如何在操作課中落實(shí)關(guān)鍵能力

浙江省衢州市白云學(xué)校 (郵編：324000)

2019年5月底區(qū)教研室舉行了優(yōu)質(zhì)課評比，賽前4天公布了賽課素材：八年級下冊書本第128頁設(shè)計(jì)題，如下圖所示.

圖5-21

先準(zhǔn)備一張矩形紙片和一張平行四邊形紙片，然后嘗試以下操作.

1. 把平行四邊形紙片補(bǔ)成一個矩形. 怎樣操作能使分割紙的條數(shù)最少？

2. 把矩形紙片割補(bǔ)成一個角為60°的平行四邊形，怎樣操作能使分害線最少？

通過上述活動，你獲得哪些經(jīng)驗(yàn)？

(請與你的同伴交流)

試一試：由兩個正方形組成的紙?zhí)幦鐖D5-21. 把它割補(bǔ)成一個更大的正方形，并使分割線的條數(shù)最少.

賽課要求：請圍繞課本素材，開發(fā)設(shè)計(jì)一節(jié)相關(guān)內(nèi)容的小專題復(fù)習(xí)課，注意突出素材的核心思想與方法.筆者作為參賽選手參加了比賽，并取得了第一名，現(xiàn)把整節(jié)課的備課心路歷程與大家做一交流.

1 素材分析

本素材出自浙教版課本第五章特殊平行四邊形第3節(jié)正方形這一小節(jié)課后的一個設(shè)計(jì)題，學(xué)生剛好學(xué)完平行四邊形、特殊平行四邊形的所有知識.從素材中可看出這是一節(jié)操作課，所運(yùn)用的結(jié)論是剪拼前后面積相等.如何把一節(jié)操作課開發(fā)設(shè)計(jì)成一節(jié)小專題復(fù)習(xí)課？且復(fù)習(xí)哪些知識點(diǎn)？是屬基礎(chǔ)復(fù)習(xí)、還是拓展提升？同時(shí)又如何突出素材的核心思想與方法？并且素材要突出哪方面的核心思想與方法呢？

2 學(xué)情分析

本次比賽是借班上課，學(xué)生來自優(yōu)質(zhì)生源大量流失的農(nóng)村初中，已學(xué)完平行四邊形與特殊平行四邊形的知識，且相關(guān)復(fù)習(xí)課剛結(jié)束，全班32個學(xué)生，基礎(chǔ)性的單元測驗(yàn)成績及格以上人數(shù)達(dá)16人，即將學(xué)習(xí)下一章反比例函數(shù)的知識.

3 二次設(shè)計(jì)

3.1 第一次設(shè)計(jì)——剪拼中的學(xué)問

問題1 把平行四邊形紙片割補(bǔ)成一個矩形，怎樣操作能使分割線的條數(shù)最少？

圖1(Ⅰ) 圖1(Ⅱ) 圖1(Ⅲ)

如圖1(Ⅰ-Ⅱ)學(xué)生先找分割線、再動手剪拼，最后根據(jù)圖1(Ⅲ)寫出已知，求證，再完成證明過程.

結(jié)論：(1)形與數(shù)有聯(lián)系的(面積)，數(shù)的問題(面積)可以用形來體現(xiàn)；

(2)剪拼問題是需要嘗試調(diào)整的，最后需要對照要求檢驗(yàn)是否符合要求.

板書：嘗試——發(fā)現(xiàn)——表達(dá)——證明——?dú)w納.

剪拼前后：面積相等.

問題2 反之，如果把矩形紙片割補(bǔ)成一個平行四邊形，怎樣操作能使分割線最少？

圖2(Ⅰ) 圖2(Ⅱ) 圖2(Ⅲ)

如圖2(Ⅰ-Ⅱ)學(xué)生先找分割線、再動手剪拼，最后根據(jù)圖2(Ⅲ)寫出已知，求證，再完成證明過程.

引導(dǎo)學(xué)生：按問題1收獲的結(jié)論：發(fā)現(xiàn)——嘗試——表達(dá)——證明——?dú)w納去解決問題.

