對一道數(shù)列逆問題的探究教學

江蘇省南京市金陵中學 (郵編：210000)

在考試和升學壓力巨大的今天，授學生以魚的教師以講授式教學為主，通過大量的習題講解，教學生模仿、套用，學生的學習效果立竿見影．而授學生以“漁”的教師更重視培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，更關(guān)注學生的長遠發(fā)展．筆者經(jīng)常會借助一些典型的問題情境，開展探究課堂，激發(fā)學生好奇心，引導(dǎo)學生自主發(fā)現(xiàn)，深入思考，積極探究，學生能達到的高度也常常令人驚嘆，現(xiàn)舉一例如下．

1 案例背景

在數(shù)列章節(jié)新授課后期的綜合習題課上，老師(以下均指作者本人)提到了如下問題．

引例已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(3n-2)2n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

這個問題本身并不算復(fù)雜，屬于典型的裂項求和問題．

展示完學生的解題過程后，老師向?qū)W生提出了一個逆問題：由本題的結(jié)果，我們能夠看到數(shù)列的項與和蘊含著關(guān)系Sn+1=4an+10，如果以此關(guān)系式和首項a1=2為條件，同學們能逆向求出通項an和前n項和Sn的表達式嗎?

老師原本拋出這一逆問題是作為有難度的課后思考題，但課后卻有很多學生找到老師，有的就解題過程中一些卡殼的步驟向老師請求提示與幫助，也有的就思考過程中的疑點向老師詢問，還有的就自己思考和解題過程中的一些發(fā)現(xiàn)請老師指點與評價．所以老師意識到這個小清新(題干短小、題意清晰、題型新穎)且處于學生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的思考題，讓學生產(chǎn)生了廣泛且濃厚的興趣，這是一個非常好的探究機會，于是在下一周(為了給予學生一定的思考時間)的連續(xù)兩節(jié)數(shù)學課上開展了一次探究課．

2 案例過程

上課開始后老師先是重述了問題的來源與背景(略)，然后提出如下逆問題．

例1 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=4an+10(n∈N*)，且a1=2．求an和Sn的表達式．

老師先是詢問學生，經(jīng)過兩天的思考和討論，大家有哪些切入點和轉(zhuǎn)化方向．

生2(方向二)：方向一中消去了前n項和這一類變量，自然會想到，也可以消去數(shù)列的項這一類變量，轉(zhuǎn)化為Sn+1=4an+10=4(Sn-Sn-1)+10，即Sn+1=4Sn-4Sn-1+10(n∈N*，n≥2)．

師：以上兩種方向都非常典型，也屬正途，體現(xiàn)了以減少變量為目的將問題進行轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，那如何進一步解決問題呢?我們來嘗試分別沿這兩種轉(zhuǎn)化方向來解決問題，大家不妨先思考方向一．在前面的課程中，我們曾涉及過由連續(xù)三項遞推式求通項的問題，這里能否類比處理和轉(zhuǎn)化呢?

生3：在方向一中，我們得到了連續(xù)三項遞推式an+2=4an+1-4an，因為前面的課程曾對這樣的遞推式有所鋪墊，所以容易想到合適的處理方法，即構(gòu)造得an+2-2an+1=2(an+1-2an)(n∈N*)，說明數(shù)列{an+1-2an}成等比數(shù)列．

師：僅得到等倍型遞推式就能冒然將數(shù)列視作等比數(shù)列嗎?

生3(瞬間醒悟并補充)：還需要將等倍型遞推式轉(zhuǎn)化為等比型結(jié)構(gòu)，即還需要有首項不為0，才能說明其為等比數(shù)列．由a1+a2=S2=4a1+10，得a2=16，所以a2-2a1=12≠0，于是數(shù)列{an+1-2an}是以12為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此容易進一步求得an+1-2an=6×2n=3×2n+1．

師：生3反應(yīng)很快，對首項的要求這一細節(jié)不能忽視，等倍型遞推式還要滿足首項不為0，才能構(gòu)成等比數(shù)列．生3通過構(gòu)造等倍型遞推式求得an+1-2an=3×2n+1，將原有的三項遞推式簡化為兩項遞推式，但又多引入了一項指數(shù)項，沿此方向解題還能繼續(xù)嗎，如何解決呢?

(學生陷入沉思，但臉上的表情反映出內(nèi)心的迷茫，看來還需要一些點撥)

師：若要繼續(xù)，有一定難度，當我們遇到困難時，憑空跨越是不現(xiàn)實的，應(yīng)該努力思考，看是否曾經(jīng)見過形式類似的問題?如果與某一熟知的問題類似，我們?nèi)绾卫靡郧暗姆椒▉斫鉀Q眼前的問題?兩個問題之間有區(qū)別嗎，區(qū)別又應(yīng)如何跨越和處理呢?

