火箭末級(jí)的天線布局建模與優(yōu)化

劉宇哲，張 群，楊 勇，張新宇，彭慧蓮

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076)

1 引言

隨著我國航天事業(yè)的快速發(fā)展，在軌航天器數(shù)量越來越多，充分利用燃料消耗殆盡的航天器(如上面級(jí)或者火箭的末子級(jí)等)正成為一種有效節(jié)約成本的方案[1-2]。但在航天器燃料耗盡后，航天器起旋并保持繞本體的勻速自轉(zhuǎn)過程中，各電氣系統(tǒng)須工作正常，天線信號(hào)通聯(lián)時(shí)長(zhǎng)得到保障。

航天器上的天線信號(hào)覆蓋范圍一般是空間圓形錐體，最大不超過一個(gè)半球[3]。當(dāng)航天器起旋并保持繞本體的勻速自轉(zhuǎn)且在航天器本體可見范圍內(nèi)存在測(cè)控通信站時(shí)，天線所形成的圓錐體信號(hào)覆蓋范圍將不斷掃略地面測(cè)控站，從而建立通信鏈路。在航天器保持勻速自轉(zhuǎn)的約束條件下，為了增加通信鏈路建立的時(shí)間，有效的處理辦法有2種：一種是盡可能多地增加天線數(shù)量，使得天線圓錐體信號(hào)收發(fā)范圍能夠完全覆蓋整個(gè)航天器本體的球體包絡(luò)[4]，這種方式是粗放的，且極大地消耗了航天器上有限的能源；另一種方式是通過優(yōu)化天線布局，盡可能減少天線布局?jǐn)?shù)量，同時(shí)能夠達(dá)到建立通信鏈路的有效時(shí)長(zhǎng)要求[5]。本文采取第二種方式保證建立通信鏈路的時(shí)長(zhǎng)。

目前關(guān)于航天器上天線的研究主要集中于天線的定位機(jī)構(gòu)的指向精度方面和衛(wèi)星點(diǎn)波束覆蓋區(qū)域方面的研究[6-8]，鮮有關(guān)于星載天線布局的研究?jī)?nèi)容發(fā)表。而關(guān)于天線布局的研究，更多的則是關(guān)于固定姿態(tài)下的車載、艦載和機(jī)載的天線布局優(yōu)化研究[9-11]。本文利用其他行業(yè)的天線布局優(yōu)化技術(shù)，應(yīng)用于定軸旋轉(zhuǎn)姿態(tài)下航天器的天線布局優(yōu)化。將航天器簡(jiǎn)化為一個(gè)含有姿態(tài)信息的位點(diǎn)，天線信號(hào)輻射范圍簡(jiǎn)化為一個(gè)空間圓形錐體，通過建立天線布局姿態(tài)與航天器本體的空間相對(duì)位置關(guān)系和地面測(cè)控站與航天器本體的空間相對(duì)位置關(guān)系，映射得到天線布局姿態(tài)與信號(hào)覆蓋測(cè)控站的時(shí)長(zhǎng)關(guān)系模型；再通過數(shù)值仿真得到3種不同布置角度下天線覆蓋各測(cè)控站時(shí)長(zhǎng)的圖譜，并以覆蓋時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)為目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法對(duì)布置3個(gè)天線的航天器進(jìn)行優(yōu)化，以得到3個(gè)天線能夠覆蓋最廣范圍的布局形式。

2 天線信號(hào)覆蓋范圍建模

本文的研究對(duì)象是一個(gè)以定角速度繞本體Z軸旋轉(zhuǎn)的航天器，如圖1所示，本體上安裝有數(shù)個(gè)固定于本體的天線。考慮以航天器本體作為基坐標(biāo)系，測(cè)控站是圍繞航天器本體的Z軸以定角速度旋轉(zhuǎn)的，因此可以將等Z軸面上的測(cè)控站集合到圖中X-Z平面上的紅色位點(diǎn)。只要在圖中X-Z平面上能夠被天線信號(hào)覆蓋到的紅色位點(diǎn)，則位于該等軸面上的測(cè)控站均能在航天器自轉(zhuǎn)過程中被天線信號(hào)覆蓋到，區(qū)別只是時(shí)間的長(zhǎng)短。由于航天器本體是勻速自轉(zhuǎn)的，因此信號(hào)覆蓋時(shí)間的長(zhǎng)短是由等軸面信號(hào)覆蓋范圍的弧長(zhǎng)決定的。

