《三角形的中位線》教學設計

宋聰艷

內容地位分析

本節(jié)內容選自北師大版《義務教育教科書·數(shù)學·八年級下冊》第六章第3節(jié)三角形的中位線。在此之前學習的全等三角形、平行四邊形的性質與判定是本節(jié)課的基礎。三角形中位線是繼三角形的角平分線、中線、高線后的第四種重要線段。三角形的中位線定理為證明線段的平行和線段的倍分關系提供了新的方法和依據(jù)，也為后續(xù)研究直角三角形斜邊上的中線的性質奠定了基礎，在實際生活中有著廣泛的應用。本節(jié)課“用平行四邊形研究三角形問題”（后續(xù)用矩形研究直角三角形問題），與之前的“用三角形研究四邊形問題”形成方法相呼應，積累幾何問題研究方法相互轉化的經(jīng)驗。為此，在教學中要重視滲透轉化的數(shù)學思想?！稊?shù)學課程標準》對本課的定位是探索并證明三角形的中位線定理。

學情分析

認知水平：在之前的學習中，學生多次經(jīng)歷了“探索—猜測—分析—證明”的過程，積累了一定的研究幾何圖形性質的經(jīng)驗。

班情分析：本班學生數(shù)學基礎知識比較扎實，具備了一定的動手操作、猜想驗證、推理證明的能力，但知識方法的遷移能力不夠強，運用數(shù)學思想方法解決問題的意識也相對不強。

因此，本節(jié)課著眼于基礎，注重能力的培養(yǎng)，鼓勵學生采用自主探究、合作學習的方式，先動手操作獲得體驗，再借助三角形的有關知識進行探索和證明，注重知識的遷移，同時重點滲透轉化的思想方法。

教學目標

知識技能：理解三角形的中位線概念，掌握三角形的中位線定理。

數(shù)學思考：通過學生經(jīng)歷三角形的中位線定理的探索發(fā)現(xiàn)過程，進一步發(fā)展學生的合情推理能力;通過引導學生分析發(fā)現(xiàn)幾何證明思路的教學過程，進一步發(fā)展學生分析問題、解決問題能力;通過學生規(guī)范地表述三角形的中位線定理的證明的教學與評價，進一步發(fā)展學生演繹推理能力。

問題解決：能證明三角形的中位線定理，能應用三角形的中位線定理進行有關的計算和證明。

教學重點

掌握三角形的中位線定理。

教學難點

發(fā)現(xiàn)三角形的中位線定理，發(fā)現(xiàn)證明三角形的中位線定理的輔助線。

教學過程設計

一、設置情境，動手思考

1.做一做

能將一張三角形紙片剪成面積相等的兩部分嗎？能剪成面積相等的四部分嗎？有哪些方法？

2.議一議

能將一張三角形紙片剪成全等的四個三角形嗎？先與同伴交流，再動手操作。

【設計意圖】教科書直接要求將一張三角形紙片剪成四個全等的三角形，這對于學生來說非常不容易。為了幫助學生找到解決該問題的方法，于是設計了做一做的活動作為鋪墊。

二、嘗試引導，發(fā)現(xiàn)特征

1.學生交流“議一議”的內容。

2.在學生交流后，出示小明是這樣做的：

如圖1，在△ABC的紙片中，取各邊的中點D、E、F，分別沿DE、EF、DF剪開，得到了四個三角形。

【設計意圖】安排了做一做，學生也可能無法解決議一議。為此，設計小明的做法作為學生效仿嘗試。

3.試一試：按照小明的做法，得到的四個三角形全等嗎？你是怎么判斷的？

4.想一想：線段DE、EF、DF有什么共同的特征？

5.歸納：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

【設計意圖】從試一試中，得到四個全等的三角形。學生會產生想知道為什么的欲望，引發(fā)對三條線段特征的關注，從而歸納得到三角形中位線的定義。

三、引申操作，做好鋪墊

1.議一議

能將一張三角形紙片剪拼成一個與其面積相等的平行四邊形嗎？想一想，能從上述動手操作中得到什么啟發(fā)？

2.做一做

按如下小明的操作做一做：

（1）剪一個三角形紙片，記為△ABC;

（2）分別取AB、AC中點D、E，連接DE;

