對一道四面體體積最值題的探究

安徽省寧國中學(xué) (郵編：242399)

圖1

圖2

圖3

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)進(jìn)行得如火如荼，不知不覺已復(fù)習(xí)到立體幾何．在習(xí)題課上，一道有關(guān)四面體體積的最值題讓筆者在評講時遇到了極為少見的尷尬，課堂一度“冷場”！幸虧有聰明的學(xué)生“施救”，“撥開云霧重見天日”，才不至于讓真理掩埋在筆者的無知或不負(fù)責(zé)任之中．課后筆者唏噓不已，從心底真切感受到教學(xué)真得需要研究，否則肯定要誤人子弟！

題目(《步步高大一輪復(fù)習(xí)講義》配套《課時作業(yè)》(理科)第308頁第16題[1])如圖1，在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體P-BCD的體積的最大值是．

參考答案 設(shè)PD=DA=x,在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，所以AC=

1 課堂實(shí)錄

1.1 探究1(結(jié)論1)

(首先在黑板上展示題目，給時間讓學(xué)生思考．)

教師：誰來談?wù)勀闶窃趺凑J(rèn)識這個問題的？

(平時一直是心直口快的聶同學(xué)首當(dāng)其沖，他舉手了．)

學(xué)生1：我認(rèn)為這其實(shí)是一個折疊問題，相當(dāng)于把一個頂角∠ABC為120°,底角為30°的等腰三角形的一個底角∠A折起(其中折痕BD過頂點(diǎn)B)，這樣形成一個四面體，求這個四面體體積的最大值．

教師：很好，了解了我們要解決的問題是什么，才有研究目標(biāo)．那到底應(yīng)該怎樣求這個最大值呢？研究方向是什么？

學(xué)生2：我覺得應(yīng)該將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題，求函數(shù)的最大值．可是我不知道應(yīng)該以什么為自變量較好？

教師：那你看看是什么引起了四面體體積的變化？請大家動手剪一個符合條件的等腰三角形紙片，親自沿不同的位置折疊看看．

(班上同學(xué)馬上忙碌起來．很快有了結(jié)果．還是剛才發(fā)言的李同學(xué)．)

學(xué)生2：我知道了，位置的不同其實(shí)就是折痕BD的不同，而點(diǎn)B固定，引起折痕BD變化的是點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動時，折痕隨之變化，折痕BD的長度應(yīng)該是先變小后變大，所以我猜所求四面體體積可能是當(dāng)點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)時最大．

教師：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，一動手就找到了問題的根源．?dāng)?shù)學(xué)上一些重大的發(fā)現(xiàn)就是從猜想開始的，同學(xué)2的猜想對嗎？從理論上能證明嗎？到底以什么為自變量較好？

否則，若以折痕BD的長為自變量，也能由正弦定理或余弦定理求其它線段的長或底面面積，則可能要麻煩一點(diǎn)．

教師：分析有道理，四面體底面面積表示出來了，那么高應(yīng)該如何表示呢？

(此時課堂變得異常安靜，個個陷入沉思之中！過了一會兒，還是沒人舉手，筆者只好直接把答案中的結(jié)論告訴學(xué)生)

(筆者講完后，課堂依然沒有太多聲音，大家都露出疑惑的眼神．筆者也感覺有點(diǎn)不對勁．顯然像答案這樣簡單的“給出”學(xué)生不能接受．再次讓學(xué)生用手中的三角形紙片折疊看看……)

1.2 探究2(結(jié)論2)

學(xué)生4：顯然只有當(dāng)面PBD⊥面BDC時，高才可能取最大值．通過折疊發(fā)現(xiàn)，只有點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)時才有PD⊥面BCD,否則PD和面BCD斜交，當(dāng)點(diǎn)D過了中點(diǎn)繼續(xù)移動，顯然四面體的底面△BCD的面積變小，但是斜線段PD變長，因此高可能變大，兩者之積不一定變小呀？

(學(xué)生4的提問可能代表了絕大多數(shù)同學(xué)的疑惑，筆者課前也沒有仔細(xì)研究這道題，他的提問也把筆者問蒙了，筆者一時感到很尷尬，思考片刻，終于有了突破．)

(當(dāng)筆者講完才感到松了一口氣，總算化解了課堂上的尷尬局面，覺得答案給得太簡單、模糊，自己的解釋才是最到位的．這時課堂才有了一些聲音，筆者也準(zhǔn)備告一段落，進(jìn)入下一題．不料班上有名的數(shù)學(xué)王子何同學(xué)舉手了，筆者也覺得有點(diǎn)吃驚，難道還有什么問題嗎？不會吧？)

