基于空間約束的模糊C均值聚類肝臟CT圖像分割

王榮淼 張峰峰 詹蔚 陳軍 吳昊

摘 要：傳統(tǒng)模糊C均值（FCM）聚類算法應用于肝臟CT圖像分割時僅考慮像素本身特征，無法解決灰度不均勻造成的影響以及肝臟邊界模糊造成的邊界泄露的問題。為解決上述問題，提出一種結(jié)合空間約束的模糊C均值（SFCM）聚類分割算法。首先，使用二維高斯分布函數(shù)構(gòu)建卷積核，利用該卷積核對源圖像進行空間信息提取得到特征矩陣;然后，引入空間約束懲罰項，更新并優(yōu)化目標函數(shù)得到新的迭代方程;最后，通過多次迭代，完成對肝臟CT圖像的分割。實驗結(jié)果表明，SFCM算法分割具有灰度不均勻和邊界粘連的肝臟CT圖像時得到的肝臟輪廓形狀更加規(guī)則，準確率達到92.8%，比FCM和直覺模糊C均值（IFCM）算法的分割準確率分別提升了2.3和4.3個百分點，過分割率分別降低了4.9和5.3個百分點。

關鍵詞：模糊C均值算法;空間約束;圖像分割;肝臟CT;灰度不均勻;邊界泄露

中圖分類號：TP317.4

文獻標志碼：A

Liver CT images segmentation based on fuzzy Cmeans clustering with spatial constraints

WANG Rongmiao1， ZHANG Fengfeng1，2*， ZHAN Wei3， CHEN Jun1， WU Hao1

1. College of Mechanical and Electrical Engineering， Soochow University，Suzhou Jiangsu215131， China;

2. Collaborative Innovation Center of Suzhou Nano Science and Technology， Soochow University， Soochow Jiangsu 215123， China;

3.The First Affiliated Hospital of Soochow University， Suzhou Jiangsu215006， China

Abstract：

Traditional Fuzzy CMeans （FCM） clustering algorithm only considers the characteristics of a single pixel when applied to liver CT image segmentation， and it can not overcome the influence of uneven gray scale and the problem of boundary leakage caused by blurred liver boundary. In order to solve the problems， a Spatial Fuzzy CMeans （SFCM） clustering segmentation algorithm combined with spatial constraints was proposed. Firstly， the convolution kernel was constructed by using twodimensional Gauss distribution function， and the feature matrix could be obtained by using the convolution kernel to extract the spatial information of the source image. Then， the penalty term of spatial constraint was introduced to update and optimize the objective function to obtain a new iteration equation. Finally， the liver CT image was segmented by using the new algorithm. As shown in results， the shape of liver contour splited by SFCM is more regular when segmenting liver CT images with gray unevenness and boundary leakage. The accuracy of SFCM reaches 92.8%， which is 2.3 and 4.3 percentage points higher than that of FCM and Intuitionistic Fuzzy CMeans （IFCM）. Also， oversegmentation rate of SFCM is 4.9 and 5.3 percentage points lower than that of FCM and IFCM.

Key words：

Fuzzy Cmeans （FCM） algorithm; spatial constraint; image segmentation; liver CT; gray unevenness; boundary leakage

0?引言

醫(yī)學圖像分割一直以來都是一個具有挑戰(zhàn)性的研究課題，在計算機輔助診斷和科學研究中占據(jù)著重要的地位。準確并且有效地從CT圖像中分割出肝臟組織是肝臟三維可視化技術中的關鍵[1]。CT圖像不可避免地存在有噪聲并且具有灰度不均勻等特點，使得CT圖像分割本身具有難度[2]。此外肝臟具有復雜的解剖結(jié)構(gòu)，與多個軟組織器官相毗鄰，輪廓大小隨著切片變化，形狀也各不相同，使得肝臟圖像分割成為一項具有挑戰(zhàn)性的任務[3-4]。

