分析考題 追問缺失

江蘇省板浦高級中學 (郵編：222241)

數學的嚴謹性是極為重要的，嚴謹性也是人們對數學的一種普遍認識．為了便于他人的理解、便于交流、便于研究的深入，數學的嚴謹性才變得異常重要．[1]嚴謹性的功能在于解釋知識．許多學生只關注解答題的最后的結果，往往忽視中間的推理過程的規(guī)范性與嚴謹性，最后導致答題的不完整而失分．這也暴露出部分考生的數學核心素養(yǎng)沒有很好達成．邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質．[2]

1 題目

圖1

(2019年江蘇高考卷18題)如圖1，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA,規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足)，測得AB=10,AC=6,BD=12(單位：百米)．

(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d(單位：百米)，求當d最小時，P、Q兩點間的距離．

本題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象、數學建模、邏輯推理及運用數學知識分析和解決實際問題的能力．本題為實際應用問題，背景清晰明了，求解方式開放．要求考生能合理運用所學知識、思想方法，構造合適的數學模型解決問題，讓考生有較大的發(fā)揮余地，更能顯示出考生的數學應用意識．

圖2

2 解法探究

2.1 官方標答

解法一：

(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.因為BD⊥l,AC⊥l,所以四邊形ACDE為矩形．

因此道路PB的長為15百米．

(2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求．

綜上，P和Q均不能選在D處．

(3)先討論點P的位置．

當∠OBP>900時，在△PP1B中，PB>P1B=15.由上可知，d≥15.

再討論點Q的位置．

圖3

解法二：

(1)如圖3，過O作OH⊥l,垂足為H.

(2) ①若P在D處，取線段BD上一點E(-4,0),則EO=4<5,所以所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求．

②若Q在D處，連結AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),

即線段AD上存在點到O的距離小于圓的半徑．因此Q在D處也不滿足規(guī)劃要求．綜上，P和Q均不能選在D處．

(3)先討論點P的位置．

當∠OBP<900時，線段PB上存在點到點O的距離小于O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；

當∠OBP≥900時，對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于O的半徑，點P符合規(guī)劃要求．

設P1為l上一點，且P1B⊥AB,由(1)知，P1B=15,此時P1(-13,9).

當∠OBP>900時，在△PP1B中，PB>P1B=15.由上可知，d≥15.

再討論點Q的位置．

以上是江蘇省考試院給出的官方標答，主要是基于解三角形、三角函數與基于直線與圓解析法來求解．回顧標答，發(fā)現有很大篇幅是用數學語言進行說理的，如第二問中線段AD是如何與圓相交的，第三問中在開頭更是濃墨重彩地討論位置說明為什么d的最小值為15，對考生要求較高.而應用題整個建模過程對數學運算的要求其實并不高，這道應用題看完解答感覺不難，用到的知識與技能較為常規(guī)，許多考生也寫出最后結果．若是放到中考，初中生是否也可解？筆者將此題給初三剛畢業(yè)的學生求解．

2.2 初中解法

(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.因為BD⊥l,AC⊥l,所以四邊形ACDE為矩形．

(2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求．

圖4

(3)基本上同法一后半段，前半段說理d的最小值為什么是15同樣推理不到位．

初中生運用平面幾何的知識也可解決此題，特別是相似三角形、勾股定理的應用．當然，初中在不知情(高考題)的放松狀態(tài)下完成此題，但這也能在一定程度上說明此題的確可以下放到初中去解．那自然要問，高中多學了三年，高中生處理此題是不是更輕松？求解的方法手段更豐富？高考對考生檢測考查主要體現在哪？

3 追問缺失

本題總分16分，均分不到6分，說明這道應用題具有一定的“殺傷力”，我們不禁要追問缺失．通過調研考生答題情況，除了考生對應用題恐懼而放棄第二問與第三問外，很多考生自認為答案對，但卻沒得滿分，造成失分的主要原因是用數學語言來表述推理的嚴謹性欠缺，可謂是直觀直接，而推理不足．這正是高考命題者想要考查邏輯推理這個核心素養(yǎng)．本題是道應用題，符合邏輯推理素養(yǎng)水平二，要求能用準確的數學語言表述論證過程；能夠通過舉反例說明某些數學結論不成立(本題第二問)．