問題3 如果把矩形紙片割補(bǔ)成有一個角為60°的平行四邊形，怎樣操作能使分割線最少？

圖3(Ⅰ) 圖3(Ⅱ)

圖4

問題4 如果用一塊兩邊滿足1∶2的矩形紙片割補(bǔ)成一個更大的正方形，并且使分割線最少？

問題5如果是一大一小的二個正方形，你還能拼成一個更大的正方形嗎？并且要分割線最少.

圖5(Ⅰ) 圖5(Ⅱ) 圖5(Ⅲ) 圖5(Ⅳ)

如圖5(Ⅰ-Ⅲ)學(xué)生先找分割線、再動手剪拼，最后根據(jù)圖5(Ⅳ)寫出已知、求證，再完成證明過程.

引導(dǎo)學(xué)生：按問題1收獲的結(jié)論：發(fā)現(xiàn)——嘗試——表達(dá)——證明——?dú)w納去解決問題

小結(jié)

在今天的剪拼問題中，你獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)？

(1)剪接問題是需要嘗試調(diào)整的，最后需要對照要求檢驗(yàn)是否符合要求的，即解決問題之后是需要推理論證的；

(2)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不是唯一的，只要努力探索，你一定行；

(3)數(shù)形是有關(guān)聯(lián)的，數(shù)的問題可以用形來體現(xiàn)，形的問題可以通過數(shù)來思考.

今天以剪拼問題為載體，我們回顧了哪些知識呢？

平行四邊形，特殊平行邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì).

3.2 第一次設(shè)計(jì)的思考

對照比賽要求：首先課堂上剪拼后花了很多時(shí)間證明，似乎體現(xiàn)了復(fù)習(xí)的味道，但只是讓學(xué)生在剪拼后完成了幾道證明題而已，學(xué)生只見樹木不見森林，沒有自身體會到復(fù)習(xí)的目的何在，沒有體會到知識的價(jià)值，學(xué)習(xí)是被動的；其二直接由問題4的矩形剪拼過度到問題5，學(xué)生還沒有尋找分割線的經(jīng)驗(yàn)，跨度太大；其三比賽所要體現(xiàn)的核心思想在哪？學(xué)生唯一的收獲是解決問題的套路：發(fā)現(xiàn)——嘗試——表達(dá)——證明——?dú)w納.對于發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)什么？怎么嘗試尋找分割線，分割線的尋找有沒有依據(jù)可尋？

深挖素材：為什么教材要在整一章特殊平行四邊形的內(nèi)容結(jié)束后安排了這個設(shè)計(jì)題？它為最后一個操作活動起到了什么作用呢？帶著以上思考，有了第二次設(shè)計(jì)：

3.3 第二次設(shè)計(jì)——怎樣剪拼成正方形

教學(xué)目標(biāo) :

(1)從一個簡單的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割線的尋找思路.

(2)從特殊到一般，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)——推理——?dú)w納出分割線的尋找思路，從中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

(3)通過層層深入的問題串，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，解決問題時(shí)的遷移能力.

教學(xué)重點(diǎn)：尋找分割線的形成思路.

教學(xué)難點(diǎn)：尋找用任意邊長的2塊正方形剪拼成更大的正方形分割線的形成思路.

問題1 用最少的分割線把一個平行四邊形紙片割補(bǔ)成矩形，你會怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能做出如下分割：

討論：你是怎么想到這條分割線的？

形成想法：從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找思路.目標(biāo)圖形是矩形，而矩形的特征是有直角.

問題2 用最少的分割線把一個矩形割補(bǔ)成含有60°角的平行四邊形紙片，你會怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能做出如下分割：

討論：你是怎么想到這條分割線的？

形成想法：從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找思路.

目標(biāo)圖形是平行四邊形，特征是有600角的平行四邊形.

問題3 用最少的分割線把兩個邊長為1的正方形紙片割補(bǔ)成一個大正方形，你會怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能作出如下分割：

討論：你是怎么想到這條分割線的？

形成想法：從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找思路.

歸納想法：

討論：上述三個簡單問題的剪拼方法，是如何想到的？你發(fā)現(xiàn)了什么？

形成方法：從目標(biāo)圖形特征出發(fā)尋找思路.