模糊C均值（Fuzzy CMeans， FCM）算法是一種基于灰度信息的無監(jiān)督聚類算法，具有實現(xiàn)簡單、運算速度快的優(yōu)點，被廣泛運用于醫(yī)學圖像分割領域[5-6]。傳統(tǒng)的FCM算法在圖像分割過程中很難濾除噪聲的影響，導致分割結(jié)果不夠理想。鑒于上述問題，研究者采取了兩類方式來優(yōu)化FCM算法。第一種是在模糊隸屬度概念上進一步做擴展。Chaira 等[7]考慮到像素在分類時存在不確定性因素，使用單一的隸屬度無法準確描述該不確定信息，因此引入直覺模糊集作為擴展得到直覺模糊C均值（Intuition Fuzzy Cmeans， IFCM）算法，利用猶豫度來描述該不確定信息，結(jié)果表明單個像素被更準確地劃分，圖像細節(jié)也被完整地保留。另一種優(yōu)化是在FCM算法的基礎上結(jié)合鄰域空間信息以增強對圖像中噪聲以及灰度不均勻的魯棒性： Mohamed等[8]使用模糊邏輯估計強度不均勻性，利用鄰域信息作為正則化項來優(yōu)化FCM算法中的目標函數(shù)從而補償圖像強度不均勻性，該方法很好地克服了椒鹽噪聲的影響; Chen等[9]在Mohamed的基礎上對算法作出計算優(yōu)化并且提出了利用空間信息為約束、以內(nèi)核誘導距離代替?zhèn)鹘y(tǒng)算法以歐氏距離為測度的FCM優(yōu)化算法，從而達到抗噪聲的效果; Zheng等[10]用自適應的局部窗口計算的鄰域信息代替圖像的全局信息優(yōu)化了基于鄰域信息的FCM算法，但是自適應窗口的實現(xiàn)復雜度較高; Li等[11]在FCM目標函數(shù)中增加了偏差場正則化項來解決圖像灰度不均勻帶來的影響，但是迭代過程中需要額外更新偏差場，增加了計算量。

上述算法在抗噪聲方面有較為優(yōu)秀的表現(xiàn)，在一定程度上保持圖像細節(jié)信息并且具有抗灰度不均勻的效果，但是在分割具有大范圍軟組織粘連、邊界輪廓模糊和灰度不均勻特點的肝臟CT圖像時仍存在欠分割和過分割的缺陷。為解決這些問題并且降低算法計算的復雜度，提出一種融合了空間約束的模糊C均值聚類算法。該算法構(gòu)造新的卷積核提取空間約束信息，為目標函數(shù)增添新的約束項，實現(xiàn)了對肝臟CT圖像更精確的分割。

1?傳統(tǒng)FCM算法原理

模糊C均值聚類算法是由Bezdek[12]于1973年首先提出，是硬C均值聚類（Hard CMeans， HCM）的一種增廣，兩種算法都屬于無監(jiān)督學習算法。假定存在數(shù)據(jù)集Nx={x1，x2，…，xn}代表圖像的n個像素點，將這些數(shù)據(jù)歸成c類則存在c（c≥2）個聚類中心，定義FCM的目標函數(shù)（1）以及約束方程（2）：

Jm（U，V）=∑ci=1∑nk=1umikd2（xk，vi）（1）

∑ci=1uij=1; j=1，2…，n （2）

式（1）中：U代表隸屬度矩陣，uik代表樣本xk對第i個聚類中心的隸屬度，并且滿足單個像素點對所有聚類中心的隸屬度和為1; m代表聚類隸屬度的權重因子，一般取值為2;d2（xk，vi）代表樣本點和聚類中心的歐氏距離‖xk-vi‖2，圖像處理中距離體現(xiàn)為像素差值的平方。利用拉格朗日乘數(shù)法導出迭代公式：

uik=1/∑cj=1dikdjk2m-1; k=1，2，…，n （3）

vi=∑nk=1（uik）mxk∑nk=1（uik）m; i=1，2，…，c（4）

FCM算法的迭代運算步驟和EM（Expectation Maximization）算法[13]類似，交叉運算依次更新uik和vi來降低目標函數(shù)J值，當?shù)螖?shù)達到預設的循環(huán)次數(shù)或者滿足預先設置的閾值條件‖vk+1-vk‖≤ε時則停止迭代。

2?基于空間約束的模糊C均值聚類算法

現(xiàn)有的FCM算法通過引入鄰域信息，使得算法在具有抗噪聲能力的同時仍能在一定程度上保持圖像細節(jié)信息，但是在處理邊緣模糊、灰度不均的圖像時仍存在缺陷，而且每次迭代運算過程中重新計算鄰域信息也增加了計算量。本文在已有算法的基礎上，將空間約束信息融入到FCM算法中，定義新的模糊目標函數(shù)：

Jm（U，V）=∑ci=1∑Nk=1umik‖xk-vi‖2+α∑ci=1∑Nk=1umik∑r∈Nk‖βrxr-vi‖2（5）

m是模糊權重指數(shù)，NK是以xk為中心的鄰域像素集合，xr是集合NK中的元素，βr是對應xr的權重值，α是空間信息懲罰項的影響系數(shù)，如果α=0那么該目標函數(shù)就退化成為FCM算法的目標函數(shù)。鄰域像素權重值βr使用二維高斯分布函數(shù)確定，公式如下：

