核心素養(yǎng)視角下“指數(shù)函數(shù)”智慧課堂教學(xué)

安徽省滁州市教育科學(xué)研究院 (郵編：239000)

安徽省滁州市第六中學(xué) 郭冒強 (郵編：239000)

從投影儀到電子白板，再到智慧課堂的出現(xiàn)，信息技術(shù)使課堂教學(xué)越來越便捷，使學(xué)生能夠更好地感知、探索、理解知識．如今各級教育主管部門對教育信息化都高度重視，也為許多學(xué)校配備了智慧課堂.可是如何發(fā)揮智慧課堂在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，提高教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的深度融合，是值得我們?nèi)ニ伎寂c探索的問題．

1 落實發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在反復(fù)經(jīng)歷探究的過程中逐步感悟與發(fā)展的，它是高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)，不是通過一兩節(jié)課的教學(xué)就可以達成的，需要教師以單元為整體把握知識，明確目標(biāo)，認清作為核心素養(yǎng)載體的知識在教學(xué)中所應(yīng)發(fā)揮的作用．

1.1 把握單元知識核心，明確單元教學(xué)目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，要讓學(xué)生學(xué)會用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，理解函數(shù)中蘊含的運算規(guī)律，解決簡單實際問題．教材在函數(shù)與性質(zhì)內(nèi)容的編排上都是按照“概念——圖象——性質(zhì)”的順序組織的．那么，在第一個函數(shù)的教學(xué)中，就要讓學(xué)生把如何研究一類函數(shù)的一般方法歸納總結(jié)出來，這是本單元的核心知識，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)后面的函數(shù)時更好發(fā)揮自主探究的作用．

以單元教學(xué)目標(biāo)為指向，結(jié)合教學(xué)任務(wù)設(shè)計教學(xué)過程，可促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展[1]．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)只有在學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動的過程中才能逐步發(fā)展，單元目標(biāo)中要能反映出發(fā)展核心素養(yǎng)的具體途徑．本單元讓學(xué)生通過對這三個函數(shù)探究，在經(jīng)歷概念形成的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；在作圖與觀察圖象發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的過程中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；在解決實際問題的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

1.2 發(fā)揮學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的教學(xué)活動設(shè)計，要為學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好的外部環(huán)境，使學(xué)生產(chǎn)生積極學(xué)習(xí)的心向，投入到知識的探究活動中去，經(jīng)歷知識發(fā)生與發(fā)展的過程，自主地建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》教學(xué)的設(shè)計應(yīng)以知識的發(fā)展為主線，以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為暗線，組織學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)活動，了解指數(shù)函數(shù)的由來，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，總結(jié)出函數(shù)研究的一般方法，如圖1所示．

圖1

2 促進智慧課堂與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合

高中數(shù)學(xué)課程基本理念要求注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實效性[2]．智慧課堂可以方便教師將文本、音頻、視頻、課件等各種形式的教學(xué)素材分享給學(xué)生，多角度地引導(dǎo)學(xué)生探究知識，加深對知識的理解．還可以更好地展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，統(tǒng)計和分析學(xué)生知識掌握的情況，為學(xué)生的過程性評價提供及時準(zhǔn)確的依據(jù)．

這一代孩子是信息時代的原住民，他們大都已熟練掌握智能手機、平板、電腦等信息設(shè)備的使用．在智慧課堂中，他們可以方便地查看與下載各種學(xué)習(xí)資源，用于課后復(fù)習(xí)鞏固；可以在課堂上設(shè)計與操作各種數(shù)學(xué)實驗，經(jīng)歷知識的再發(fā)現(xiàn)過程；可以實時分享交流學(xué)習(xí)成果，促進師生互動與生生互動；還可以了解自己的學(xué)習(xí)狀況，及時調(diào)整學(xué)習(xí)方法與策略，提高學(xué)習(xí)效率．

