讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地生根”
——以兩道數(shù)學(xué)試題的解題教學(xué)為例

江蘇師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (郵編：221011)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)核心知識(shí)、核心能力、核心品質(zhì)，主要由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面組成，它們既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體[1]．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，但高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能[2]．筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程中，不僅要幫助學(xué)生解疑釋難，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，更要促使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)快速地“落地生根”，保證學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展．本文嘗試結(jié)合兩道試題的教學(xué)片段談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不妥之處，敬請(qǐng)賜教．

1 試題呈現(xiàn)

圖1

試題1一走廊拐角處的橫截面如圖1所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧，AB、DC分別與圓弧BC相切于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，EF∥AB,GH∥CD,且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m．

(1)若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P，設(shè)∠CMN=θ(rad),試用θ表示木棒MN的長度f(θ)；

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．

1.1 標(biāo)準(zhǔn)答案

圖2

解(1)如圖2，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為點(diǎn)Q，過Q點(diǎn)作CD垂線，垂足為點(diǎn)T，且交MN或其延長線于點(diǎn)S，連接PQ，再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為點(diǎn)W．

因?yàn)镹M與圓弧FG切于點(diǎn)P，所以PQ⊥NM,在Rt△SPQ中，

因?yàn)镻Q=1,∠PQS=θ,

①若點(diǎn)S在線段TG上，則TS=QT-QS,

2 解題困惑

此題是我校高三年級(jí)近期數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測的第17題，它是由蘇教版高中《數(shù)學(xué)4》(必修)第51頁“探究與拓展第19題”改編而來．本題背景熟悉、方法常規(guī)、區(qū)分度較好，主要考查學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法、換元法等解決數(shù)學(xué)模型；著重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、運(yùn)算求解、邏輯推理等能力．據(jù)考試結(jié)果反饋知，本題的難度系數(shù)約為0.17，這大大出乎廣大教師的意料，因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用題是江蘇省高考數(shù)學(xué)的一大“特色菜”，每年必考，從學(xué)生進(jìn)入高中以來，教師就耳提面命地講解處理實(shí)際應(yīng)用題的步驟與方法．為了弄清學(xué)生的錯(cuò)因，筆者與學(xué)生進(jìn)行了詳細(xì)的交流，了解他們解答此題的情況，統(tǒng)計(jì)、歸納出學(xué)生的解題困惑主要有以下四點(diǎn)：

困惑一:雖然背景熟悉，但由于θ與木棒NM的長度f(θ)“距離”較遠(yuǎn)，不好建立f(θ)的函數(shù)模型；

困惑二:讀懂題意，并建立f(θ)的函數(shù)模型，但由于缺少分類討論的“意識(shí)”，漏掉對(duì)第②種情況的討論；

困惑三:建立了f(θ)的函數(shù)模型，在求f(θ)的最小值時(shí)，若運(yùn)用求導(dǎo)法，則運(yùn)算量較大，容易導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)，還有沒有更好的運(yùn)算方法？

困惑四:該題的結(jié)論是求木棒長度的“最大值”，但函數(shù)f(θ)只有最小值，無最大值，這是為什么？難道題目出錯(cuò)了？

3 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

從學(xué)生的解題困惑可以看出，建立數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際應(yīng)用題至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生具備把一個(gè)非數(shù)學(xué)問題向數(shù)學(xué)問題連續(xù)的轉(zhuǎn)化能力，有些學(xué)生由于數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模能力薄弱，無法完成最終的轉(zhuǎn)化；其次，學(xué)生對(duì)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型找不準(zhǔn)好的運(yùn)算方向，或者運(yùn)算能力不扎實(shí)，導(dǎo)致功虧一簣；最后，學(xué)生對(duì)建模結(jié)果的實(shí)際意義理解模糊，是因?yàn)槿狈σ欢ǖ闹庇^想象、合情推理等能力．簡而言之，學(xué)生的困惑是由學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“缺失”造成的．為此，筆者認(rèn)為教師應(yīng)在幫助學(xué)生解答困惑的基礎(chǔ)上，對(duì)癥下藥，提升學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3.1 科學(xué)抽象概括，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)建模是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象——數(shù)學(xué)概括的過程，是一個(gè)從原型到模型再到原型的認(rèn)識(shí)過程[3]．本題的數(shù)學(xué)模型是從圖形與圖形，數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系中抽象出兩個(gè)變量θ與f(θ)的一般規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)術(shù)語給予表征．