βr（x，y）=12πσ2exp（-x2+y22σ2）（6）

式中（x，y）是鄰域像素相對于錨點的坐標。算法運行過程中，每次迭代都要計算目標像素以及其鄰域像素到聚類中心的距離，加大了計算的復雜度。考慮到這一點，初始化過程中利用二維高斯分布函數(shù)構(gòu)建卷積核β，并將權重值作歸一化處理，然后利用該卷積核對源圖像做卷積得到新的空間信息矩陣。由于二維高斯分布函數(shù)是旋轉(zhuǎn)對稱的，利用該卷積核作空間信息提取不僅可以達到平滑圖像的效果，而且各個方向上的有相同的平滑程度，圖像的邊緣走向也不會被改變，卷積過程中錨點像素不會受到距離錨點較遠的像素的影響，也保證了局部特征和邊緣特性。根據(jù)得到的空間信息矩陣，將上述目標函數(shù)簡化為：

Jm（U，V）=∑ci=1∑nk=1umik‖xk-vi‖2+α∑ci=1∑nk=1umik‖Xk-vi‖2（7）

利用卷積核對源圖像進行滑動步長為1、邊界補充模式為same的卷積處理后得到空間信息約束矩陣X，Xk是X中對應像素點xk位置的值。由于X已經(jīng)預先計算所以無需在迭代過程中再計算，通過查詢索引就能得到約束值Xk，從而大幅加快了運算速度。上述目標函數(shù)仍滿足單個樣本對所有聚類中心的隸屬度和為1的條件，為最小化目標函數(shù)，利用拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造關于uik和vi的方程：

F=∑ci=1∑nk=1umik‖xk-vi‖2+

α∑ci=1∑nk=1umik‖Xk-vi‖2+λ（∑ci=1uik-1）（8）

展開后分別對vi和uik求導得到以下兩式：

Fvi=∑nk=1-2umik（（xk-vi）+（Xk-vi））（9）

Fuik=m（‖xk-vi‖2+α‖Xk-vi‖2）um-1ik+λk（10）

使兩項偏導數(shù)為0，聯(lián)立約束方程可以解得：

vi=∑nk=1umik（xk+αXk）（1+α）∑nk=1umik（11）

uik=（‖xk-vi‖2+α‖Xk-vi‖2）-1m-1∑cj=1（‖xk-vj‖2+α‖Xk-vj‖2）-1m-1（12）

式（11）、（12）分別為聚類中心和隸屬度矩陣的迭代表達式。更新后的算法步驟如下：

步驟1?初始化權重矩陣U、聚類中心數(shù)c、迭代停止閾值ε、懲罰項影響系數(shù)α;

步驟2?對源圖像進行步幅為1、邊界補充模式為same的卷積得到新的空間約束信息矩陣X;

步驟3?利用式（11）更新聚類中心v;

步驟4?利用式（12）更新模糊隸屬度矩陣u;

步驟5?如果‖vk+1-vk‖≤ε或者迭代次數(shù)達到設定次數(shù)則算法終止;否則重復步驟3和步驟4。

3?實驗結(jié)果與分析

3.1?實驗結(jié)果

實驗以肝臟CT為研究對象，圖像來源于蘇州大學附屬第一醫(yī)院放射科，切片厚度為1mm，圖像大小為512×512，處理之前先將調(diào)窗寬調(diào)整為200，窗位調(diào)整為45，然后將dicom格式的圖像轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像矩陣。為驗證有效性，將SFCM算法與傳統(tǒng)FCM算法、直覺模糊C均值算法在不同切片下進行了性能比較，GT（Ground Truth）圖像是由放射科醫(yī)師手動分割得到的。實驗中所有算法設置聚類中心數(shù)為c=4，停止閾值ε=0.001，最大迭代次數(shù)為100，模糊權重指數(shù)m=2，懲罰項影響系數(shù)α=0.7，空間信息卷積模板大小為3×3。

圖1中圖（a）肝臟和腎臟相毗鄰，并且和脂肪組織有少量相連。從圖（b）和（c）中可以看出，F(xiàn)CM和IFCM算法左側(cè)邊界存在錯分割的現(xiàn)象，右下肝臟和腎臟相粘連的部分灰度值高度相似，兩種算法均未能正確分割;從圖（d）中可以看出SFCM算法能夠有效地將腎臟和肝臟區(qū)分開來，并且和脂肪組織相毗鄰的部位較為平滑，但是分割出的實質(zhì)中仍存在少量空洞。

圖2（a）中肝臟與脂肪組織大量粘連，灰度差較小，肝臟實質(zhì)部分亮度較高而且灰度不均勻，右下角有亮度較低的腫瘤病變跡象。圖2（b）是利用FCM原始算法進行分割得到的結(jié)果，可以看出FCM算法能夠?qū)⒋蟛糠值母闻K實質(zhì)分割出來。雖然肝臟實質(zhì)部分灰度不均勻，但是由于聚類標準簡單并且分類數(shù)較少，得到的實質(zhì)部分較為平滑，從而有良好的抗噪聲和抗灰度不均勻效果，但是左右兩側(cè)均有嚴重的邊界泄露現(xiàn)象。圖2（c）是利用直覺模糊C均值算法分割得到的結(jié)果，左右兩側(cè)邊界泄露的情況明顯減輕。由于沒有利用圖像的空間信息關系，算法未能克服灰度不均勻的問題，得到的肝臟實質(zhì)掩膜中出現(xiàn)大量的空洞，為圖像的二次處理帶來了困難。圖2（d）是利用本文算法分割圖像得到的結(jié)果，輪廓邊界較為平滑，邊界泄露的情況基本消失，肝臟實質(zhì)區(qū)域的空洞明顯減少，但是相比較圖2（a）而言，邊緣部分仍存在欠分割的情況。

