基于云綜合方法的三支群決策模型

李帥 王國胤 楊潔

摘 要：在三支決策問題中，領域專家群決策是一種確定損失函數(shù)的最直接方法。相較于體現(xiàn)單一不確定性的語言變量模型和模糊集模型，云模型描述的專家評價更能夠反映認知過程中復雜的不確定性形式，并能通過云綜合的方法獲得綜合評價函數(shù)。但當前的云綜合方法僅對數(shù)字特征進行簡單的線性組合，缺乏對概念語義差異上的描述，難以獲得令人信服的結果。因此首先證明了在云模型的距離空間中賦權距離和是一個凸函數(shù)，并將綜合云模型定義為此函數(shù)的最小值點。然后，將該定義推廣到多個云模型的場景下，提出了一種新的云綜合方法——基于密度中心的云綜合方法。群決策過程中，該方法在保證綜合評價與基礎評價之間的相似度最高的同時獲得最精確的綜合評價，為損失函數(shù)的確定提供了一種新的語義解釋。實驗結果表明，在與簡單線性組合和合理粒度方法對比中，該方法所確定的損失函數(shù)使得三支決策中的誤分類率最低。

關鍵詞：云綜合;云模型;群決策;三支決策

中圖分類號：TP391.1;TP181

文獻標志碼：A

Threeway group decisions model based on cloud aggregation

LI Shuai1，2， WANG Guoyin1*， YANG Jie1

1.Chongqing Key Laboratory of Computational Intelligence（Chongqing University of Posts and Telecommunications）， Chongqing 400065， China;

2.School of Mathematics and Information Science， Nanchang Hangkong University， Nanchang Jiangxi 330063， China

Abstract：

Group decision making of domain experts is the most direct approach to determine loss function in threeway decision problems. Different from linguistic variable model and fuzzy set model with single uncertainty， expert evaluations described by cloud model can reflect the complex uncertainty form in cognitive process， and the synthetic evaluation function can be obtained by cloud aggregation. However， numerical characteristics only are performed simple linear combination in current cloud aggregation methods， leading the lack of the description of concept semantic differences and the difficulty to obtain convincing results. Therefore firstly， the weighted distance sum was proved to be a convex function in the distance space of cloud model. And the aggregational cloud model was defined as the minimum point of that function. Then， this definition was generalized to the multicloud model scenario， and a cloud aggregation method namely density center based cloud aggregation method was proposed. In group decision making， the proposed method obtains the most accurate synthetic evaluations with the highest similarity between synthetic evaluation and basic evaluation， providing a novel semantic interpretation of the determination of loss function. The experimental results show that the misclassification rate of the threeway decision with loss function determined by the proposed method is the lowest compared with simple linear combination and rational granularity methods.

Key words：

cloud aggregation; cloud model; group decision making; threeway decisions

0?引言

在實際問題中，通常會遇到三支決策的問題。與一般的決策問題不同，它將結果分為接受、延遲和拒絕三種決策方案，被廣泛地應用在垃圾郵件分類[1]、推薦系統(tǒng)[2]、風險投資[3-4]等領域。決策粗糙集作為Pawlak粗糙集的推廣形式為三支決策奠定了理論基礎，借鑒了貝葉斯決策理論，通過引入損失函數(shù)，為三支決策提供了決策規(guī)則。損失函數(shù)的確定是三支決策過程的一個關鍵步驟，許多研究者在這方面做了大量的工作[5-8]， 其中，最直接有效的方法就是由領域專家直接給出損失函數(shù)，但該過程中的不確定性又給決策帶來了新問題。

第一個問題是如何量化或描述專家評價的不確定性。當前，處理知識的不確定性仍然是人工智能領域的一大挑戰(zhàn)。不確定性是人類認知的固有屬性，同時也是知識表達的一大障礙。這包含了兩個原因：一是由于個人的閱歷不同，對同樣概念的理解不同;另一方面，由于思考的方式不同，對同一概念的表達方式不同。例如，當被問到“年輕人”這個概念時，20歲的小王認為18～25歲是年輕人，而34歲的小李則認為35歲以下是年輕人;反過來，當被問到誰是年輕人時，小李會說自己和小王，但小王可能只會說自己。這兩個方面的認知過程分別體現(xiàn)為從外延到內涵的抽象和從內涵到外延的具象，并被合稱為雙向認知過程。從例子中可以看出，雙向認知過程中的不確定性現(xiàn)象更為復雜。作為一種重要的認知計算模型，云模型[9-11]可以通過正向云變換（Forward Cloud Transformation， FCT）與逆向云變換（Backward Cloud Transformation， BCT）對雙向認知過程中的不確定性進行描述，它不僅體現(xiàn)了人類認知過程中的隨機性和模糊性，還反映了二者之間的聯(lián)系，被廣泛地應用在人工智能的各個領域[12-16]。