（3）沿DE將△ABC剪成兩部分，并將△ADE繞點E旋轉180°，拼成四邊形DBCG，如圖2所示。

【設計意圖】這個設計是為分析三角形的中位線定理的證明思路作準備的。

四、探索猜想，分析證明

1.議一議

將一張三角形紙片剪成全等的四個三角形，并驗證全等的活動中，你發(fā)現(xiàn)了什么？與同伴交流。

教師引導：

提示1.三個三角形全等時，請觀察三條中位線分別與什么對應？由此，你能得出什么結論？

提示2.觀察圖1，你能猜想中位線DE與邊BC的位置有什么關系？

2.想一想

三角形的中位線有哪些特征？

3.證一證

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

已知：如圖3，DE是△ABC的中位線。

求證：DE∥BC，DE=■BC

分析：1.這個問題的證明結論有什么特征？

2.怎樣才能實現(xiàn)證明兩個結論？

3.上述活動中，“將一張三角形紙片剪拼成一個與其面積相等的平行四邊形”能給你什么啟發(fā)？與同伴交流。

【設計意圖】引導學生學會分析證明思路，是培養(yǎng)學生分析問題、提升推理能力的有效途徑。第3問正是之前剪拼活動的延續(xù)。

學生自主完成證明，并板演后，教師組織學生進行講評，并寫出規(guī)范的證明過程。

證明：如圖4，延長DE到F，使EF=DE，連接CF。

∵DE是△ABC的中位線，

∴AE=CE，AD=BD。

在△ADE和△CFE中

∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，

∴△ADE≌△CFE。

∴∠A=∠ECF，AD=CF。

∴CF∥AB，BD=CF。

∴四邊形DBCF是平行四邊形。

∴DF∥BC，DF=BC。

∵DE=EF，

∴DE∥BC，DE=■BC。

4.歸納

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

【設計意圖】學生通過動手體驗、分析特征、猜想結論、分析證明、歸納形成定理，進一步發(fā)展了學生的合情推理和演繹推理能力。考慮到教學時間的因素，定理證明的多種方法不在課內進行。

五、應用提升，解決問題

練一練

1.根據(jù)圖中的條件，填空。

（1）如圖（a），點D、E分別為AB和AC的中點，DE=5，則BC= ? ?。

（2）如圖（b），點D、E、F分別為AB、AC、BC中點，AC=8，∠C=70°，則DF= ? ?，∠EDF= ? ?。

（3）如圖（c），點D、E、F分別為AB、AC、BC中點，若△DEF的周長為10cm，則△ABC的周長為 ? ?;若△ABC的面積等于20cm，則△DEF的面積為 ? ?。

2.已知三角形的三邊長分別為8cm，10cm，12cm，求三角形的三條中位線的長？

變式：如圖5，A1、B1、C1分別為△ABC的三邊中點，若△ABC的周長為a，則△A1B1C1的周長為 ? ?;A2、B2、C2分別為△A1B1C1的各邊中點，A3、B3、C3分別為△A2B2C2的各邊中點，…，An、Bn、Cn分別為△An-1Bn-1Cn-1的各邊中點，則AnBnCn的周長為 ? ?.

【設計意圖】簡單的應用是為了幫助學生及時鞏固所學的知識。

范例教學

例1 如圖6，任意畫一個四邊形ABCD，以四邊的中點為頂點組成一個新四邊形EFGH，問四邊形EFGH的形狀有什么特征？并給出證明。

已知：如圖6，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點。

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

分析：1.你能證明你的結論嗎？

2.你是怎樣想到要連接AC的？

解答（略，見課本）

【設計意圖】在四邊形的邊上有中點時，連接對角線，構成三角形，將四邊形問題轉化為三角形問題。先鼓勵學生猜測新四邊形的形狀，再思考如何證明。引導學生添加輔助線，再利用三角形中位線定理以及平行四邊形的判定定理進行證明，體會通過添加輔助線將四邊形問題轉化為三角形問題，進一步滲透轉化思想。

聯(lián)系生活實際

3.如圖7，A、B兩點被池塘隔開，在沒有任何測量工具的情況下，小明通過下面的方法估測出了A、B間的距離：先在AB外選一點O，然后步測出AO和BO的中點C、D，并測出CD的長，由此他知道了A、B兩點的距離。你能說說其中的道理嗎？

六、引導總結，布置作業(yè)

議一議

1.本節(jié)課你學到了什么？

2.我們是怎樣發(fā)現(xiàn)三角形的中位線定理的？

3.我們是怎樣分析找到證明三角形的中位線定理的思路？

4.對三角形中位線定理證明，你還有別的證法嗎？

布置作業(yè)

必做題：課本P152習題6.6 第1、2、3題。

選做題：

1.請你想出兩種三角形的中位線定理的不同證法，并寫出證明過程。

2.請你找出生活中使用三角形的中位線的例子，并以此為背景編成一道題。