小波變換在某氣田地震剖面濾波中的應(yīng)用

劉佳賓，王四巍，王艷艷，丁 聰，陳鈞龍

(1.華北水利水電大學(xué)巖土工程與水工結(jié)構(gòu)研究院, 鄭州 450046;2.河南省巖土力學(xué)與結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450046；3.河南省交通規(guī)劃設(shè)計研究院股份有限公司，鄭州 451450)

0 引言

噪聲壓制是地震勘探資料成像處理的重要環(huán)節(jié)，噪聲壓制效果是決定最終成像效果的關(guān)鍵因素之一。最早被人們使用的地震信號數(shù)字濾波方法是傅里葉變換[1]，該方法通過將地震信號由時間域轉(zhuǎn)換至頻率域，建立合適的濾波器，濾去干擾波的頻譜成分，然后反變換至?xí)r間域來實(shí)現(xiàn)去噪目標(biāo)。1946年，Gabor.D[2]提出了短時傅里葉變換方法，目前該方法仍被廣泛使用。但是傅里葉變換在頻率域的分辨率與時間域的分辨率二者互相制約：時間分辨率與頻率分辨率二者不能同時任意提高。傅里葉變換是針對平穩(wěn)信號進(jìn)行的時頻分析，對于地震信號這樣的非平穩(wěn)信號，傅里葉變換只能給出整體信號中包含的某一頻率分量的平均值，不能完整把握信號在某一時刻的本質(zhì)特征，因此嚴(yán)重制約了該方法精度。信號在時頻聯(lián)合平面上具有多個不同的能量聚集區(qū)域，這種信號稱之為多分量信號，即時頻面上的每一個分量對應(yīng)一個信號分量。1948年，J.Ville[3]把Wigner分布引入非平穩(wěn)信號時頻分析領(lǐng)域中，該方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要受到窗函數(shù)的制約，但是在處理多分量信號時，會出現(xiàn)交叉項(xiàng)，并不適用于復(fù)雜地震信號[4]。1982年，Morlet J.[5]提出了一種新的時頻分析方法即小波變換。該方法通過選擇尺度因子與平移因子，根據(jù)信號的特點(diǎn)對時窗進(jìn)行調(diào)整，可以在信號的不同位置提供不同的分辨率。該方法在濾波過程中可以對信號的局部特征進(jìn)行更好的識別，更準(zhǔn)確地區(qū)分有效信號和噪聲，取得更好的濾波效果。段春節(jié)等人[6]將小波變換方法與相干體技術(shù)相結(jié)合，提出了一種基于小波變換的相干體計算的新方法，得到突出特定頻帶的相干體。吳雅娟等人[7]通過改進(jìn)的小波閾值法在有效濾除測井信號中的噪聲的同時，又可以保留曲線的細(xì)節(jié)信息。

小波變換方法自20世紀(jì)90年代，C.S.Luchele等人[8]利用小波分析刻畫地質(zhì)體的不均勻性；高靜懷[9]采用解析小波的方法求取地震信號的瞬時參數(shù)，深入地分析了不同尺度下地震記錄小波變換結(jié)果及其對應(yīng)的瞬時參數(shù)含義。王姣等人[10]針對互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMD)舍棄高頻分量的去噪方法和小波閾值去噪方法存在的不足，利用小波閾值去噪方法對地震信號進(jìn)行濾波。王江濤[11]基于小波多尺度的分析技術(shù)，提出了基于小波分析的動態(tài)變形信息提取多尺度分析方法,并應(yīng)用于強(qiáng)噪聲背景下提取弱信號及信號的奇異性檢驗(yàn)，有效提取了動態(tài)變形信息。阮清青[12]通過對修正S變換與常規(guī)時頻分析方法的對比，根據(jù)合成信號以及實(shí)測地震記錄的時頻分析得知修正S變換較常規(guī)的時頻分析方法具有更好的時頻分辨率和能量聚集性。

