智慧學(xué)校環(huán)境下對(duì)一道課本例題的變式教學(xué)

安徽省肥西縣上派初級(jí)中學(xué) (郵編：231200)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 阮 征 (郵編：230601)

合肥市衛(wèi)德彬初中數(shù)學(xué)名師工作室 陳方勇 左其華 (郵編：231200)

1 問(wèn)題的提出

初中數(shù)學(xué)課本中的每道例題都是編寫(xiě)者經(jīng)過(guò)精心的思考和揣摩的，所以課本例題的解法對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)、學(xué)會(huì)應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)上起著至關(guān)重要的作用，而承載著它的習(xí)題課教學(xué)則更應(yīng)受到教師的高度重視，需要教師對(duì)習(xí)題課進(jìn)行拓展和延伸，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生更全面“四基”，讓學(xué)生能夠舉一反三[1].那么，對(duì)數(shù)學(xué)課本中的例題進(jìn)行變式就是初中數(shù)學(xué)習(xí)題課必不可少的環(huán)節(jié)，而傳統(tǒng)的習(xí)題教學(xué)模式對(duì)初中生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的養(yǎng)成是明顯不夠的，那么究竟該如何改進(jìn)初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)呢[2]？近年來(lái)，隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的發(fā)展以及大數(shù)據(jù)、云計(jì)算等技術(shù)的出現(xiàn)，教育信息化已被推向一個(gè)新的發(fā)展階段，并且信息技術(shù)促進(jìn)教育革新的實(shí)踐也逐漸滲透到了初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過(guò)程中，智慧學(xué)校作為研究課堂教學(xué)的一種新視角應(yīng)運(yùn)而生，得到了廣泛的應(yīng)用，它不僅引領(lǐng)了信息時(shí)代下學(xué)校教學(xué)發(fā)展的國(guó)際潮流與趨勢(shì)，更成為了未來(lái)學(xué)校變革的重要走向，將其同初中數(shù)學(xué)習(xí)題課的變式教學(xué)有效融合也必能碰撞出不一樣的“火花”[3].那么何為智慧學(xué)校？何為變式教學(xué)？下面將對(duì)概念一一進(jìn)行界定，并展示智慧學(xué)校環(huán)境下對(duì)一道課本例題的具體變式設(shè)計(jì).

2 概念的界定

2.1 智慧學(xué)校

所謂智慧學(xué)校是指綜合運(yùn)用新興信息技術(shù)與學(xué)校的教學(xué)環(huán)節(jié)深度融合，以提高教育教學(xué)質(zhì)量和教育管理決策水平的新型校園生態(tài).在課堂上表現(xiàn)為：教師和學(xué)生每人手中一個(gè)平板，教師利用智慧學(xué)校平臺(tái)存儲(chǔ)的資源，有目的地向?qū)W生端推送學(xué)習(xí)資料或練習(xí)素材，師生通過(guò)閱讀、批改、修正完成教學(xué)內(nèi)容[4].

2.2 變式教學(xué)

所謂變式教學(xué)是指為了加深學(xué)生對(duì)于課本中的基本概念、基本定理的理解，教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)問(wèn)題的條件或結(jié)論進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，保留問(wèn)題的本質(zhì)因素、變換問(wèn)題中非本質(zhì)條件，從而引發(fā)學(xué)生的靈活思考、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和素養(yǎng)的教學(xué)方法[5].

3 課本例題的變式設(shè)計(jì)

圖1

滬科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)上冊(cè)第56頁(yè)的第二章“整式加減”第1課時(shí)的例題2安排為日歷問(wèn)題，即用方框在日歷中框出數(shù)字，然后探討所框出的數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系，以幫助學(xué)生嘗試用字母表示數(shù)、體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，并掌握如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示數(shù)量關(guān)系[6].同時(shí)，日歷問(wèn)題不光在“用字母表示數(shù)”的習(xí)題課上有著廣泛的應(yīng)用，也為后面學(xué)習(xí)“一元一次方程的應(yīng)用”的習(xí)題課提供了完美的變式素材.下面就以這道課本例題為例，借助智慧學(xué)校平臺(tái)的輔助對(duì)日歷中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，以期達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維、滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的效果.