教學(xué)片段1(解答困惑一與困惑二)

教師：請(qǐng)大家用數(shù)學(xué)術(shù)語表達(dá)“木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P”．

學(xué)生：直線MN與圓弧FG切于點(diǎn)P．

教師：由第⑴問的結(jié)論可知，θ是自變量，f(θ)是函數(shù)值；那自變量θ的范圍是什么？

教師：要求出木棒MN的長度f(θ)的解析式，就必須把木棒長度MN與角θ放在某個(gè)三角形內(nèi)，有沒有這樣的三角形呢？若沒有，怎么辦？

學(xué)生：圖形中沒有這樣的三角形，通過作輔助線構(gòu)造這樣的三角形．

教師：教育家劉佛年指出,“只要在學(xué)習(xí)中，有一點(diǎn)新意思、新思想、新觀念、新設(shè)計(jì)、新意圖、新做法、新方法，就可稱得上創(chuàng)造，我們要把創(chuàng)造的范圍看得廣一些，不要看得太神秘．”因此，添加輔助線就能體現(xiàn)出大家的一種創(chuàng)新能力．大家如何添加輔助線呢？

圖3

學(xué)生：設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過點(diǎn)Q作CD垂線，垂足為點(diǎn)T，交線段NM于點(diǎn)S，并連接PQ，再設(shè)直線NZ交直線GQ于點(diǎn)W．

學(xué)生：因?yàn)榫€段NM在運(yùn)動(dòng)時(shí)與圓弧FG相切的，所以點(diǎn)S也可能在線段NM的延長線上，MN=NS-MS，通過分析可知，建立的數(shù)學(xué)模型不變(以下過程略)．

3.2 甄別算理算法，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明析運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程．主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等[4]．我們認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算包括算法和算理．算法指運(yùn)算的方法；算理指運(yùn)算的道理．好的算理與算法都能規(guī)避繁瑣的計(jì)算.

教學(xué)片段2(解答困惑三)

教師：建模成功后，大家最先想到運(yùn)用什么方法求函數(shù)f(θ)的最值？

學(xué)生：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法．解題過程如下：

因?yàn)閒′(θ)=

當(dāng)這位學(xué)生在大家的幫助下得出正確的解答后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思解題出錯(cuò)的緣由．有的學(xué)生把余弦函數(shù)求導(dǎo)公式記錯(cuò)；有的學(xué)生把商的求導(dǎo)法則記錯(cuò)，誤以為商的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的商；有的學(xué)生在正確運(yùn)用商的求導(dǎo)法則后，沒有把商的導(dǎo)數(shù)寫成幾個(gè)因式乘積形式，在令f′(θ)=0時(shí)，無法求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即原函數(shù)的極值點(diǎn)；還有少數(shù)學(xué)生盲目地對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)等；甚至有的學(xué)生被“咄咄逼人”的繁瑣運(yùn)算嚇倒，不敢越雷池一步．這些都是由于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)、運(yùn)算功底不深厚、運(yùn)算方向不準(zhǔn)確、運(yùn)算品質(zhì)不優(yōu)良所造成的(學(xué)生頻頻點(diǎn)頭表示認(rèn)可)．

教師接著追問：除了求導(dǎo)法，有沒有更好的方法求函數(shù)的最小值？教師的話音剛落，有位思維敏捷的學(xué)生給出了如標(biāo)準(zhǔn)答案中的換元法．通過比較，大家一致認(rèn)為換元法比求導(dǎo)法更好，求導(dǎo)法容易想到，但運(yùn)算量較大；換元法別有一番風(fēng)味，但大家往往不易“想到”．本題求最值的兩種方法孰優(yōu)孰劣，不言自明．