1.3 探究3(結(jié)論3)

學(xué)生5：我覺得線段AD的長x與線面角θ應(yīng)該有關(guān)．如圖2所示，因?yàn)榱睢螾DO=θ,則∠BDC=θ,因?yàn)樗鼈兎謩e是∠BDP、∠BDA的補(bǔ)角，而∠BDP=∠BDA(看成折疊問題時它們其實(shí)為同一個角)．

(他的話讓大家十分吃驚，不由自主地為他響起了掌聲．他的這個發(fā)現(xiàn)極為關(guān)鍵．)

教師：了不起！我還真沒有發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論．那同學(xué)們再看看它們到底有什么關(guān)系？四面體的體積到底該如何求解？

教師：太厲害了！原來線段AD的長x與線面角θ確實(shí)有具體的函數(shù)關(guān)系，然后利用消元思想，將四面體的體積轉(zhuǎn)化為以線面角θ為自變量的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具解決問題，一氣呵成！

(學(xué)生6感到很得意，有不少同學(xué)向他投去贊許的目光，同時課堂上仍然顯得不是很安靜，仍有一些討論的聲音，不一會兒又有人舉手了)

1.4 探究4(結(jié)論4)

教師：真是一波三折，終于大功告成！我們班真是人才濟(jì)濟(jì)啊！我和你們在一起，也學(xué)到了很多，真是教學(xué)相長啊！

(由于意外“插曲”，本節(jié)課沒有完成預(yù)定教學(xué)任務(wù)，但是筆者覺得很值得．)

2 教學(xué)感悟

對于立體幾何的學(xué)習(xí)，筆者覺得既要學(xué)好坐標(biāo)法，也要學(xué)好綜合法．有些圖形不好建系，那只有用綜合法；有些圖形雖然好建系，但是運(yùn)算復(fù)雜，不如用綜合法來得快．因此，我們不能忽視綜合法．像本題用坐標(biāo)法就比較麻煩．對于立體幾何的學(xué)習(xí)，還要重視平面幾何知識的學(xué)習(xí)，因?yàn)榭臻g問題通常轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．有部分同學(xué)就是因?yàn)槠矫鎺缀沃R不過關(guān)而嚴(yán)重影響了立體幾何的學(xué)習(xí)．對于立體幾何的學(xué)習(xí)，要重視基礎(chǔ)，吃透教材上的定理、性質(zhì)，同時學(xué)會應(yīng)用它們解決問題．教師在教學(xué)中要注重提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．扎扎實(shí)實(shí)練好基本功，以不變應(yīng)萬變．

解題，需要研究．通過解題研究挖掘題目背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想，透過現(xiàn)象認(rèn)識本質(zhì)．解題研究既是高中數(shù)學(xué)教師必備素養(yǎng)與能力，也是教學(xué)研究的重要組成部分．解題研究的最終目的是為了學(xué)生的學(xué)，幫助學(xué)生走出題海，提高效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)．這件事給了筆者很大觸動，筆者在想，如果不是課堂上有學(xué)生“搭救”，筆者不就誤人子弟了嗎？看來，當(dāng)老師不是一件容易的事，更不是一件隨意的事，看到答案對的就誤以為對的那是不負(fù)責(zé)任的行為，很容易犯錯．要當(dāng)好老師，確實(shí)需要不斷學(xué)習(xí)、研究、思考．上海市七寶中學(xué)的文衛(wèi)星老師講得很對，“一個人在事業(yè)上能走多遠(yuǎn)，取決于他的學(xué)習(xí)能力和是否能持之以恒．筆者學(xué)習(xí)的主要渠道是閱讀書報雜志、向同行學(xué)習(xí)并爭取與之切磋交流、與學(xué)生交流反思．”筆者覺得自己應(yīng)該以文老師為榜樣，加強(qiáng)學(xué)習(xí)與研究[2].

葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程”[3].陶哲軒在《解題·成長·快樂》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話：“這，就是數(shù)學(xué)：她提醒你靈魂有不可見的形態(tài)；她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命；她喚醒悟性,澄清思維；她照亮了我們內(nèi)心的思想；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……”[4].筆者以此與各位同仁共勉！在數(shù)學(xué)中讓我們永遠(yuǎn)帶著探尋的目光審視眼前的一切，一定會有驚喜出現(xiàn)！