顯而易見，小波變換已廣泛應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)壓縮、地震數(shù)據(jù)特征的分析、以及多尺度反演等領(lǐng)域，且其處理效果主要依賴于小波基函數(shù)的選擇。本文通過實(shí)例對地震信號不同小波基函數(shù)的濾波效果進(jìn)行比對，討論小波基函數(shù)的選取，并采用二維小波包濾波分析方法對地震剖面進(jìn)行處理，驗(yàn)證濾波效果。

1 小波變換濾波方法

1.1 小波變換原理

小波變換是采用待處理信號的一組基本小波函數(shù)在空間上的投影對信號進(jìn)行描述。由不同尺度因子(a)與時移因子(b)構(gòu)成的小波基表達(dá)式如下：

(1)

式中Ψ(t)表示某類小波基函數(shù)，上式須滿足a≠0。

使用連續(xù)小波變換(CT)把信號x(t)映射到時間—尺度平面：

(2)

式中Ψ*(t)表示某類小波基函數(shù)的共軛表達(dá)式。

(2)式的逆變換為：

(3)

式中，CΨ是小波的容許性條件，即當(dāng)CΨ滿足下式(4)時，可以由小波變換的結(jié)果重構(gòu)原始信號。

(4)

其中Ψ(w)為Ψ(t)的傅里葉變換。

通過改變小波基的尺度因子，可以改變其對所處理信號的分辨率。當(dāng)遇到低頻信號時，増大小波函數(shù)在時間上的尺度，降低被處理信號的時間分辨率，從而達(dá)到提高其頻率分辨率的目的；遇到高頻信號時，縮小小波函數(shù)的時間尺度，使之具有更高的時間分辨率，更好的表述信號的高頻部分。本文采用二尺度分解的方法，首先將待處理的地震信號S分解為高頻(d1)與低頻(a1)兩部分,然后對低頻(a1)部分再次進(jìn)行分解，得到高頻(d2)與低頻(a2)分量。此時原始信號S等于a2、d2與d1之和，對轉(zhuǎn)換至小波域的地震信號進(jìn)行閾值處理即可達(dá)到濾波的效果。小波域中較小的小波系數(shù)主要包含的是隨機(jī)噪聲，所以對較小的小波系數(shù)進(jìn)行壓制后，即可重構(gòu)得到壓制噪聲之后的信號。

1.2 小波變換濾波原理

閾值去噪簡而言之就是對信號進(jìn)行分解，然后對分解后的系數(shù)進(jìn)行閾值處理，最后重構(gòu)得到去噪信號。對原始信號進(jìn)行小波變換后，得到各尺度系數(shù)。隨后確定閾值λ，若小波系數(shù)小于λ，則認(rèn)為該系數(shù)主要由噪聲引起，需要對該部分系數(shù)進(jìn)行去除。若小波系數(shù)大于λ，則認(rèn)為該系數(shù)主要是由信號引起，對該部分系數(shù)加以保留。對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波反變換，即可得到濾波之后的信號。

常見的閾值函數(shù)有：硬閾值函數(shù)(小波系數(shù)的絕對值低于閾值的置零，高于的保留不變)；軟閾值函數(shù)(小波系數(shù)的絕對值低于閾值的置零，高于的系數(shù)shrinkage處理)。本文采用軟閾值函數(shù)進(jìn)行去噪處理。軟閾值函數(shù)公式為：

(5)

式中：w表示小波系數(shù)，T為給定閾值，sign(*)符號函數(shù)。

1.3 小波變換濾波效果評價

本文采用求取均方差與相似度的方法對地震記錄不同小波基的濾波效果進(jìn)行評價。

均方差σ是總體各單位標(biāo)準(zhǔn)值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。定義式如下：

(6)

由定義可知，濾波后信號與原始地震記錄之間的均方差越小，二者相似程度越高，濾波結(jié)果越接近原始地震記錄。相似度ρ的定義式如下：

(7)

