“端點(diǎn)效應(yīng)”破解不等式恒成立問(wèn)題

湖北省黃石市第一中學(xué) (郵編：435000)

1 試題呈現(xiàn)

(2019年新課標(biāo)全國(guó)卷I文科第20題)

已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范圍．

2 試題解析與評(píng)析

2.1 試題解析：

(1)略

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2sinx-xcosx-(a+1)x,則g′(x)=cosx+xsinx-(a+1).

因?yàn)間(0)=0,所以一定存在x0∈(0,π],使得x∈[0,x0]時(shí)，g′(x)≥0.(若不然，即對(duì)任意x0∈(0,π],當(dāng)x∈[0,x0]時(shí)，有g(shù)′(x)<0,則x∈(0,x0]時(shí)，g(x)<0,不合題意)從而有g(shù)′(0)=-a≥0,解得a≤0.

故a≤0是原不等式成立的一個(gè)必要條件．

下面證明其充分性：當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)≥0在[0,π]上恒成立．

當(dāng)a≤-2時(shí)，g′(x)≥0在[0,π]上恒成立，從而函數(shù)g(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，于是g(x)min≥g(0)=0,此時(shí)，g(x)≥0在[0,π]上恒成立，符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,0].

2.2 解法評(píng)析

上述解法是一種不同于官方給出的參考答案的方法，此解法由兩個(gè)方面構(gòu)成，一方面，通過(guò)由給定區(qū)間左端點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值建立不等式g′(0)≥0,求得a的范圍，此范圍是原不等式恒成立的必要條件；另一方面，證明在此范圍內(nèi)原不等式恒成立，即是原不等式恒成立的充分條件．由這兩個(gè)方面知，所求范圍為原不等式恒成立的充要條件，故而正確．

不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，是高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)．解決此類問(wèn)題的通法是構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)分類討論；也可以優(yōu)先采用分離參數(shù)法．然而并非所有的問(wèn)題都能奏效，例如此題就不是很好解決，但倘若能考慮區(qū)間端點(diǎn)的性質(zhì)，若區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值為零，可先找到一個(gè)不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，那么即可求得結(jié)論．

3 解法引申與探究

3.1 端點(diǎn)效應(yīng)

在適當(dāng)考慮區(qū)間端點(diǎn)的性質(zhì)，先找到一個(gè)不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，那么即可求得結(jié)論．這種必要性探路，再證充分性分方法，我們稱之為“端點(diǎn)效應(yīng)”．它實(shí)質(zhì)上是從求“不等式恒成立”的必要條件入手，求得參數(shù)的范圍，再證明其為充分條件．

3.2 解法原理

設(shè)函數(shù)f(x)中含參數(shù)m,集合A是給定數(shù)集，且?m∈A,f(x)>0恒成立的m的取值范圍為集合B．若?x0∈A,由f(x0)>0解得m∈C(此時(shí)B?C)；且當(dāng)m∈C時(shí)，f(x)>0恒成立，則B=C.

在審題中注意研究給定區(qū)間左右端點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)Ш瘮?shù)值，依據(jù)恒成立的不等式(或其變形)，建立一個(gè)必然成立的不等式，解此不等式得到參數(shù)的一個(gè)范圍(必要條件)；然后再證明該范圍(或該范圍內(nèi)的一部分)是“不等式恒成立”的充分條件．以上兩個(gè)方面，即確定了參數(shù)的取值范圍．

3.3 適用類型

①不便于參變分離；

②參變分離后的函數(shù)形式比較復(fù)雜．

3.4 解題步驟

①移項(xiàng)，將所有變量移到一邊，使不等式右側(cè)為0；

②計(jì)算端點(diǎn)處函數(shù)值，驗(yàn)證端點(diǎn)處函數(shù)值是否為0，若為0，則可繼續(xù)往下走，否則此題不適合使用端點(diǎn)分析法．

具體操作如下：

(1)必要性條件縮小范圍

①若f(x,m)≥0(m為參數(shù))在[a,b](a,b為常數(shù))上恒成立，且f(a)=0(或f(b)=0)，則f′(a)≥0(或f′(b)≥0)．此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的情況．

(2)證明充分性得結(jié)果

求f′(x)并判斷f(x)的單調(diào)性，然后表示f(x)的最小值f(x)min,使得f(x)min≥0即可．注意第二步一定要利用第一步中參數(shù)的范圍．

4 應(yīng)用舉例

4.1 區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零型

例1(2017年新課標(biāo)全國(guó)卷II文科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=(1-x2)ex,當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1,求a的取值范圍．

解析設(shè)函數(shù)g(x)=(1-x2)ex-ax-1,則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a.

因?yàn)間(0)=0,所以g′(0)=1-a≤0,即a≥1.

故a≥1是原不等式成立的一個(gè)必要條件．

下面證明其充分性：當(dāng)a≥1時(shí)，由g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a,可得g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0),所以函數(shù)g′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，此時(shí)，g′(x)≤g′(0)<0,于是函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，因此g(x)≤g(0)=0,符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞).

評(píng)注本題由給定區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值為0，得到一個(gè)關(guān)于其導(dǎo)函數(shù)的不等式g′(0)≤0,得a的范圍，成為原不等式恒成立的必要條件，然后再證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件．

例2(2016年新課標(biāo)全國(guó)卷II文科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0,求a的取值范圍.

解析由f(1)=0,要使得當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0,則必有f′(1)≥0.

故a≤2是原不等式成立的一個(gè)必要條件．

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,2].

評(píng)注本題由給定區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值為0，得到一個(gè)關(guān)于其導(dǎo)函數(shù)的不等式f′(1)≥0,求得a的范圍，成為原不等式恒成立的必要條件，然后再證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件．

4.2 區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為零型

例4(2018年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三期中聯(lián)考第21題改編)已知函數(shù)f(x)=2x-ln(2x+1),g(x)=ex-x-1,當(dāng)x>0時(shí)，kf(x)≤g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍．

5 問(wèn)題總結(jié)

由上可見(jiàn)，對(duì)含參不等式恒成立問(wèn)題，端點(diǎn)效應(yīng)法是一個(gè)不錯(cuò)的方法，現(xiàn)總結(jié)如下：

對(duì)于不等式f(x,m)≥0(m為參數(shù))在[a,b](a、b為常數(shù))上恒成立，求m的取值范圍的問(wèn)題，可按如下處理 (其中m為參數(shù)，a、b為常數(shù))：

(1)若f(a,m)=0,則由f′(a,m)≥0 (一階導(dǎo)含參數(shù))得到必要條件，再證明必要條件是充分條件；

(2)若f(b,m)=0,則由f′(b,m)≤0 (一階導(dǎo)含參數(shù))得到必要條件，再證明必要條件是充分條件；

(3)若端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值也為0，則可求二階導(dǎo)數(shù)，代人端點(diǎn)值，繼續(xù)按(1)或(2)執(zhí)行，得到必要條件，再證明必要條件是充分條件．

“端點(diǎn)效應(yīng)”是一種必要性探路，再證充分性的方法，雖然它求出的參數(shù)并不一定就是所求的實(shí)際范圍，但是可以限定問(wèn)題成立的大前提，縮小參數(shù)的討論范圍，在一定程度可以減少分類討論的類別，降低了思維的成本．