(學生有所領(lǐng)悟，有的立即搜索前面的筆記，有的展開討論，有的靈機一動并開始動筆嘗試)

生4：我首先想到一個簡單且熟知的類比模型，如果條件只是an+1-2an=3，則容易構(gòu)造得等倍型遞推式an+1+3=2(an+3)，所以這里也想同理構(gòu)造，不知為何竟沒能成功．

當n≥2時，Sn=4an-1+10=(3n-5)2n+1+10，而S1=a1=2也符合上式，所以Sn=(3n-5)2n+1+10(n∈N*)，到此原問題得以解決．

師：該學生非常優(yōu)秀，通過類比于簡單模型，將方法遷移到這一復(fù)雜問題上，經(jīng)過適當調(diào)整和處理，成功解決了問題，值得表揚(眾生鼓掌)!這一解題的過程與方法確實漂亮又驚艷，但是否還有一些疑惑或遺憾呢?比如生4先想到構(gòu)造等倍型遞推式，為何沒能成功，究竟是什么原因呢?在遞推式兩邊同時除以2n+1后使問題得以簡化并解決，其可行的關(guān)鍵因素是什么?能推廣到其它變式或者一般情形嗎?

(學生在短暫的興奮之后又意識到了新的問題與危機，繼而又陷入沉思)

生4：直接構(gòu)造等倍型遞推式?jīng)]能成功，是因為在我構(gòu)造等倍型遞推式an+1+p·2n+1=2(an+p·2n)后，當我嘗試用待定系數(shù)法求解系數(shù)p時，發(fā)現(xiàn)等式兩邊含有p的項是恒等的，沒法解出p的值．

師(急忙追問)：那是不是這樣一類問題都無法直接構(gòu)造成等倍型遞推式呢?

生5(急忙接話，躍躍欲試)：也不是啊，如果遞推式的左邊an的系數(shù)(下文簡記為“系數(shù)”)和右邊指數(shù)項的底數(shù)(下文簡記為“底數(shù)”)不等，就可以構(gòu)造成等倍型遞推式．比如若將遞推式變化為an+1-4an=3×2n+1，就可以構(gòu)造得等倍型遞推式an+1+3×2n+1=4(an+3×2n)．

師：很好，這一發(fā)現(xiàn)竟如此神奇，能否直接構(gòu)造成等倍型遞推式，竟與系數(shù)和底數(shù)是否相等有關(guān)．生4的解法中在遞推式兩邊同時除以2n+1可行的關(guān)鍵因素是什么，對于生5提出的變式an+1-4an=3×2n+1還能同樣操作嗎?

師：既然可行的關(guān)鍵在于系數(shù)和底數(shù)相等，都為2，兩邊同時除以2n+1后才使問題得以簡化并解決，那如果系數(shù)和底數(shù)不相等，我們應(yīng)該除以系數(shù)的n+1次方，還是底數(shù)的n+1次方呢?比如對于變式an+1-4an=3×2n+1，我們應(yīng)該對兩邊同時除以2n+1，還是4n+1呢?

師：非常好，大家不僅解決了原問題，還對模型進行了變化與探索，對方法進行了研磨和推廣，大家能否將以上探索挖掘得到的模型變式和對應(yīng)方法提煉成一般形式?

全體學生積極思考，深入探究，不斷調(diào)整，逐漸優(yōu)化.老師整合一下，得到了如下總結(jié)：

一般而言可有兩種轉(zhuǎn)化：一是對遞推式平移后兩式作差消去數(shù)列和這一類變量，轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列的項的遞推式；二是將an=Sn-Sn-1(n∈N*，n≥2)代入遞推式轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列和的遞推式．對于大多數(shù)情況而言，這兩種轉(zhuǎn)化均可行，但是繁簡程度可能不同，優(yōu)先選擇哪一種轉(zhuǎn)化，主要看求解的目標什么．當然也有例外，例如有的題目要求an，但需要先求出Sn，這種類型往往也不是不能直接求，而是直接求解可能比較困難．

對于三項遞推式an+1=λan+μan-1+ν(λ≠0，ν≠0)，可構(gòu)造得等倍型遞推式an+1+xan+y=q(an+xan-1+y)，用待定系數(shù)法可求得x，y．

例如由三項遞推式an+2=4an+1-4an+10，可構(gòu)造得等倍型遞推式an+2-2an+1+10=2(an+1-2an+10)．

(3)對于含有指數(shù)項的兩項遞推式an+1=λan+μ·νn(λ≠0，μ≠0，ν≠0，1)，可有三種處理方法：

③當λ≠ν時，還可以構(gòu)造得等倍型遞推式an+1+x·νn+1=λ(an+x·νn)，用待定系數(shù)法可求得x．

如對于遞推式an+1=2an+3×2n+1，無法構(gòu)造成等倍型遞推式an+1+p·2n+1=2(an+p·2n)；而對于an+1-4an=3×2n+1，則可以構(gòu)造得等倍型遞推式an+1+3×2n+1=4(an+3×2n)．