圖1 天線信號(hào)覆蓋范圍的模型Fig.1 Model of signal radiation range

通過以上分析可知，3種安裝角度的天線對(duì)應(yīng)3種不同的建模形式，因此本節(jié)建立3種狀態(tài)的天線信號(hào)覆蓋范圍模型，分別稱為0°俯仰角模型、正向俯仰角模型和負(fù)向俯仰角模型。

2.1 0°俯仰角模型

空間中天線以錐形掃略地面測(cè)控站的X-Z向視圖如圖2所示，O代表天線(即航天器本體)所在的位置，天線繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)掃過地面某一測(cè)控站TA，αA表示天線的單向張角，即天線最大張角為2αA。地面測(cè)控站位于X軸夾角為θA的位點(diǎn)TA。天線信號(hào)在X-Z平面覆蓋的范圍為SA1SA2圍成的弧段，SA為天線信號(hào)覆蓋范圍的中線位置。由TA向Z軸作垂線，與SA1SA2的交點(diǎn)為QA，對(duì)應(yīng)的等Z軸面的圓半徑為rA1。由于天線信號(hào)覆蓋范圍只和角度有關(guān)，因此可以假定天線所在空間的球形為半徑為1的單位球。0°俯仰角模型表示天線信號(hào)覆蓋范圍的中線位置SA位于X軸上，即SAz＝0。

根據(jù)式(1)所示球坐標(biāo)定義：

以及圖2中的幾何關(guān)系，由式(2)～式(5)可以獲得基于姿態(tài)信息αA的位點(diǎn)數(shù)據(jù)SA1x、SA1z、SA2x和SA2z：

圖2 0°俯仰角的天線信號(hào)覆蓋范圍在X-Z向的投影Fig.2 The 0°pitch angle model of signal radiation range in X-Z plane projection

根據(jù)圖2中的幾何關(guān)系和SA1x、TAz數(shù)據(jù)，由式(6)和式(7)可以獲得QAx和QAz：

由圖3所示，TA與QA的位置是相互關(guān)聯(lián)的，并進(jìn)一步結(jié)合圖4可知，在天線旋轉(zhuǎn)掃描過程中，TA將與QA1或者QA2重合，因此可知天線掃描地面測(cè)控站的距離或者時(shí)間由QA1QA2的弧長(zhǎng)決定，其平面示意圖可見圖5。而QA1QA2的弧長(zhǎng)由QA1QA2的距離lA所決定，QA1QA2的距離則是其Y向的距離，式(8)～式(12)構(gòu)建了由QA1和QA2兩個(gè)位點(diǎn)的x和z軸數(shù)據(jù)求解其對(duì)應(yīng)y軸數(shù)據(jù)以及距離lA：

天線掃描測(cè)控站的夾角如式(13)所示：

其中，vA表示OQA1的向量，eA表示X軸的單位方向向量。QA1QA2的弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓的半徑為式(14)：

圖3 天線信號(hào)覆蓋范圍的二維視圖Fig.3 Signal radiation range in 2D view

圖4 天線信號(hào)覆蓋范圍的三維視圖Fig.4 Signal radiation range in 3D view

圖5 0°俯仰角的天線信號(hào)覆蓋范圍在X-Y向的投影Fig.5 The 0°pitch angle model of signal radiation range in X-Y plane projection

則基于QA1QA2的距離lA和所對(duì)應(yīng)的圓半徑rA1即可確定天線信號(hào)覆蓋地面測(cè)控站的弧長(zhǎng)，也就可以進(jìn)一步得到天線信號(hào)覆蓋地面測(cè)控站的時(shí)長(zhǎng)。