3.2?評價指標與誤差分析

在掩膜圖像的基礎上，本文引入非歐氏距離度量Dice[13]、過分割率（Over segmentation Rate， OR）、欠分割率（Under segmentation Rate， UR）三個指標來定量計算并且評估分割效果，如式（13）、（14）、（15）所示，計算結(jié)果如表1所示。Dice是醫(yī)學圖像分割中常見的精度評價指標，式中A、B分別代表專家分割結(jié)果和實際算法分割結(jié)果。OR和UR是從側(cè)面評估算法邊界分割的準確程度; OR值大說明過分割，欠分割時UR值較大，式中Rs=A、Os=|B|-|A∩B|、Us=|A|-|A∩B|。

Dice=2|A∩B||A|+|B|（13）

OR=OsRs+Os（14）

UR=UsRs+Os（15）

對表1的數(shù)據(jù)進行分析可以得出： FCM算法有較高的分割精度，但是由于存在嚴重的邊界泄露現(xiàn)象，有較大的過分割率，相反來說其欠分割率應該較小，表中UR值符合該規(guī)律;IFCM算法的分割精度較低，但是過分割率大幅度降低，基本與欠分割率達相持平;SFCM的分割精度相比FCM算法提高了2.3個百分點，相比IFCM算法提高了4.3個百分點，但是在小幅度提升欠分割率的條件下，過分割率相比FCM和IFCM算法分別降低了4.9和5.3個百分點，綜上所述基于空間信息的SFCM算法分割性能最好。

雖然SFCM算法的過分割率和欠分割率已經(jīng)降至較低水平，但是在精度上并沒有大幅度提升，主要是由于肝臟組織較為復雜，病變和某些輪廓部位存在的灰度極不均勻的情況不能完全解決。GT圖像與三種算法分割的邊界輪廓比較如圖3所示，可以清楚看出醫(yī)師手動勾勒出灰度值較大部分，而三種算法在該部位均未能成功分割。相對于其他兩種算法來說，本文算法將該灰度值較大的部分全部排除在外，所以該處的缺口較大，分割精度因此受到影響。

3.3?SFCM算法參數(shù)討論

SFCM算法在FCM算法的基礎上增添了空間約束項，在繼承聚類中心數(shù)c和模糊權重指數(shù)m的基礎上將空間約束項影響系數(shù)α作為新的超參數(shù)。實驗中算法的模糊權重指數(shù)[14-16]根據(jù)經(jīng)驗設置為2，聚類中心數(shù)c設置為4，空間約束項影響系數(shù)α設置為0.7，分割圖像得到的肝臟輪廓清晰且實質(zhì)部分較為平滑，邊界泄露的現(xiàn)象較少，分割效果最好。

圖4是在上述參數(shù)的條件下用SFCM算法對不同切片序列進行分割得到的結(jié)果，可以看出SFCM算法均能有效分割出肝臟實質(zhì)部分，驗證了算法參數(shù)的通用性。

4?結(jié)語

針對肝臟CT圖像分割中算法對灰度不均勻敏感以及分割結(jié)果存在邊界泄露的問題，在FCM算法的基礎上提出具有空間約束的模糊C均值聚類算法。該算法在原有目標函數(shù)的基礎上增添了空間約束項，使用二維高斯分布函數(shù)預先提取CT圖像中的空間信息和邊界輪廓特征來加速迭代運算過程。實驗分析表明利用SFCM算法分割出的肝臟圖像，在噪聲干擾和灰度不均勻的條件下有足夠的魯棒性，過分割和欠分割程度有效降低，分割精度也有所提高，能夠有效防止弱邊緣泄露，分割結(jié)果有清晰的邊界輪廓。

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This work is partially supported by the National High Technology Research and Development Program of China （2015AA043201）

WANG Rongmiao， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include medical image processing， three dimensional visualization.

ZHANG Fengfeng， born in 1979， Ph. D.， associate professor. His research interests include medical robot， virtual surgery simulation.

ZHAN Wei， born in 1981， M. S.， engineer. His research interests include radiotherapy of tumors.

CHEN Jun， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include virtual reality technology and simulation.

WU Hao， born in 1995， M. S. candidate. Her research interests include virtual surgery simulation.