第二個問題是如何獲得客觀或有說服力的專家評價。專家基于領域的熟悉程度進行評價，受個人感官及心理素質影響較大，在實際應用中往往缺乏說服力。一般采用兩種辦法解決這一問題： 第一，使用語言變量或模糊集進行評價[17]。在基于語言變量的決策中，專家只需提供對對象的語言描述而不是一個精確數(shù)值，這讓評價更貼近現(xiàn)實，便于操作。第二，對多個專家評價進行融合。使用逼近理想點排序法 （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution， TOPSIS）、層次分析法（Analytic Hierarchy Process， AHP）以及聚合函數(shù)等方法對專家的評價進行融合。由于語言變量只能描述評價中的模糊性，不能描述隨機性。因此，文獻[17-18]將語言評價模型轉化為云模型進行決策。云模型可以方便地實現(xiàn)雙向認知過程，并通過雙向云變換反映這一過程的隨機性和模糊性。在基于云模型的群決策中，云綜合是融合專家知識的關鍵步驟，但當前的云綜合普遍缺乏具體的意義。在群決策中，一方面我們希望得到的綜合評價是所有基礎評價中的一種“折中”方案，即綜合評價到所有基礎評價的加權距離和最小;另一方面，從粒認知計算的角度來看，群決策又是一個數(shù)據(jù)?；倪^程。按照合理?；禺愋裕╯pecificity）原則[19]，希望得到的綜合評價越精確越好。因此，需要設計一種滿足上述需求的融合方法。

本文在云模型表達的專家評價基礎之上，從概念的相似性度量出發(fā)，通過最小化綜合評價與基本評價之間的賦權距離，定義了一種新的云綜合方法——基于密度中心的云綜合方法。該方法在通過優(yōu)化目標函數(shù)保證綜合評價與基本評價之間的相似度最高的同時，使得綜合評價最精確，并為損失函數(shù)提供了一種新的語義解釋。實驗證明，該方法所確定的損失函數(shù)在三支決策中能得到更好的效果。

1?相關工作

1.1?決策粗糙集

首先簡要介紹決策粗糙集。針對經(jīng)典決策粗糙集模型缺乏容錯能力的問題，Yao[20-22]結合貝葉斯決策理論[23]和Pawlak粗糙集建立了基于決策粗糙集的三支決策模型。從粗糙集角度上看，模型由狀態(tài)集和決策動作集組成， 其中，狀態(tài)集Ω={C，C}表示對象屬于集合C或不屬于集合C;決策動作集A={aP，aB，aN}分別表示將目標對象x分類到正域POS（C）、邊界域BND（C）和負域NEG（C）的決策動作。在三支決策理論中，也將這三種決策動作分別稱為接受、延遲和拒絕[22，24-25]。從貝葉斯決策角度上看，對于不同狀態(tài)進行不同決策動作會帶來6種相應的決策代價或損失，如表1所示。

表1中λPP，λBP，λNP分別表示目標概念C中對象采取aP，aB，aN三種決策動作產(chǎn)生的決策代價或損失;λPN，λBN，λNN分別表示目標概念C以外的對象采取aP，aB，aN三種決策動作產(chǎn)生的決策代價或損失。6個決策代價或損失滿足下列不等式：

λPP≤λBP<λNP（1）

λNN≤λBN<λPN（2）

式（1）表示對一個屬于目標概念C的對象x作出接受決策的損失小于或等于對其作出延遲決策的損失，而這兩種損失又小于對其作出拒絕的損失;反之，式（2）表示對不屬于目標概念的對象x作出拒絕決策的損失小于等于對其作出延遲決策的損失，而這兩種損失又小于對其作出接受決策的損失。