師：同學們太厲害了，總結(jié)有寬度，提煉有高度．現(xiàn)在站在如此高度回頭俯視方向二，應(yīng)該看得更加透徹，請嘗試獨立完成方向二的解題過程．

生9：方向二中得到的遞推式Sn+1=4Sn-4Sn-1+10(n∈N*，n≥2)只是比方向一中的三項遞推式多了一項常數(shù)項，可類比構(gòu)造得等倍型遞推式Sn+1-2Sn+10=2(Sn-2Sn-1+10)．

因為S1=a1=2，S2=4a1+10=18，所以S2-2S1+10=24≠0，因此數(shù)列{Sn+1-2Sn+10}是以24為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是可求得Sn+1-2Sn+10=24×2n-1．

將Sn+1=(3n-2)2n+2+10代入Sn+1=4an+10，可得an=(3n-2)2n．

師：到此兩種方向均得以順利解決，足見大家在動筆答題前對轉(zhuǎn)化方向的預(yù)判比較準確，有著較好的思考能力．本題之所以難，除了因為涉及到的遞推式類型眾多且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，還有一個原因是跨度太大，缺少臺階與鋪墊，如果將這一問題改編成一個適合于更多高中學生的試題，我們可以如何設(shè)問呢?請大家嘗試當一次命題人．

生：題1 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+1=4an+10(n∈N*)，a1=2．

(1)設(shè)bn=an+1-2an，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列并求其通項；

(3)求an，Sn的表達式．

生：題2 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+1=4an+10(n∈N*)，a1=2．

(1)設(shè)bn=Sn+1-2Sn+10，證明：{bn}為等比數(shù)列，并求其通項；

(3)求數(shù)列{an}的通項公式．

師：非常好，大家不僅會解題，還會做探究，甚至還能命題，攀升的高度令人贊嘆!從原先根本不會主動去想這樣一個逆問題，到對逆問題的迷茫、好奇與渴望，再到探究過程中的嘗試、卡殼、沉思、調(diào)整與突破，再到對模型與方法的總結(jié)和提煉，最后到嘗試命題，這些過程和成就是依靠大家敢于嘗試、努力思考、積極探究、深入挖掘得來的，大家應(yīng)該記住今天的過程和成就，記住這一份發(fā)現(xiàn)的喜悅，在以后的學習中，多思考探究，力求做一個捕魚者，而非買魚人．

3 總結(jié)與反思

在整個討論、探究的過程中，學生始終保持高度專注且積極配合，探究興趣濃厚，熱情高漲，臉上洋溢著對知識和探究的渴望，還有獲得的喜悅與自豪．

教師如果直接將解題過程展示給學生，在學生看來這個解答是可行且正確的，但學生沒有體會到是如何得到這樣的解答的，也沒有學到怎樣才能想到這樣的解答．解題時我們不僅要去理解題目的解答，而且更要去理解這個解答的動機和步驟，甚至要嘗試去主動探索這些動機和步驟．

波利亞在《怎樣解題》一書中指出[1]：“如果一位數(shù)學教師把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規(guī)運算，那么他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發(fā)展，從而錯失他的良機．相反地，如果他用和學生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養(yǎng)學生對獨立思考的興趣，并教給他們某些方法．”

教師要有意識地引導(dǎo)學生進行數(shù)學探究，在引導(dǎo)與協(xié)助的過程中，需要教師能把握坡度，精準設(shè)問，巧妙引導(dǎo)，不露刻意，不留痕跡，將復(fù)雜問題拆解為若干個小問題，將引導(dǎo)融入激發(fā)好奇心的問題當中，推動學生深入思考，自主發(fā)現(xiàn)．最后，需要教師協(xié)助學生進行歸納總結(jié)與評價反思．

解題只是學習的一種載體，是鞏固和檢驗學習效果的一種方式，題目本身可能很平常，但是如果它能激起學生的好奇心，并使學生發(fā)揮創(chuàng)造力，而且如果學生用自己的思考方式和方法解決了問題，那么學生就能獲得一些進步和成長，而且享受發(fā)現(xiàn)的喜悅反過來會更加激發(fā)學生學習、探究和思考的熱情與興趣．在一個易受紛雜世事影響的學齡階段，這樣的經(jīng)歷可能會培養(yǎng)出學生對智力思考的愛好和習慣，并對思想和性格留下深刻的影響，終身受益．