挖掘集合單元育人價值 培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

上海市靜安區(qū)教育學(xué)院 (郵編：200070)

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn). 我們認(rèn)為，只有當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)與數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)結(jié)合在一起時，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)才能真正落到實處，也只有當(dāng)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)體現(xiàn)其獨特的育人價值時，數(shù)學(xué)教學(xué)才是有力的. 下面以集合單元為例，談?wù)劶蠁卧挠藘r值與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1 集合單元的育人價值

集合單元的育人價值可以從其學(xué)科價值和教育價值兩個方面進(jìn)行挖掘．集合單元的學(xué)科價值反映了其對數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)生、發(fā)展的重要性，以及在數(shù)學(xué)學(xué)科理論系統(tǒng)中的功能性的認(rèn)識；集合單元的教育價值則是其對促進(jìn)學(xué)生哪些方面發(fā)展的作用的認(rèn)識，如是否有助于學(xué)生積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，是否能幫助學(xué)生更好地學(xué)會數(shù)學(xué)式的思維與表達(dá)等等．

1.1 集合單元的學(xué)科價值

首先，集合論思想是一種全域性數(shù)學(xué)思想．集合論思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要而基本的思想，它的概念和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個分支以及其他一些自然科學(xué)，為這些學(xué)科的發(fā)展提供了奠基性的方法，近代數(shù)學(xué)就建立在集合論的基礎(chǔ)之上. 正如希爾伯特所說，“沒有人能把我們從Cantor為我們創(chuàng)造的樂園中開除出去”.

集合論的主要思想表現(xiàn)在：初等集合論思想、實無窮與超窮思想、集合對應(yīng)思想[1]. 其中，在初等集合論思想指導(dǎo)下，我們可以把一類研究對象作為一個整體進(jìn)行研究，依據(jù)概括原則可以構(gòu)造一個集合，依據(jù)外延原則保證集合的確定性；集合對應(yīng)思想反映了兩個集合的元素間的關(guān)系. 這些思想蘊含在集合單元的有關(guān)知識內(nèi)容之中，如集合的運算中蘊含著運用求交集方法解決問題的思想，波利亞將其提煉為解決問題的“交軌模式”.

其次，集合的語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言．集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言的重要組成部分. 數(shù)學(xué)語言和自然語言的重要區(qū)別在于數(shù)學(xué)語言更加精確，不容易產(chǎn)生歧義. 在基礎(chǔ)教育階段學(xué)習(xí)使用集合的語言，可以準(zhǔn)確、簡潔地表示所要研究的對象，更好地描述所研究的對象之間的關(guān)系．

例如，我們可以把每種幾何圖形看成是一個點集，然后研究它所包含的點在位置及數(shù)量關(guān)系方面的共同特征，這樣往往能夠得到比直觀更為深刻的結(jié)論. 線段AB的垂直平分線可以簡潔地表示成點集{P|PA=PB},它揭示了線段垂直平分線的本質(zhì)所在. 又如，我們可以利用集合語言刻畫四邊形及其特例的關(guān)系：{四邊形}?{平行四邊形}?{矩形}?{正方形}. 再如，我們應(yīng)用集合與對應(yīng)的語言可以進(jìn)一步描述函數(shù)概念，從而突出函數(shù)是兩個數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征，等等.

1.2 集合單元的教育價值

集合單元的教育價值首先表現(xiàn)在：用集合語言簡潔、準(zhǔn)確和深刻地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的過程中，可以很好地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng). 數(shù)學(xué)抽象主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征. 集合語言的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象過程的主要特征：集合的含義是在學(xué)生學(xué)習(xí)積累了大量集合例證的基礎(chǔ)上概括出來的，在獲得集合含義后就有必要用數(shù)學(xué)語言表征這個數(shù)學(xué)研究對象，進(jìn)而研究集合之間的關(guān)系，最后研究集合的應(yīng)用.

集合單元的教育價值還體現(xiàn)在可以展示學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的一種路徑或方式：通過觀察抽象歸納辨析等獲得集合(數(shù)學(xué)研究對象)——研究集合的表示——類比實數(shù)間的關(guān)系研究集合間的關(guān)系——類比實數(shù)的運算研究集合的運算——集合的應(yīng)用. 通過這一數(shù)學(xué)的方式[2]，幫助學(xué)生使用集合的語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)研究對象，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流，體會用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)點，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2 集合單元數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

現(xiàn)行各種高中數(shù)學(xué)教科書都有集合初步單元，它們都呈現(xiàn)了“集合的含義——集合的表示——集合間的關(guān)系——集合的運算”等知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)較好地反映了課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于集合單元的內(nèi)容要求，為實現(xiàn)集合單元的育人價值提供了載體.在集合單元的教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要依托以下三個過程.