2.2 正向俯仰角模型

空間中天線以錐形掃略地面測(cè)控站的X-Z向視圖如圖6所示，O代表天線(即航天器本體)所在的位置，天線繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)掃過地面測(cè)控站TB，αB表示天線的單向張角，即天線最大張角為2αB。地面測(cè)控站位于X軸夾角為θB的位點(diǎn)TB。天線信號(hào)在X-Z平面覆蓋的范圍為SB1SB2圍成的弧段，SB為天線信號(hào)覆蓋范圍的中線位置，OSB與X軸的夾角為φB。由TB向Z軸作垂線，與SB1SB2的交點(diǎn)為QB，對(duì)應(yīng)的等Z軸面的圓半徑為rB1。正向俯仰角模型表示天線信號(hào)覆蓋范圍的中線位置SB位于圓形的上半部，即SBz＞0。

圖6 正向俯仰角的天線信號(hào)覆蓋范圍在X-Z向的投影Fig.6 Positive pitch angle model of signal radiation range in X-Z plane projection

根據(jù)式(15)所示球坐標(biāo)定義：

根據(jù)圖6中的幾何關(guān)系，由式(16)～式(19)可以獲得基于姿態(tài)信息αB的位點(diǎn)數(shù)據(jù)SB1x、SB1z、SB2x和SB2z：

求取基于SB1和SB2的直線方程系數(shù)如式(20)～(21)：

根據(jù)圖6中的幾何關(guān)系，由式(22)可以獲得坐標(biāo)值QBz：

根據(jù)直線方程則由式(23)可以求得坐標(biāo)值QBx：

由于TB與QB的位置是相互關(guān)聯(lián)的，在天線旋轉(zhuǎn)掃描過程中，TB將與QB1或者QB2重合，因此可知天線掃描地面設(shè)備的距離或者時(shí)間由QB1QB2的弧長(zhǎng)決定，如其平面示意圖 7。而QB1QB2的弧長(zhǎng)由QB1QB2的距離lB所決定，QB1QB2的距離則是式(24)～(26)所示QB1QB2的Y向距離：

圖7 正向俯仰角的天線信號(hào)覆蓋范圍在X-Y向的投影Fig.7 Positive pitch angle model of signal radiation range in X-Y plane projection

天線信號(hào)覆蓋測(cè)控站的夾角為式(27)：

其中，vB表示OQB1的向量，eB表示X軸的單位方向向量。

如圖8所示，當(dāng)天線的接收范圍在＋Z向覆蓋較廣時(shí)，位于＋Z向的地面測(cè)控站將會(huì)全天候接收到天線的信號(hào)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)理判定條件為QBz＞SB2z；類似地，當(dāng)天線的接收范圍在-Z向覆蓋較廣時(shí)，位于-Z向的地面測(cè)控站將不會(huì)接收到天線的信號(hào)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)理判定條件為QBz＜SB1z。

圖8 正向俯仰角的特殊情況Fig.8 Special situation of positive pitch angle model

2.3 負(fù)向俯仰角模型

空間中天線以錐形掃略地面測(cè)控站的X-Z向視圖如圖9所示，O代表天線(即航天器本體)所在的位置，天線繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)掃過地面測(cè)控站TC，αC表示天線的單向張角，即天線最大張角為2αC。地面測(cè)控站位于X軸夾角為θC的位點(diǎn)TC。天線信號(hào)在X-Z平面覆蓋的范圍為SC1SC2圍成的弧段，SC為天線信號(hào)覆蓋范圍的中線位置，OSC與X軸的夾角為φC。由TC向Z軸作垂線，與SB1SB2的交點(diǎn)為QC，對(duì)應(yīng)的等Z軸面的圓半徑為rC1。負(fù)向俯仰角模型表示天線信號(hào)覆蓋范圍的中線位置SC位于圓形的下半部，即SCz＜0。