智慧課堂雖然讓教學(xué)更加便捷，但教師在教學(xué)活動設(shè)計的過程中容易過于關(guān)注信息技術(shù)應(yīng)用，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)課變成了信息技術(shù)應(yīng)用的展示．這就要求教師一定要以學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)為導(dǎo)向進行教學(xué)活動的設(shè)計．如在《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用Geogebra對函數(shù)圖象進行數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計與操作，探究函數(shù)性質(zhì)．所謂數(shù)學(xué)實驗，是指在一定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)下，經(jīng)過某種預(yù)先的組織設(shè)計，借助于一定的儀器和技術(shù)手段，進行數(shù)學(xué)化操作，進而獲得對客觀對象的認知經(jīng)驗、探求對客觀對象的控制手段或技術(shù)的方法[3]．Geogebra以其強大的計算功能和虛擬的實驗環(huán)境，使得以往要在紙上大量計算與繪圖的工作瞬間完成，極大地提高了學(xué)生探究效率．但“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生如果只是在Geogebra中觀察與研究指數(shù)函數(shù)的圖象，就無法感知圖象的本質(zhì)，這不利于對性質(zhì)的研究．只有讓學(xué)生在紙上動手畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，才能把對圖象的感性認識上升到理性認識．

3 智慧課堂環(huán)境下的教學(xué)設(shè)計

本節(jié)課是基于學(xué)生熟練使用Pad及其中WPS表格與Geogebra等軟件的前提下進行的教學(xué)活動設(shè)計．

3.1 情境導(dǎo)入

播放短片《超乎想象的指數(shù)》，短片介紹了當(dāng)一張普通厚度的A4紙，如果可以折疊15次，高度將會超過3米；折疊25次，高度將會超過峨眉山(3099米)．

問題1 (1)大家來判斷一下，短片中說的是真的還是假的？如果一張普通A4紙厚度為0.1mm,請使用Pad計算驗證一下．

(2)如果折紙次數(shù)是50次，60次，…，100次，折紙的高度又是多少米呢？請嘗試使用WPS表格計算一下(結(jié)果如圖2)．

設(shè)計意圖視頻是學(xué)生喜愛的一種素材呈現(xiàn)方式，有利于吸引學(xué)生的注意力．利用短片制造了學(xué)生認知上的沖突，引發(fā)了他們探究問題的激情．學(xué)生在使用Pad中計算器或WPS表格進行計算的過程中，自然要去探究折紙的高度H(單位：m)與次數(shù)n之間的數(shù)量關(guān)系：H=10-4·2n.使用Pad讓學(xué)生探究的重點放在了對數(shù)量關(guān)系的研究之上，而非繁重的計算之中，使知識自發(fā)的產(chǎn)生．

圖2

問題2H=10-4·2n中2n表示什么？

追問1：若用P表示它，那么P=2n是函數(shù)么？如果是，定義域是什么？

追問2：函數(shù)P=2n與我們常見的函數(shù)有什么不同么？若把它改寫成我們熟悉的形式，它還是函數(shù)么？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定義解釋兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，達到鞏固函數(shù)概念的目的，并把情境中的函數(shù)模型一般化為y=2x(x∈R)的形式．

3.2 抽象概念

問題3 (1)函數(shù)y=2x(x∈R),在形式上有什么樣特征？

(2)請再寫出幾個你認為符合這些特征的函數(shù)，分享給大家一同來判斷它們是不是相同類型的函數(shù)呢？

設(shè)計意圖學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前，學(xué)生學(xué)過一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)，他們?nèi)菀子^察得出y=2x的自變量在指數(shù)位置，形成對指數(shù)函數(shù)的感性認識．讓學(xué)生舉例，他們可能舉出y=x3,y=2×5x,y=-5x,y=7x-2,y=(-3)x等關(guān)系式，這樣可以豐富研究的對象，讓學(xué)生經(jīng)過討論將它們分化與類化，把握指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)特征與外延．

問題4 這類函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，你能說出指數(shù)函數(shù)的定義么？

設(shè)計意圖能夠使用語言表述概念，是形成概念理性認識的重要標(biāo)志，讓學(xué)生自己組織語言給研究對象下定義，有利于促進了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展．此時，學(xué)生雖然可以抽象出指數(shù)函數(shù)的形式是y=ax(x∈R),但仍然不易發(fā)現(xiàn)底數(shù)a的取值范圍是a>0且a≠1,這時暫不做處理，后面讓學(xué)生自己在探究中去發(fā)現(xiàn)，從而形成正確的概念．