2.1 依托集合的概念理解與表示過程

集合的概念是通過概括實例形成的. 我們可以借助實例，分析這些實例中各自的研究對象，如果發(fā)現(xiàn)研究對象都滿足一定要求或具有一定特征，則把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素組成的總體就形成一個集合.

上述過程是理解集合的含義不可或缺的過程. 其中實例要豐富和典型，它是理解集合含義的素材. 這些實例既要包括學(xué)生在小學(xué)和初中接觸過的一些數(shù)學(xué)的例子，如自然數(shù)、有理數(shù)的集合，不等式x-2<3的解的集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合；又要包括現(xiàn)實生活中的例子，如我們學(xué)校2019年9月入學(xué)的所有高一學(xué)生；還要包括科學(xué)情景的例子，如我國從1970～2018年49年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星，等等. 豐富而典型的實例，既可以幫助學(xué)生打開視野，又可以幫助學(xué)生辨析、理解概念含義，領(lǐng)會其中的概括原則.

理解集合的含義，需要感悟集合中蘊含的外延原則，即給定一個集合，任何一個元素在不在這個集合中就確定了；一個給定集合的元素是互不相同的，集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)；這樣，只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等.

理解集合的含義，還需要經(jīng)歷一個用自然語言到用符號語言、圖形語言描述集合的過程. 例如，可以設(shè)計這樣的活動：結(jié)合幾個具體的例子，試比較用自然語言、列舉法、描述法和區(qū)間表示集合時，各自的特點和適用的對象. 在自然語言描述集合、列舉法表示集合、描述法表示集合、區(qū)間表示集合和文氏圖表示集合的轉(zhuǎn)換中，感受各種語言和方法表示集合的優(yōu)點及適用對象，體會用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)研究對象的簡明和深刻性：一般地，集合A的元素用x表示，所有x的共同的特征性質(zhì)用P(x)表示，則集合A就能表示成{x|P(x)}. 集合A表示成{x|P(x)}意味著，凡具有性質(zhì)P(x)的對象x都是A的元素，凡是A的元素都具有性質(zhì)P(x).

2.2 依托集合的關(guān)系建立與運算求解

集合之間的關(guān)系和運算對學(xué)生來講是全新的，但我們可以借助學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗引發(fā)思考. 如，實數(shù)有相等關(guān)系，大小關(guān)系，你能由實數(shù)之間的大小關(guān)系，類比想到集合之間的何種關(guān)系？你又是如何類比兩個數(shù)的運算，想到兩個集合之間的有什么運算？設(shè)計這樣的數(shù)學(xué)思考與探究活動，結(jié)合具體的問題情境，在類比、概括等數(shù)學(xué)活動中，建立集合的關(guān)系和基本運算，就能有效地積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.

例如，集合間包含關(guān)系的建立. 在問題“如何類比兩個數(shù)的關(guān)系思考兩個集合之間的關(guān)系”的引導(dǎo)下，觀察如下具體的集合實例：

(1)A={1，2，3},B={1，2，3，4，5}；

(2)設(shè)A是我們學(xué)校高一(1)班的全體學(xué)生組成的集合，B是我們學(xué)校全體學(xué)生組成的集合；

(3)C={x|x是兩條邊相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}.

通過觀察上述分別用列舉法、自然語言和描述法表示的三組集合，發(fā)現(xiàn)每組集合中，第一個集合中的每個元素都屬于第二個集合，把兩個集合之間的這種關(guān)系概括出來就形成子集的概念；進(jìn)一步，可以發(fā)現(xiàn)(3)中集合D中的每個元素也都屬于集合C，這樣集合相等的概念自然而生(與實數(shù)中的結(jié)論“若a≥b且a≤b則a=b”類比)；再進(jìn)一步，還可以發(fā)現(xiàn)(1)(2)還同時存在B中至少有一個元素不屬于A，這樣，真子集的概念應(yīng)運而生.

如此，在類比思想的指導(dǎo)下，通過觀察、分析一個集合中的元素與另一個集合的從屬關(guān)系，進(jìn)而概括出兩個集合之間的基本關(guān)系，并用文字和符號語言加以定義、用圖形語言加以表示. 學(xué)生的抽象概括能力就是在這樣具體的概念建立、表征過程中逐步形成的.