2 一維信號的濾波結(jié)果分析

以鄂爾多斯盆地北部地震資料為例，該區(qū)主要目的層氣藏多以巖性控制為主，少部分為構(gòu)造—巖性型油氣藏。原始地震剖面如圖1所示，在主要目的層(1 700～1 900ms)山西組、太原組、石盒子組，主要發(fā)育有T9b+c、T9d、T9e、T9f四組反射波，形成一個強(qiáng)振幅、連續(xù)性好的密集反射段。測線西部局部地段反射雜亂、連續(xù)性差，出現(xiàn)反射同相軸的合并、分叉等現(xiàn)象。提取該地震剖面中的第308道地震記錄，對其進(jìn)行小波分析。小波變換的尺度越大，越容易獲取信號的低頻特征；反之，尺度越小，獲取的主要是信號的高頻特性。地震信號的小波變換是一種先驗(yàn)的時頻分析方法，其小波分析結(jié)果不僅取決于信號本身，而且也與所采用的分析小波有關(guān)。在進(jìn)行地震信號的薄互層高分辨率分析時，恰當(dāng)?shù)剡x擇小波函數(shù)是至關(guān)重要的。

在常用的小波基函數(shù)中，考慮正交性、雙正交性、緊支撐等性質(zhì)，選取Daubechies[13]、Coiflets、Symlets三種函數(shù)(縮寫分別為db、coif、sym，表示形式為：dbN、coifN、symN；N為消失矩)。

圖1 待處理地震剖面Figure 1 Seismic section to be processed

首先選用db3小波，該小波系是一系列二進(jìn)制小波的總稱，是由法國學(xué)者Daubechies提出的，故稱為db小波。Daubechies小波不僅是連續(xù)和正交的，而且是支集最小的，這種小波的濾波器個數(shù)少，在地震信號的分解和重構(gòu)中計算量小。該小波沒有明確的解析表達(dá)式，其有效支撐長度為2N，消失矩為N。實(shí)際地震信號中的噪音通常表現(xiàn)為高頻成分，因此對信號進(jìn)行二尺度一維分解，所得結(jié)果如圖2所示。隨后采用軟閾值處理方法進(jìn)行小波閾值濾波，其結(jié)果如圖3所示。

然后采用sym2小波對信號進(jìn)行分析。Symlets小波與dbN小波相比，在連續(xù)性、支集長度、濾波器長度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對稱性，即一定程度上能夠減少對信號進(jìn)行分析和重構(gòu)時的相位失真。Symlets小波也是對一系列小波的總稱，這類正交小波的支撐長度為2N-1，濾波器的長度為2N，消失矩為N，具有相似的對稱性。此次采用尺度函數(shù)與db3相近的sym2小波對信號進(jìn)行二尺度一維分解，進(jìn)行軟閾值濾波后，得到的結(jié)果如圖4所示。

s：原始信號；a2：二階低頻分量；d1：一階高頻分量；d2：二階高頻分量圖2 db3小波變換結(jié)果Figure 2 Transformed results of db3 wavelet

圖3 db3小波閾值去噪結(jié)果Figure 3 Denoised results of db3 wavelet threshold

圖4 sym2小波閾值去噪結(jié)果Figure 4 Denoised results of sym2 wavelet threshold

隨后采用coif1小波對原始信號進(jìn)行變換。Coiflet的小波函數(shù)的2N階矩為零，具有比dbN更好的對稱性。Coiflet小波系屬于雙正交的小波，該類小波的支撐長度為6N-1，濾波器的長度為6N，消失矩為2N，其對稱性要好于db小波。選用尺度函數(shù)與db3小波接近的coif1小波對原始信號進(jìn)行二尺度一維分解，進(jìn)行軟閾值濾波后所得結(jié)果如圖5所示。