條件概率Pr（C|[x]）定義為將對象x劃分到目標概念C的概率，[x]表示對象x所屬等價類。對對象x作出不同決策動作所產(chǎn)生的損失表示如下：

R（aP|[x]）=λPPPr（C|[x]）+

λPNPr（C|[x]）

R（aB|[x]）=λBPPr（C|[x]）+

λBNPr（C|[x]）

R（aN|[x]）=λNPPr（C|[x]）+

λNNPr（C|[x]）（3）

Yao[22，24]依據(jù)貝葉斯決策理論中的風險最小規(guī)則，比較式（3）中三種決策的損失，對對象x作出損失最小的決策：

（P）?若R（aP|[x]）≤R（aB|[x]）且R（aP|[x]）≤R（aN|[x]），則作出接受決策，即x∈POS（C）;

（B）?若R（aB|[x]）≤R（aP|[x]）且R（aB|[x]）≤R（aN|[x]），則作出延遲決策，即x∈BND（C）;

（N）?若R（aN|[x]）≤R（aP|[x]）且R（aN|[x]）≤R（aB|[x]），則作出拒絕決策，即x∈NEG（C）。

上述（P）～（N）的決策規(guī)則被稱為正規(guī)則、邊界規(guī)則和負規(guī)則，分別作為對對象x接受、延遲和拒絕的判斷標準。因為Pr（C|[x]）+Pr（C|[x]）=1，可以將上述決策規(guī)則中的Pr（C|[x]）用1-Pr（C|[x]）代換，決策規(guī)則（P）～（N）可以改寫成如下形式：

（P′）?若Pr（C|[x]）≥α且Pr（C|[x]）≥γ，則作出接受決策，即x∈POS（C）;

（B′）?若Pr（C|[x]）≤α且Pr（C|[x]）≤β，則作出延遲決策，即x∈BND（C）;

（N′）?若Pr（C|[x]）≤β且Pr（C|[x]）≤γ，則作出拒絕決策，即x∈NEG（C）。

以上決策中，閾值α、 β和γ值定義如下：

α=λPN-λBN（λPN-λBN）+（λBP-λPP）

β=λBN-λNN（λBN-λNN）+（λNP-λBP）

γ=λPN-λNN（λPN-λNN）+（λNP-λPP）（4）

決策規(guī)則（P′）～（N′）將決策規(guī)則（P）～（N）中的對決策損失間的比較轉化為條件概率值Pr（C|[x]）與閾值（α， β，γ）間的比較，將貝葉斯決策模型轉化為概率粗糙集模型。

1.2?云模型

定義1[9]設定性概念C為定量論域U上的概念，若x∈U為概念C的一次隨機實現(xiàn)，x對C的確定度μ∈[0，1]為有穩(wěn)定分布的隨機數(shù)：

μ（x）：U→[0，1];x∈U

則x在論域U上的分布成為云模型。定量數(shù)值x體現(xiàn)表示概念的定量值的隨機性，μ（x）反映定量數(shù)值x隸屬于定性概念C的確定程度。

上述定義中，云模型的隸屬度函數(shù)μ（x）不僅描述了概念的模糊性，而且將隸屬度函數(shù)μ（x）定義為具有穩(wěn)定分布的隨機數(shù)。將概念內涵的模糊性和外延的隨機性有機地結合起來。下面，給出正態(tài)云模型的定義：

定義2[9]設定性概念C為定量論域U上的概念，C包含3個數(shù)字特征（Ex，En，He），若x∈U為概念C的一次隨機實現(xiàn)，x對C的確定度μ∈[0，1]為有穩(wěn)定分布的隨機數(shù)：

μ（x）：U→[0，1]，x∈U

滿足：

x～RN（Ex，|y|）

y～RN（En，He）

且隸屬度函數(shù)滿足指數(shù)形式：

μ（x）=exp-（x-Ex）22y2

那么所有云滴構成的隨機變量X的分布成為正態(tài)云模型。

正態(tài)云模型與正態(tài)分布之間有著緊密的聯(lián)系[26]。當超熵He=0時，正態(tài)云模型退化為正態(tài)分布，稱為云模型的期望曲線：

y=exp-（x-Ex）22En2

0

y1=exp-（x-Ex）22（En+3He）2

y2=exp-（x-Ex）22（En-3He）2

之間，且當正態(tài)云模型的特征參數(shù)發(fā)生變化時，包絡曲線始終存在; 因此，可以用包絡曲線刻畫云模型的分布特征。由于正態(tài)分布的普遍性，本文僅討論正態(tài)云模型。圖1展示了正態(tài)云模型的形狀、三條特征曲線以及霧化情形。