圖9 負(fù)向俯仰角的天線信號(hào)覆蓋范圍在X-Z向的投影Fig.9 Negative pitch angle model of signal radiation range in X-Z plane projection

根據(jù)式(28)所示球坐標(biāo)定義：

根據(jù)圖9中的幾何關(guān)系，由式(29)～式(32)可以獲得基于姿態(tài)信息αC的位點(diǎn)數(shù)據(jù)SC1x、SC1z、SC2x和SC2z：

求取基于SC1和SC2的直線方程系數(shù)如式(33)～(34)所示：

根據(jù)圖9中的幾何關(guān)系，由式(35)可以獲得坐標(biāo)值QCz：

根據(jù)直線方程則由式(36)可以求得坐標(biāo)值QCx：

由于TC與QC的位置是相互關(guān)聯(lián)的，在天線旋轉(zhuǎn)掃描過程中，TC將與QC1或者QC2重合，因此天線掃描地面測(cè)控站的距離或者時(shí)間由QC1QC2的弧長(zhǎng)決定，平面示意見圖 10。而QC1QC2的弧長(zhǎng)由QC1QC2的距離lC所決定，QC1QC2的距離則是如式(37)～(39)所示的QC1QC2的Y向距離：

圖10 負(fù)向俯仰角的天線信號(hào)覆蓋范圍在X-Y向的投影Fig.10 Negative pitch angle model of signal radiation range in X-Y plane projection

天線信號(hào)覆蓋地面測(cè)控站的夾角如式(40)所示：

其中vC表示OQC1向量，eC表示X軸的單位方向向量。

如圖11所示，當(dāng)天線的接收范圍在＋Z向覆蓋較廣時(shí)，位于＋Z向的地面接收站將不會(huì)接收到天線的信號(hào)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)理判定條件為QCz＞SC2z；類似地，當(dāng)天線的接收范圍在-Z向覆蓋較廣時(shí)，位于-Z向的地面測(cè)控站將全天候接收到天線的信號(hào)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)理判定條件為QCz＜SC1z。

圖11 負(fù)向俯仰角的特殊情況Fig.11 Special situation of negative pitch angle model

3 模型優(yōu)化

將遺傳算法應(yīng)用到天線信號(hào)覆蓋范圍的優(yōu)化問題中，對(duì)影響覆蓋范圍的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

3.1 優(yōu)化目標(biāo)

由建模分析可知，影響天線覆蓋范圍的因素為天線的波束角張角α和天線安裝的俯仰角φ。同時(shí)考慮三維空間中天線信號(hào)的重復(fù)覆蓋問題，還需考察在X-Y平面上天線安裝的偏擺角β。偏擺角β表示在X-Y平面上，天線信號(hào)覆蓋弧長(zhǎng)在等Z軸面圓弧上的移動(dòng)角度。因此，天線信號(hào)覆蓋范圍掃過第i個(gè)測(cè)控站的弧長(zhǎng)角度區(qū)間(ψ1，ψ2)i可以表示為式(41)所示波束角張角α、天線安裝的俯仰角φ和偏擺角β的函數(shù)：

由于航天器以勻速繞Z軸自轉(zhuǎn)，所以可以用天線信號(hào)覆蓋范圍掃過的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的角度來替代表達(dá)天線信號(hào)覆蓋范圍掃過的時(shí)長(zhǎng)。