史寧中先生認為：“數學知識的形成依賴直觀，數學知識的確定依賴推理．”此題中很多考生關注直觀，如初中生也學習過平面幾何，利用勾股定理也能求解，與高中考生一樣會出現相對忽視基于直觀的推理，即用數學語言來表述推理的嚴謹性欠缺，造成了解題的不完整．通過高中三年的學習，學生的數學建模能力、邏輯推理能力得到了很大的提高，按理來說理應強于初中生，但不容樂觀的是和初中生一樣還會在推理嚴謹性方面不夠重視，通過反饋主要體現在以下幾個方面．

①第二問存在的問題

剖析直線AD與圓O相交，并不能說明線段AD與圓O相交，即沒有給出“線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑”嚴密推理．

事實上高中生面對這道應用題，可從多個角度切入，因為高中在初中簡單的勾股定理基礎上學了正余弦定理，學習了任意角的三角函數，學習解析幾何，知道了直線與圓的方程，學會了用代數方法解決幾何問題．有了這些，高中考生具有初中生不具備的推理途徑．

另解一找出線段AD上到O點距離的最小時的那個點．

另解二將線段AD直接表示，取點直接表示兩點間的距離.

當然也可以求解不等式

②第三問存在的問題

第三問中d的最小值為15，有些考生輕描淡寫就直接給出．

如：由(1)得，道路PB的最小值為15，所以d的最小值為15．

剖析沒有說清楚PB的最小值為什么是15，就貿然給出d的最小值為15．當然，考生自己直接看出來，這個就是正確的結果，但卻是不講理的，即便不影響后續(xù)解答．

除了標答中的兩種解法外，我們還可以從以下兩個角度推理．

4 復習建議

答題是做給別人看的，呈現給閱卷老師看的，閱卷時考生是不在場的，不用考生解釋，一切盡在答題卡上，無需口頭補充說明．答題卡上便反映出考生對此題的理解程度，考生的數學素養(yǎng)也在答題過程得到體現，閱卷老師見答題卡如見考生．如果說“問題和解是數學的心臟”，那么對數學問題求解過程進行“嚴謹性”的審視無疑是保證提升數學素養(yǎng)的重要機制.在進行思維和表達時都需要借助語言，而這些語言都必須合乎邏輯．這些語言應該步驟完整，理由充足，表述規(guī)范．“步驟完整”是指出不要“跳步”，例如，如果本來需要五步推理，就不要只說出三步．“理由充足”是指不要缺少理由，例如由第二步推到第三步需要有三個理由，就不要只說出兩個理由．“表述規(guī)范”是指表述要準確、嚴謹、完整、簡潔．[3]

在高中數學教學中，結論的最終表述僅僅涉及符號和邏輯術語，平淡乏味，但在事實上，大多數數學結論的內涵是豐富多彩的，而其中的推理過程是生機勃勃的．平時在課堂教學中，教師要關注思考的邏輯性與推理的嚴謹性，在批改學生的作業(yè)時要按邏輯段進行賦分，若邏輯段斷裂，甚至不講理式答題，教師應給予指出并及時糾正，培養(yǎng)思維嚴謹、邏輯連貫、書寫清楚．要做一名好的教師，就要“想明白、說清楚”．[4]“想明白”是要能夠準確地把握所教授知識的本質，明晰知識邏輯，洞悉數學教學的教育價值．“說清楚”是要依據數學學科教學的知識邏輯和思維邏輯，引導學生去理解問題、思考問題．數學教師最好每一節(jié)課至少要板演一個題的完整的解析過程，要學生做好，教師必須示范在前,將知識技能的掌握與數學學科核心素養(yǎng)的達成有機結合．