課前熱身大家知道8月份有哪些節(jié)日嗎？

智慧學(xué)校平臺(tái)展示出一張2019年8月的日歷(如圖1所示)，并讓學(xué)生回答他們所知道8月里的節(jié)日有哪些，學(xué)生回答出：8月1日——建軍節(jié)、8月3日——中國(guó)男人節(jié)、8月7日——立秋節(jié)、8月8日——中國(guó)爸爸節(jié)、8月12日——國(guó)際青年日、8月16日——七夕情人節(jié)、8月23日——處暑節(jié)、8月24日——中元節(jié)……此環(huán)節(jié)激發(fā)了學(xué)生探究的欲望，為本節(jié)習(xí)題課的變式探究做好了鋪墊.接下來(lái)，教師告訴學(xué)生除了這些，日歷中還有很多秘密，而且可以采用我們剛剛學(xué)過(guò)的一元一次方程來(lái)破解這些秘密，那么本節(jié)課就讓我們一起來(lái)探索這些隱藏在日歷中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，此時(shí)智慧學(xué)校平臺(tái)展示標(biāo)題“一元一次方程的應(yīng)用——探索日歷中的奧秘”.

原題請(qǐng)用一個(gè)等式表示在日歷中用長(zhǎng)方形框出的三個(gè)數(shù)a、b、c之間的關(guān)系.

變式1 在日歷中圈出一個(gè)豎列上相鄰的三個(gè)日期，它們的和是60,那么這三天分別是幾號(hào)？

圖2

圖3

思路變式1其實(shí)是將課本例題由整式過(guò)渡到方程，通過(guò)智慧學(xué)校平臺(tái)分析題干條件以及在日歷中豎列圈數(shù)字的動(dòng)態(tài)演示(如圖2所示)，學(xué)生很容易聯(lián)想到日歷的規(guī)律是7天一個(gè)循環(huán)，即日歷豎列上相鄰的兩個(gè)數(shù)之間具有相差7的規(guī)律.此時(shí)學(xué)生會(huì)立馬想到應(yīng)用一元一次方程來(lái)建立等量關(guān)系，那么如何設(shè)未知數(shù)是首先要考慮的問(wèn)題.學(xué)生經(jīng)歷小組討論后總結(jié)出了三種設(shè)法，分別是設(shè)圈出的豎列上面的數(shù)、中間的數(shù)、下面的數(shù)為x,而智慧學(xué)校平臺(tái)展示了日歷在這三種情況下圈出的三個(gè)數(shù)的具體表示形式(如圖3所示)，學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)設(shè)日歷中間的數(shù)為x的解法最為簡(jiǎn)便，從而列出對(duì)應(yīng)的一元一次方程進(jìn)行求解.

解析設(shè)日歷里豎列圈出的中間的數(shù)為x,則上面的數(shù)為x-7,下面的數(shù)為x+7.

由題意得 (x-7)+x+(x+7)=60，

3x=60，x=20.

則上面的數(shù)為20-7=13,下面的數(shù)為20+7=27.

答案這三天分別是13號(hào)、20號(hào)和27號(hào).

變式2 將上述問(wèn)題改為圈出一個(gè)橫行上相鄰的三個(gè)日期，它們的和是60,那么這三天分別是幾號(hào)？

圖4

圖5

思路變式2將變式1中的豎列圈三個(gè)相鄰的日期變式為橫行圈三個(gè)相鄰的日期，屬于問(wèn)題不變、條件一般化的變式形式.智慧學(xué)校平臺(tái)同樣動(dòng)態(tài)演示了在日歷中橫行圈數(shù)字的動(dòng)態(tài)演示情況(如圖4所示)，不難發(fā)現(xiàn)在日歷中橫行圈出的相鄰數(shù)字與豎列圈出的相鄰數(shù)字的區(qū)別在于它們?cè)跀?shù)量上相差的規(guī)律不同，日歷橫行上相鄰的兩個(gè)數(shù)之間只相差1,但同樣可以運(yùn)用一元一次方程來(lái)建立等量關(guān)系來(lái)解答變式2，此時(shí)智慧學(xué)校平臺(tái)展示了設(shè)日歷中橫向圈出的左邊的數(shù)、中間的數(shù)、右邊的數(shù)分別為x的情況下的具體表示形式(如圖5所示)，從而列出對(duì)應(yīng)的一元一次方程進(jìn)行求解.

解析設(shè)日歷里橫行圈出的中間的數(shù)為x,則左邊的數(shù)為x-1,右邊的數(shù)為x+1.

由題意得 (x-1)+x+(x+1)=60，

3x=60，x=20.

則左邊的數(shù)為20-1=19,右邊的數(shù)為20+1=21.

答案中間的數(shù)為這三天分別是19號(hào)、20號(hào)和21號(hào).