在X-Z平面均布n個(gè)測(cè)控站，則可以觀測(cè)若干天線信號(hào)能夠覆蓋的總角度ψ如式(42)所示：

其中，函數(shù)fsyn的作用在于將位于同一個(gè)測(cè)控站下的3個(gè)天線的覆蓋范圍進(jìn)行綜合統(tǒng)計(jì)。

天線全天候完全覆蓋n個(gè)測(cè)控站的全部角度集合S可以表達(dá)為式(43)：

則評(píng)價(jià)天線信號(hào)覆蓋比率的指標(biāo)η可以表達(dá)為式(44)：

3.2 優(yōu)化參數(shù)和邊界

影響天線覆蓋范圍的關(guān)鍵參數(shù)為α、φ和β，α表示天線張角，是天線的固有屬性，因此一般是固定的。因此真正影響天線信號(hào)覆蓋范圍的參數(shù)是天線的布局安裝角度：俯仰角φ和偏擺角β，因此本文對(duì)3個(gè)天線的6個(gè)俯仰角和偏擺角參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。為了減少優(yōu)化數(shù)據(jù)計(jì)算量，且根據(jù)基本的天線布局規(guī)律，可以將優(yōu)化布局的3個(gè)天線的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化區(qū)域劃分，設(shè)定天線A的安裝角度優(yōu)化域?yàn)棣誂＝0°，βA∈[-90°，90°]；天線B的安裝角度優(yōu)化域?yàn)棣誃∈[0°，90°]，βB∈[0°，180°]；天線C的安裝角度優(yōu)化域?yàn)棣誄∈[-90°，0°]，βC∈[-180°，0°]，即3種優(yōu)化域分別對(duì)應(yīng)著0°俯仰角模型，正向俯仰角模型和負(fù)向俯仰角模型。由于在0°俯仰角模型中φA＝0°，因此實(shí)際優(yōu)化5個(gè)天線布局的關(guān)鍵參數(shù)。

3.3 算法參數(shù)

遺傳算法參見文獻(xiàn)[12]，本文中涉及的遺傳算法參數(shù)如見表1所示，包括種群規(guī)模M、個(gè)體基因長(zhǎng)度L、進(jìn)化次數(shù)(即迭代次數(shù))G，交叉率Pc和變異率Pm。種群規(guī)模M代表在每一次進(jìn)化(迭代)中，有M個(gè)優(yōu)化參數(shù)組合參與到進(jìn)化中；個(gè)體基因長(zhǎng)度L代表每個(gè)被編輯的基因的長(zhǎng)度，本文涉及五個(gè)優(yōu)化參數(shù)，則每一個(gè)優(yōu)化參數(shù)由L/5長(zhǎng)度的基因信息表達(dá)；進(jìn)化次數(shù)G表達(dá)的是進(jìn)化次數(shù)，多次迭代后，最優(yōu)結(jié)果穩(wěn)定，即可認(rèn)為進(jìn)化次數(shù)是足夠的；交叉率Pc代表的是基因以Pc的概率被選擇出來進(jìn)行交叉操作；變異率Pm代表的是基因以Pm的概率被選擇出來進(jìn)行變異操作。一般來說這個(gè)參數(shù)會(huì)小一些，因?yàn)樽儺惒恢罆?huì)使得個(gè)體會(huì)變優(yōu)還是會(huì)變差，但是一定的基因變異率可以加快找到最優(yōu)解。

表1 遺傳算法參數(shù)Table 1 Parameters of genetic algorithm

4 仿真及結(jié)果

4.1 仿真驗(yàn)證

基于以上建立的天線信號(hào)覆蓋范圍模型和優(yōu)化模型，在MATLAB中建立相應(yīng)的仿真程序。仿真算例中，天線的張角設(shè)定為120°，即單向張角α為60°，設(shè)定圖譜中橫坐標(biāo)表示地面測(cè)控站的分布角度θ為[90°， 80°， 70°， 60°， 50°， 40°， 30°， 20°，10°， 0°， -10°， -20°， -30°， -40°， -50°， -60°， -70°， -80°， -90°]；圖譜中縱坐標(biāo)表示天線信號(hào)覆蓋范圍(即代表信號(hào)通聯(lián)的時(shí)長(zhǎng))。仿真中設(shè)定基于0°俯仰角模型的天線安裝角φA＝0°，βA＝0°；基于正向俯仰角模型的天線安裝角φB＝20°，βB＝30°；基于負(fù)向俯仰角模型的天線安裝角φC＝-20°，βC＝-30°，則可以得到典型安裝布局狀態(tài)下，3種天線的信號(hào)覆蓋范圍譜圖，如圖12～14所示。