2.3 依托集合的語言表達(dá)與運用

使用集合的語言，可以準(zhǔn)確、簡潔地表示所要研究的對象，這源自集合蘊含的概括原則和確定原則；依據(jù)集合的表示、基本關(guān)系和基本運算，我們可以更好地描述所研究的對象之間的關(guān)系，解決問題.

首先，使用集合語言，引導(dǎo)學(xué)生梳理、表達(dá)學(xué)過的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 例如，我們可用集合語言表示平面幾何對象或位置關(guān)系. 用P表示平面內(nèi)的動點，則以O(shè)為圓心，半徑為5的圓表示為集合{P|PO=5}；設(shè)平面內(nèi)有△ABC,且P表示這個平面內(nèi)的動點，我們可以問學(xué)生集合{P|PA=PB}表示什么？屬于集合{P|PA=PB}∩{P|PB=PC}的點又是什么？我們還可以用集合語言表示平面內(nèi)兩直線的三種位置關(guān)系：直線l1、l2相較于一點P可表示為l1∩l2=P，直線l1、l2平行可表示為l1∩l2=?,直線l1、l2重合可表示為l1∩l2=l1=l2,等等.

其次，使用集合語言，引導(dǎo)學(xué)生描述和解決問題. 用集合語言描述問題，可以幫助學(xué)生打開分析、解決問題的新思路. 例如，學(xué)校里開運動會，設(shè)A={x|x是參加一百米跑的同學(xué)},B={x|x是參加二百米跑的同學(xué)},C={x|x是參加四百米跑的同學(xué)}. 學(xué)校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生利用集合的運算來說明這項規(guī)定(A∩B∩C=?)，并解釋“A∪B”、“A∩C”的實際含義. 在上述背景下，高一(1)班進(jìn)行了預(yù)賽，共有28名同學(xué)參加上述三項比賽，有15人參加一百米跑,有14人參加二百米跑,有8人參加四百米跑,同時參加一百米跑和二百米跑的有3人，同時參加一百米和四百米跑的有3人，沒有人同時參加三項比賽. 我們就可以引導(dǎo)學(xué)生借助集合運算的文氏圖，求得同時參加二百米跑和四百米跑的有多少人，只參加四百米跑一項比賽的有多少人，等等.

以課程標(biāo)準(zhǔn)中最基本的核心知識為載體，利用學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識分析和解釋現(xiàn)實的、數(shù)學(xué)的、科學(xué)的情境中的問題，以蘊含數(shù)學(xué)知識之中的數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)解決問題，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵過程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就是在這樣的日積月累中得以培養(yǎng)的.

3 對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

根據(jù)上述集合單元育人價值及培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程的分析，我們認(rèn)為對數(shù)學(xué)教學(xué)有如下啟示.

首先，要重視挖掘有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容對培養(yǎng)提高學(xué)生素養(yǎng)方面可能的推動與貢獻(xiàn). 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點凝練出的六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是與具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的. 為此，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容單元對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的貢獻(xiàn)，建構(gòu)與教材單元(章節(jié))內(nèi)容對應(yīng)的核心素養(yǎng)細(xì)目表[3]，是利用數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量實現(xiàn)立德樹人的正道.

其次，要設(shè)計、選擇與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容特征、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相對應(yīng)的學(xué)習(xí)方式. 數(shù)學(xué)知識的習(xí)得需要與習(xí)得知識的科學(xué)的過程相匹配，只有這樣，知識技能才有可能成為素養(yǎng). 換句話說，學(xué)什么(知識與技能)、怎樣學(xué)(過程與方法)、學(xué)會什么(能力、品格、觀念)是一個整體，具有內(nèi)在的一致性，我們不能把三者割裂開來去行動.

總之，集合作為高中數(shù)學(xué)課程的起始單元，學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的經(jīng)歷和成效，對其學(xué)習(xí)整個高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式有重要影響. 我們應(yīng)該盡可能地以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，組織合適的現(xiàn)實情境或數(shù)學(xué)情境，從中概括出集合、集合的關(guān)系和運算等數(shù)學(xué)對象的一般特征，用自然語言、圖形語言、符號語言表達(dá)這些數(shù)學(xué)研究對象，并進(jìn)行三種語言的轉(zhuǎn)換，展現(xiàn)集合語言的魅力，用這樣的數(shù)學(xué)方式促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.