(說明：以上用時(shí)12-15分鐘)

問題4 用最少的分割線把一個長為2寬為1的長方形紙片割補(bǔ)成一個正方形，你會怎樣操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生能依照問題3作出如下分割：

如果學(xué)生有困難，教師作如下引導(dǎo)：

(1)目標(biāo)圖形是什么圖形？

(2)這個正方形有什么特征？

(3)正方形的面積為2，邊長為多少？

問題5用最少的分割線把邊長分別為1與2的正方形紙片割補(bǔ)成一個更大的正方形，你會怎樣操作？

先讓學(xué)生自主嘗試，如果有的學(xué)生會，要重視讓學(xué)生講明白如何想到的.

如果學(xué)生有困難，教師作如下引導(dǎo)：

(1)目標(biāo)圖形是什么圖形？

(2)這個正方形有什么特征？

(3)正方形的面積為5，邊長為多少？

問題6 如下圖，用最少的分割線把邊長分別為a、b的正方形紙片割補(bǔ)成一個更大的正方形，你會怎樣操作？

先讓學(xué)生自主嘗試，如果有的學(xué)生會，要重視讓學(xué)生講明白如何想到的.

如果學(xué)生有困難，教師作如下引導(dǎo)：

(1)這個問題與問題5有什么區(qū)別與聯(lián)系？

(2)目標(biāo)圖形是什么圖形？

(3)這個正方形有什么特征？

(4)正方形的面積為a2+b2，邊長為多少？

歸納想法：

討論：上述三個問題的剪拼方法，是如何想到的？你發(fā)現(xiàn)了什么？

形成方法：從目標(biāo)圖形特征出發(fā)尋找思路，關(guān)鍵是找到與目標(biāo)正方形的邊長等長的割線.

小結(jié)

你認(rèn)為剪拼問題如何尋找分割線的？以剪拼問題為載體，今天我們主要復(fù)習(xí)了哪些知識？通過今天的學(xué)習(xí)，對你今后解決新的問題，有怎樣的幫助？

第二次的教學(xué)設(shè)計(jì)以“找——剪——拼”這個操作流程對每個問題展開，解決每個問題時(shí)又緊緊圍繞你是如何尋找分割線展開分析，首先從角度特征尋找分割線，然后從邊長與角度二方面的特征尋找分割線；最后通過把相等的角重合、相等的邊重合來拼接，由易到難，由特殊到一般，讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象化，抓住問題的前后聯(lián)系點(diǎn)，先體會運(yùn)用遷移、推理的能力解決一般性的問題，最后逐漸內(nèi)化為一種自身的能力，并主動運(yùn)用這種能力解決復(fù)雜問題.

4 教后反思

(1)關(guān)于素材的處理

數(shù)學(xué)教學(xué)，就教材教教材不行，就知識教知識也不行，必須要跳出教材、教知識，跳出知識得經(jīng)驗(yàn)，跳出經(jīng)驗(yàn)長智慧，所以我們的教學(xué)不僅是知識層面和方法層面的教育，而更應(yīng)上升到智慧層面，素養(yǎng)層面的教育.而每一個素養(yǎng)的落實(shí)不是靠說教，要靠具體的問題，學(xué)生從具體簡單的問題獲得經(jīng)驗(yàn)，然后通過遞進(jìn)式的問題，鞏固這種經(jīng)驗(yàn)，變成學(xué)生解決問題的一種智慧，用這種智慧去應(yīng)對復(fù)雜的問題.

比如——問題1：由矩形最大特征是直角，自然想到只要在原圖形中作垂直的分割線，從簡單的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生從目標(biāo)圖形的特征尋找分割線，即從角這個角度尋找分割線，且無數(shù)種分割法的共同特征都是垂直，問題2再次引導(dǎo)學(xué)生從角這個角度尋找分割線，只要在原圖形中作60°角這條分割線即可.