3.3 繪制圖象

問題5 再看剛剛WPS表格中計算出的結(jié)果(如圖2)，你能看出函數(shù)值變化的快慢么？有什么更好的方法反映這種變化呢？

設(shè)計意圖讓學(xué)生體會到通過對從情境中抽象出的函數(shù)模型性質(zhì)的研究可以解釋其中的現(xiàn)象，感受數(shù)學(xué)建模的作用．另外，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用圖象可以直觀反映性質(zhì)，方便探究性質(zhì)，讓教學(xué)活動自然過渡到繪制函數(shù)的圖象．

實驗操作在WPS表格中完成列表，然后在紙上作出函數(shù)y=2x(x∈R)的圖象．再請用Geogebra作出它的圖象，與你的圖象進行比較．

問題6 你的圖象與軟件中的圖象有不同么？哪里不同？為什么？

設(shè)計意圖在作圖過程中，學(xué)生通常會出現(xiàn)同一坐標(biāo)軸上單位長度不一致，畫出的曲線與x軸相交等錯誤．使用WPS表格淡化了學(xué)生列表中的計算，專注于取點與作圖．另外，使用Geogebra作圖可以幫助學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)自己的錯誤，自我反思，及時糾正．教師則通過分享學(xué)生的探究成果，引導(dǎo)大家共同討論，形成對指數(shù)函數(shù)圖象形狀與作法的正確認知．

問題7 請在Geogebra中作出你們所舉的y=(-3)x的圖象．你發(fā)現(xiàn)了什么問題？為什么呢？

圖3

追問：還有什么樣的數(shù)不適合作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)？請在Geogebra中作出函數(shù)y=ax(x∈R)的圖象(如圖3)探究一下．

設(shè)計意圖在Geogebra中是作不出y=(-3)x圖象的，從而引發(fā)學(xué)生對指數(shù)函數(shù)底數(shù)范圍的思考，發(fā)現(xiàn)底數(shù)不能為負數(shù)．再利用Geogebra進一步探究底數(shù)a的范圍．最終形成指數(shù)函數(shù)完整的概念，并能描述其本質(zhì)的特征．

3.4 得出性質(zhì)

問題8 請在Geogebra中，通過改變a的取值，觀察函數(shù)圖象的特征與變化，你能說出這些特征與變化反映了指數(shù)函數(shù)的什么樣的性質(zhì)么？

設(shè)計意圖在智慧課堂中，學(xué)生利用Pad可以自己動手作出更多指數(shù)函數(shù)的圖象，這幫助他們更好地歸納出圖象的共同特征，形成函數(shù)的性質(zhì)，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．教學(xué)中放手要讓學(xué)生去探索，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實踐的能力與嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神．

問題9 你能總結(jié)出研究指數(shù)函數(shù)的過程與方法么？

設(shè)計意圖從實際情境中通過數(shù)學(xué)建模抽象出其函數(shù)模型，由函數(shù)模型抽象出概念，再通過繪制函數(shù)圖象研究其性質(zhì)，這是研究具體函數(shù)的一般方法，具有很強的可遷移性，對學(xué)生自主探究后面將要學(xué)習(xí)的函數(shù)具有重要的價值．另外這是對學(xué)習(xí)與探究方法歸納總結(jié)，有助于學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)．

3.5 應(yīng)用性質(zhì)

問題10 現(xiàn)在你可以從圖象中說明在折紙的例子中，折紙的高度為什么增長得那么快了么？

設(shè)計意圖學(xué)生只能從函數(shù)圖象中直觀感知到y(tǒng)=2x(x∈R)的圖象增長越來越快，這時教師可以告訴學(xué)生，通過以后的學(xué)習(xí)，還可以從代數(shù)的角度來進一步解釋這樣的現(xiàn)象．這里也起到了承前啟后、首尾呼應(yīng)的作用．

4 結(jié)束語

在智慧課堂環(huán)境下的教學(xué)活動設(shè)計過程中，教師要以學(xué)生主動建構(gòu)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為根本目標(biāo)，精心設(shè)計教學(xué)活動，合理使用信息化技術(shù)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，在探究問題的過程中發(fā)現(xiàn)知識，建構(gòu)認知，提高能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．