圖12 基于0°俯仰角模型的仿真Fig.12 Simulation based on 0°pitch angle model

圖14 基于負(fù)向俯仰角模型的仿真Fig.14 Simulation based on negative pitch angle model

仿真結(jié)果顯示，基于0°俯仰角模型的天線覆蓋范圍更多地集中在圖譜的中心位置區(qū)域，并大致呈現(xiàn)橢圓形狀；基于正向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的右側(cè)，并有部分位置測(cè)控站的信號(hào)通聯(lián)時(shí)長(zhǎng)是完全覆蓋的，即航天器任意旋轉(zhuǎn)姿態(tài)下都能獲得通聯(lián)信號(hào)；基于負(fù)向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的左側(cè)，并有部分位置測(cè)控站的信號(hào)通聯(lián)時(shí)長(zhǎng)是完全覆蓋的，即航天器任意旋轉(zhuǎn)姿態(tài)下都能獲得通聯(lián)信號(hào)。仿真結(jié)果表明，該結(jié)果與實(shí)際狀態(tài)一致，驗(yàn)證了模型和仿真程序的有效性。

4.2 優(yōu)化計(jì)算

本文設(shè)定19個(gè)均布的測(cè)控站，將天線信號(hào)覆蓋比率的指標(biāo)η的最大值作為優(yōu)化目標(biāo)，即在本體可見范圍內(nèi)天線的信號(hào)覆蓋比率。遺傳算法的優(yōu)化過程可見圖15，可以看到大概在進(jìn)化160次后，種群中的個(gè)體無論怎么進(jìn)化，最優(yōu)結(jié)果已經(jīng)不再變化了，此時(shí)可以認(rèn)為找到了最優(yōu)解。

圖15 遺傳算法的優(yōu)化過程Fig.15 Optimization process of genetic algorithm

最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的天線布局角度的參數(shù)為βA＝1.23°，φB＝65.36°，βB＝178.30°，φC＝-65.36°，βC＝-176.04°， 其對(duì)應(yīng)的η＝83.98%，覆蓋范圍圖譜如圖16所示。優(yōu)化結(jié)果顯示，優(yōu)化后的天線布局方案除了在圖譜的中上和中下部存在類三角形區(qū)域接收不到信號(hào)外，其他地方均能獲得良好的通聯(lián)時(shí)長(zhǎng)。相較于經(jīng)驗(yàn)布局參數(shù)βA＝0°，φB＝45°，βB＝135°，φC＝-45°，βC＝-135°，其對(duì)應(yīng)的η＝79.85%，提高了4.13%。

圖16 優(yōu)化后的三個(gè)天線信號(hào)覆蓋范圍Fig.16 Signal radiation range of three antennas after optimization

5 結(jié)論

1)基于理論模型的數(shù)值仿真計(jì)算顯示，基于0°俯仰角模型的天線覆蓋范圍更多地集中在圖譜的中心位置區(qū)域，并大致呈現(xiàn)橢圓形狀；基于正向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的右側(cè)；基于負(fù)向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的左側(cè)。

2)以3個(gè)天線信號(hào)覆蓋范圍最廣為優(yōu)化目標(biāo)，利用遺傳算法，優(yōu)化得到了最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的天線布局角度 的 參 數(shù) 為βA＝ 1.23°，φB＝ 65.36°，βB＝178.30°，φC＝-65.36°，βC＝-176.04°，其對(duì)應(yīng)的天線信號(hào)覆蓋比率η＝83.98%，優(yōu)化后的天線布局方案除了在圖譜的中上和中下部存在類三角形區(qū)域接收不到信號(hào)外，其他區(qū)域均能獲得良好的通聯(lián)信號(hào)。

3)本文的優(yōu)化方法可避免傳統(tǒng)的根據(jù)經(jīng)驗(yàn)布局天線并計(jì)算驗(yàn)證的方法的盲目性和局限性，為天線布局提供了理論基礎(chǔ)，提高了論證布局方案的效率，也可對(duì)更多或更少數(shù)量的天線進(jìn)行布局仿真和優(yōu)化。