng).

6 圖象變化趨勢法

當函數的符號變化不易判斷時，應從函數圖象的變化——包括函數的單調性、奇偶性、函數在區(qū)間上的零點以及最值變化等角度，深入分析函數圖象的變化趨勢，來判斷函數的圖象.

A B C D

解析由三角函數的有界性，可知 cos6x∈[-1,1].

總之，高考函數“依式選圖”選擇題的解答，要結合已知解析式和選項靈活處理.根據解析式研究函數的有關性質，并對圖象在坐標系中的位置和圖象的變化趨勢進行具體分析判斷，找出選項之間的不同，準確進行驗證排除，進而可得正確選項.這樣，不僅使問題迎刃而解，而且使學生的數學核心素養(yǎng)得到有力提升.