3.3 運(yùn)用合情推理，培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推理出一個(gè)命題的思維過程[4]．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹．

教學(xué)片段3(解答困惑四)

教師：大家對(duì)第二問的結(jié)論有什么疑問嗎？

教師：按照你的理解是——把第(2)問改為“木棒水平通過走廊拐角時(shí)求木棒長度的最小值”？那最小值是多少？

學(xué)生：那最小值是0 m？若最小值為0 m，那一定能“安全”通過！學(xué)生戲言道．

教師：若大家還沒有理解，可以舉些特例加以解釋，若木棒長度為1 m，能不能安全通過？為什么？

教師：能不能從實(shí)際意義的角度加以闡述？

學(xué)生：因?yàn)槟景鬗N與內(nèi)壁圓弧GH相切且能通過走廊拐角時(shí)，“每個(gè)瞬間”木棒的長度MN都大于1 m，所以能通過．

教師：若木棒長度為4 m，能不能安全通過？

至此，大家都恍然大悟，收獲成功的喜悅溢于言表．合情推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．它不但能幫助人們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還可以幫助人們理解問題、解決問題．由于受思維定勢的影響，人們往往“鐘情于”嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，卻把靈動(dòng)的合情推理丟在“遺忘的角落”，這對(duì)于合情推理是多么不公平?。÷犃私處煹囊幌?，大家忍俊不禁，收獲頗多．學(xué)生在寓教于樂、寓學(xué)于樂的學(xué)習(xí)氛圍中內(nèi)化知識(shí)，完善結(jié)構(gòu)．

3.4 變式訓(xùn)練，檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

通過試題1的教學(xué)，學(xué)生的所有困惑云飛煙滅，心曠神怡，但意猶未盡．史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型是高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中最重要的三個(gè)要素．”因此，為了順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的需求，強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中最重要的三個(gè)要素，筆者又為學(xué)生提供如下的變式訓(xùn)練，旨在檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是否真地“落地生根”．

圖4

(1)記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為f(θ),求f(θ)的表達(dá)式；

(2)求符合園林局要求的θ的余弦值．

試題2剛呈現(xiàn)，就有學(xué)生回答，此題與試題1相比較，

容易多了，解答如下：

第二步：數(shù)學(xué)模型運(yùn)算，檢驗(yàn)學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)

因?yàn)閒′(θ)=R2(2cos2θ-2sin2θ-cosθ)=R2(4cos2θ-cosθ-2),令f′(θ)=0,解之得

第三步：運(yùn)用合情推理，檢驗(yàn)學(xué)生的“邏輯推理”素養(yǎng)

正當(dāng)大家以為大功告成時(shí)，有位細(xì)心的女生突然提出質(zhì)疑：園林局要求綠化面積的最小值，而按照上述的解答思路，求出的是綠化面積的最大值，這是怎么回事？一石激起千層浪，原本平靜的課堂，瞬間人聲鼎沸，大家議論紛紛，仁者見仁，智者見智．有的說既然運(yùn)算沒有問題，那就是題設(shè)出錯(cuò)了；有的說可能在判斷極值時(shí)出錯(cuò)……經(jīng)過取特殊角加以驗(yàn)證，最后大家確認(rèn)題設(shè)正確，是我們的邏輯推理出現(xiàn)了錯(cuò)誤．理由如下表：

θ(0,θ0)θ0(θ0,π3)cosθ(1+338,1)1+338(12,1+338)f′(θ)+0—f(θ)遞增極大值遞減

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[1]．因此，數(shù)學(xué)教師要以學(xué)生的學(xué)習(xí)新知為契機(jī)，以學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)為抓手，以學(xué)生的探究研究為手段，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地生根”．