2?針對群決策的云模型?；瘷C制

粒認知計算認為，人類是從不同側面和層次對客觀世界進行表示、理解和分析。為實現(xiàn)這一過程，研究者提出了模糊集、粗糙集、商空間[28]、區(qū)間集和云模型等一系列的粒計算模型。目前，粒計算的思想已經(jīng)存在于人工智能的各領域的研究中，在此基礎上，Yao將粒計算總結為一種哲學、方法和認知的統(tǒng)一機制[29]。

2.1?云模型的?；瘷C制

云模型對原始數(shù)據(jù)?；膬?yōu)勢表現(xiàn)在對定性概念的描述中，同時保留了隨機和模糊這兩種不確定性。此外，正向和逆向云算法還實現(xiàn)了知識內涵和外延的雙向認知。云模型的粒化機制包括自適應高斯云變換[30]和云綜合[31]，自適應高斯云變換是基于概念的穩(wěn)定性，將低粒度層若干個不穩(wěn)定的云模型合并成一個粗粒度層上較為穩(wěn)定的云模型。從粒認知計算的角度來看，群決策也是一種?；侄危鼘⑷舾呻x散的基礎評價轉換為一個綜合評價，在基于云模型的評價方法中，通常通過云綜合的方式實現(xiàn)這一過程。

云綜合是基于概念內涵，將細粒度層若干個云模型綜合成一個粗粒度層的云模型的過程，其中低粒度層上的云概念稱為基礎云，綜合后的云概念稱為綜合云?！败浕蛟啤薄胺e分云”和“幅度云”綜合方法在圖像分割、檢索以及協(xié)同過濾等方面取得了很好的效果。這些方法往往從統(tǒng)計特征、幾何特性和不確定性等方面考慮對云模型進行綜合， 但對于結果（特別是綜合云超熵He）的形成往往缺乏理論解釋。

當前，在群決策中，云綜合方法通常被定義為概念內涵的線性組合形式。

定義3[17]設兩個云模型C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2），則對于任意λ∈R，云模型的線性運算如下：

C1+C2=（Ex1+Ex2，En12+En22，He12+He22）

C1-C2=（Ex1-Ex2，En12+En22，He12+He22）

λC1=（λEx1，λEn1，λHe1）

從上述定義可以看出，綜合云的數(shù)學期望是基礎云數(shù)學期望的線性組合。

此外，自適應高斯云變換可以實現(xiàn)低粒度層概念向高粒度層概念轉換，本質上來說，也是將相近的概念進行綜合，形成更為籠統(tǒng)的概念; 但在具體的應用背景下，二者都缺乏針對性。因此，需要設計一種既有理論依據(jù)又能夠符合群決策語義的云模型?；瘷C制。

2.2?概念漂移引導的云綜合方法

大部分的決策融合都采用加權求和的方式，它蘊含了一種“折中”的決策語義，即找出一種與所有基礎評價都接近的評價作為融合結果。然而，這種語義接近程度往往要通過特殊的度量形式來表達。在群決策中，云綜合方法不應是數(shù)字特征的簡單線性組合，而應充分體現(xiàn)這種“折中”的語義。用云模型表示概念時，語義的接近程度通常用相似性度量進行描述。當前，存在許多云模型的相似性度量方法，這些方法大致可以分為兩類：一類是基于云滴隨機分布來計算相似性度量[32]，這類方法度量云模型的相似性上，體現(xiàn)了云模型的不確定性，但是計算過程依賴于云滴的數(shù)量和采樣次數(shù)，結果不穩(wěn)定; 另一類方法是基于云模型的數(shù)字特征[33]或特征曲線[34-35]計算云模型相似度，穩(wěn)定性較強，時間復雜度低。此外，許昌林等[36]從相似性的反面入手，提出漂移性度量概念，通過計算兩個云模型最大外包絡曲線的KL散度（KullbackLeibler divergence）定義云模型的概念漂移度。由于KL散度可以很好地刻畫分布間的差異性，因此，該方法計算的云模型相似度更具有普遍性。

定義4[36]設U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2）是U上的兩個正態(tài)云模型，那么C1和C2的外包絡曲線分別為：