變式3 在日歷中用一個(gè)2×2的正方形圈出四個(gè)日期，使它們的和為80,求這四天分別是幾號(hào).

思路變式3將原題要求的圈出相鄰的三個(gè)數(shù)字改為圈出正方形中的四個(gè)數(shù)字，教師借助智慧學(xué)校平臺(tái)對(duì)變式1和變式2中反映出日歷上數(shù)字的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，得出日歷橫行上的數(shù)字規(guī)律是從左到右依次增加1,而日歷豎列上的數(shù)字規(guī)律則是從上到下依次增加7.有了解決變式1和變式2的基礎(chǔ)，學(xué)生容易聯(lián)想到日歷中任何一處正方形位置的四個(gè)數(shù)字必然符合這兩條規(guī)律，而此時(shí)設(shè)正方形左上面的數(shù)字為x最為簡(jiǎn)便，那么右上方的數(shù)字則課表示為x+1；左下方的數(shù)字恰好左上面數(shù)字在豎列上的相鄰數(shù)字，故表示為x+7；右下方的數(shù)字為左下方數(shù)字在橫行上的相鄰數(shù)字，即在x+7的基礎(chǔ)上增加1,表示為x+8,最后結(jié)合這四個(gè)數(shù)的總和為80建立的一元一次方程即可求出答案.

解析設(shè)日歷里圈出正方形左上方的數(shù)為x,則右上方的數(shù)為x+1,左下方的數(shù)為x+7,右下方的數(shù)為x+8.

由題意得x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=80，4x+16=80，4x=64，x=16.

則右上方的數(shù)為16+1=17,左下方的數(shù)為16+7=23,右下方的數(shù)為16+8=24.

答案這四天分別是16號(hào)、17號(hào)、23號(hào)和24號(hào).

變式4 在日歷中用一個(gè)3×3的正方形圈出九個(gè)日期，使它們的和為108,求這九天分別是幾號(hào).

圖6

思路變式4是在變式3的基礎(chǔ)上將圈出的正方形由四個(gè)數(shù)字?jǐn)U大到九個(gè)數(shù)字，學(xué)生在掌握了日歷中橫向和豎向數(shù)字的規(guī)律后，在腦海中便形成了日歷模型，而此時(shí)智慧學(xué)校平臺(tái)恰到好處地展示出當(dāng)這個(gè)“九宮格”正方形“心臟”部位的數(shù)字為x時(shí)，另外八個(gè)位置數(shù)字的表示形式(如圖6所示)，由小到大分別為x-8、x-7、x-6、x-1、x+1、x+6、x+7、x+8,由這九個(gè)數(shù)的總和為108即可列出方程.

解析設(shè)日歷里圈出正方形正中間的數(shù)為x,則其他八個(gè)數(shù)由小到大分別為x-8、x-7、x-6、x-1、x+1、x+6、x+7、x+8.

由題意得

(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=108，

9x=108，x=12.

則其他八個(gè)數(shù)由小到大分別為12-8=4、12-7=5、12-6=6、12-1=11、12+1=13、12+6=18、12+7=19、12+8=20.

答案這九天分別是4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)、11號(hào)、12號(hào)、13號(hào)、18號(hào)、19號(hào)和20號(hào).

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述對(duì)一道課本例題引發(fā)出的四道變式題教學(xué)的設(shè)計(jì)賞析，不難發(fā)現(xiàn)智慧學(xué)校環(huán)境在初中數(shù)學(xué)習(xí)題課有著不可代替的作用.它不但活躍了學(xué)生的思維，還能將解題技巧在例題的變式教學(xué)中反復(fù)滲透，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)升華的效果.由于日歷本身就是采用數(shù)學(xué)方法編寫(xiě)的，所以它包含了很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中還滲透著濃厚的數(shù)學(xué)文化氛圍，是初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的優(yōu)質(zhì)素材.在本節(jié)課本例題的變式教學(xué)中，教師很好地利用了教學(xué)智慧學(xué)校平臺(tái)的工具幫助學(xué)生建立知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，取得了事半功倍的效果.所以，在初中數(shù)學(xué)的變式教學(xué)中，教師可以借助智慧學(xué)校平臺(tái)環(huán)境的輔助，以學(xué)生原本的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)、以課本中的經(jīng)典例題為導(dǎo)向，讓變式出的問(wèn)題處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，不僅使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透其中、還使課堂探究“化冰冷為火熱”、更使學(xué)生的思路“化靜為動(dòng)”.