而問題3，雖然是1條分割線向2條分割的過渡，但因是學(xué)生身邊熟悉不過的素材，學(xué)生輕松找到2條分割線，如果說此時(shí)對要考慮2條分割線的位置與邊長的關(guān)系問題核心不夠凸顯的話，那么問題4再次以另一個面目呈現(xiàn)問題3——用一個寬為1，長為2的矩形剪拼成一個正方形，通過追問，你認(rèn)為這個問題與問題3有什么共同點(diǎn)，此時(shí)猶如涓涓細(xì)流匯成大江大海，學(xué)生因2個問題相同的本質(zhì)而興奮，發(fā)現(xiàn)問題4就是問題3——寬為1，長為2的矩形可以看成2個邊長都為1的正方形，為后續(xù)學(xué)生解決一般性的問題做足了遷移能力的鋪墊.就這樣學(xué)生的遷移能力在潤物細(xì)無聲中得到滲透，此時(shí)再適時(shí)地追問尋找分割線時(shí)要考慮幾方面的特征？——邊長與角度，但當(dāng)2個方面都要滿足時(shí)，可以采用控制變量法，比如先滿足邊長，再滿足角度，學(xué)生在問題1與2尋找分割線時(shí)只滿足角度的特征基礎(chǔ)上又收獲了當(dāng)多個變量都要滿足時(shí)，先滿足一個變量的尋找方法.分割線的尋找思路明朗化、清晰化、條理化.

從問題5到問題6，是學(xué)生主動運(yùn)用遷移能力解決問題，一波三折，難點(diǎn)不攻自破，學(xué)生很快自己找到問題的方法與思路，體會到遇到復(fù)雜的一般性的問題可以從特殊到一般，從特殊的問題尋找解決問題的方式方法從而把它遷移到一般性的問題中.

(2)關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

教學(xué)過程是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)對象的分析、教學(xué)媒體的選擇，課堂教學(xué)組織形式，都將在教學(xué)過程中得到體現(xiàn).課堂教學(xué)要求我們關(guān)注學(xué)生的主動參與，讓學(xué)生在尋找中、剪拼中、在情感的體驗(yàn)中，進(jìn)行有效生長.在這樣的理念下，整節(jié)課不是沿著“教”這條單線前行，而在“學(xué)”與“教”的交錯中，按照教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)動態(tài)前行.為此本節(jié)課的設(shè)計(jì)有如下特點(diǎn)：

①情境導(dǎo)入——遵循從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)

課始利用學(xué)生熟知的素材，把這作為“突破口”，找到解決新問題與學(xué)生原有知識經(jīng)驗(yàn)的“切合點(diǎn)”，把解決新問題所需要的知識“同化”或“順應(yīng)”結(jié)合到已有的知識結(jié)構(gòu)中，從而體會所學(xué)知識的價(jià)值.如前面3個問題，都從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，為學(xué)生提供非常自然、流暢的思維場景(通過老師提問：你是怎么尋找分割線的？)為遷移能力的發(fā)展作深入思考.

②自主式探究——凸顯問題的本質(zhì)

整個操作活動始終圍繞“你是如何來尋找分割線的？”這一中心問題展開的遷移活動，在探究中，根據(jù)目標(biāo)圖形的特征尋找分割線是核心，它是有效的思維生長的載體.

由特殊到一般，有力地落實(shí)《課標(biāo)》提出的“螺旋上升”不斷獲取推理能力的要求.

③小結(jié)反思——基于提升學(xué)生思維能力

好的課堂教學(xué)，不僅應(yīng)當(dāng)引人入勝，還應(yīng)有發(fā)人深省，余味無窮的小結(jié)反思.課堂小結(jié)不僅僅是對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理，歸納總結(jié)，理清知識脈絡(luò)，還要促進(jìn)知識的拓展，延伸、遷移、生長，以便實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生思維的目的.

操作課，表面培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力，但是更主要的是通過操作課，引領(lǐng)學(xué)生體會操作背后的數(shù)學(xué)思考，為什么要這么操作，操作的依據(jù)是什么，如尋找分割線的依據(jù)是什么，其他位置的分割線是否可行？它們有無共同點(diǎn)？有沒有更簡單的操作？這些都是操作課中要慢慢滲入的“最優(yōu)化思想”——用最少的分割線，以及數(shù)形結(jié)能力，從目標(biāo)圖形的特征出發(fā)尋找分割線.

陌生的操作該怎么辦？通過容易、熟悉的問題體會、啟發(fā)，到小變式問題的嘗試，最后運(yùn)用特殊到一般、實(shí)際問題抽象化、建模、遷移能力、推理能力這些解決問題常用的手段加以內(nèi)化主動解決復(fù)雜的問題，并總結(jié)出解決問題的一般性的經(jīng)驗(yàn)，并能透過問題看本質(zhì)，高站位，看到操作背后隱藏的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思維.這些就是操作課中要落實(shí)的關(guān)鍵能力.