圖5 coif1小波閾值去噪結(jié)果Figure 5 Denoised results of coif1 wavelet threshold

通過選用三種不同的小波基函數(shù)對第308道數(shù)據(jù)進(jìn)行了閾值濾波后，采用求取濾波后信號與原始地震信號的均方差與相似度的方法進(jìn)行比較，選取最優(yōu)化的濾波結(jié)果。詳情見表1。

表1 濾波結(jié)果的均方差與相似度

由上表可知，從均方差來看，sym2去噪結(jié)果均方差最小，說明其對噪聲消除效果最好，db3去噪結(jié)果次之，coif1去噪結(jié)果均方差最大；從相似度來看，db3去噪結(jié)果與原始信號的相似程度最高，coif1去噪結(jié)果與原始信號相似程度次之，而sym2去噪結(jié)果與原始信號相似程度最差。綜合考慮來看，對該工區(qū)地震記錄進(jìn)行小波閾值濾波時選用db3小波基函數(shù)最為合適。

3 小波包對二維信號的濾波結(jié)果分析

經(jīng)過上一節(jié)的討論可以得出結(jié)論，選用db3小波基函數(shù)對該工區(qū)地震記錄進(jìn)行濾波處理效果最好，因此采用db3小波對二維地震剖面進(jìn)行小波包濾波。

小波包分析是小波分析的延伸，該方法對信號的時頻分析更為細(xì)致。其原理如下：小波分解實(shí)際是將信號分成高頻與低頻兩個部分，篩選出高頻部分之后對剩余的低頻部分再一次做分解，再次篩選出高頻與低頻部分，直到達(dá)到規(guī)定的尺度。小波包分析與之不同之處在于，針對每一次篩選出來的高頻部分繼續(xù)做分解，也就是說對每一次分解得到的所有結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行分解。由于小波變換不具備自適應(yīng)的特征，所以高頻成分中可能也包含有低頻信息，因此采用小波包分析能夠?qū)⒏哳l成分中的低頻信息也分解出來，其時頻分析能力會得到進(jìn)一步的提升。

(a)原始信號

(b)濾波信號圖6 二維地震數(shù)據(jù)的濾波效果對比Figure 6 Filtering effects comparison of 2D seismic data (left: original; right: denoised)

圖7 A、B區(qū)域?qū)Ρ确糯髨DFigure 7 Comparison of A and B regions enlarged images

對二維地震數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理后，選取地震剖面中的幾處細(xì)節(jié)進(jìn)行放大對比，對濾波效果進(jìn)行驗(yàn)證，如圖6、7所示。從圖中可以看出，原始信號剖面圖中存在許多“毛刺”現(xiàn)象，而進(jìn)行小波閾值濾波之后，濾波后的圖中高頻干擾明顯降低，同向軸的形態(tài)更為清晰圓滑。圖7為濾波效果局部放大圖，效果更佳明顯?？梢姴捎胐b3小波進(jìn)行濾波之后，所得剖面中的隨機(jī)噪音得到了很好的壓制，有效信號更加突出，信噪比得到了提高。

4 結(jié)論

本文通過對實(shí)際工區(qū)資料進(jìn)行小波變換濾波處理，并對結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)后，可以得出一下幾點(diǎn)結(jié)論。

①不同的小波基函數(shù)選取會對濾波效果產(chǎn)生影響，需要結(jié)合質(zhì)特點(diǎn)和地震響應(yīng)特征，多嘗試幾種不同的小波基函數(shù)，并從中找到效果最佳的小波基函數(shù)進(jìn)行分析。

②針對該工區(qū)地震資料，db3小波閾值濾波效果最好。處理后的反射層特征變得更清晰，同相軸連續(xù)性增強(qiáng)，資料頻帶向高頻方向拓寬，高頻成分明顯加強(qiáng)，低頻部分有所保持；隨機(jī)噪音得到了很好的壓制，有效信號更加突出，信噪比得到了提高。

③小波包濾波能夠有效降低地震剖面中的高頻干擾，其結(jié)果可用于精細(xì)解譯地震波信號，更好地服務(wù)于氣田地震信號的解譯工作。