μ1=exp-（x-Ex1）22（En1+3He1）2

μ2=exp-（x-Ex2）22（En2+3He2）2

外包絡曲線對應的分布函數(shù)為：

p（x）=12πEn1exp-（x-Ex1）22（En1+3He1）2

q（x）=12πEn2exp-（x-Ex2）22（En2+3He2）2

則基于對稱KL散度的云模型漂移性度量為：

DJ（C1‖C2）=DKL（C1‖C2）+DKL（C2‖C1）=

12[（Ex1-Ex2）2+σ21+σ22]1σ21+1σ22-2

其中σ1=En1+3He1，σ2=En2+3He2。

從定義中可以看出，概念的漂移性度量是用云模型的外包絡曲線所對應的正態(tài)分布函數(shù)進行計算，從形式上來說，概念的漂移性度量就是一個關于正態(tài)分布的KL散度度量。根據(jù)上文的分析，按照群決策中的“折中”語義內涵，對基礎云模型融合的過程就是在概念漂移度量空間中尋找一個云模型，使得該云模型到兩個基礎云模型的概念漂移性之和最小，形式化定義如下：

定義5?設U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2）是U上的兩個基礎云概念，若M滿足：

M=argmin[D（C‖C1）+D（C‖C2）]

則M是基礎云C1與C2基于漂移性度量D的綜合云模型。

如上述分析，若用對稱KL散度作為漂移性度量，則問題轉化為關于一個關于正態(tài)分布的優(yōu)化問題。下面的定理保證了這個優(yōu)化問題有全局最優(yōu)解。

定理1?設N1（μ1，σ21）和N2（μ2，σ22）是正態(tài)分布函數(shù)，則存在唯一的正態(tài)分布N0（μ0，σ20），使得目標函數(shù)

G（N）=KL（N‖N1）+KL（N‖N2）（5）

取得最小值，KL（·）表示對稱KL散度。

證明?設正態(tài)分布N（x，y2），定義函數(shù)f（x，y2）為N到N1的對稱KL散度距離KL（N‖N1）。

f（x，y2）=KL（N‖N1）=

12[（x-μ）2+（y2+σ2）]1y2+1σ2-2

對x和y2求偏導數(shù)：

fx=（x-μ）1y2+1σ2

fy2=12σ2-12y4[（x-μ）2+σ2]

f（x，y2）的Hessian矩陣滿足

H（f）=1y2+1σ2-1y4（x-μ）-1y4（x-μ）1y6[（x-μ）2+σ2]=

1y6σ2y2+（x-μ）2σ2+1>0

則f（x，y2）=KL（N‖N1）在定義域內是凸函數(shù); 同理KL（N‖N2）也是凸函數(shù)。由于凸函數(shù)的和函數(shù)仍是凸函數(shù)，所以目標函數(shù)G（N）是凸函數(shù)，有全局最小值。

求目標函數(shù)（5）的最小值，只需求目標函數(shù)的梯度為0的值，即求解下列方程組：

（x-μ1）1y2+1σ21+（x-μ2）1y2+1σ22=01σ21+1σ22-1y6[（x-μ1）2+

（x-μ2）2+σ21+σ22]=0 （6）

可以看出，上述方程組解無解析形式，并且σ1和σ2比較小時y的方向導數(shù)非常大，用梯度下降法求解很難搜索到最優(yōu)解，因此采用牛頓法搜索最優(yōu)解?？梢钥吹蕉ɡ?是關于正態(tài)分布的優(yōu)化問題，無法直接用于求解云模型。

在云模型的3個數(shù)字特征中，期望Ex代表概念中最具代表性或最典型樣本， 熵En定性概念一種不確定性度量， 超熵He描述的是熵En的不確定性。相應地，云模型的期望曲線表達了最具代表性的概念隸屬度;內包絡曲線和外包絡曲線則分別描述了最嚴謹?shù)母拍铍`屬度和最寬泛的概念隸屬度。三條特征曲線描述了概念的完整信息，因此本文分別針對三條特征曲線求式（5）的最優(yōu)解，以此來定義綜合云模型。

定義6?設U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1和C2是U上的兩個基礎云概念。若正態(tài)分布N（μ，σ2）、N1（μ1，σ21）和N2（μ2，σ22）分別是C1和C2的期望曲線、外包絡曲線和內包絡曲線對應的正態(tài)分布關于式（5）的最優(yōu)解，則C1和C2基于對稱KL散度形成的綜合云模型M（Ex，En，He）滿足：

Ex=μ

En=（σ1+σ2）/2

He=（σ1-σ2）/6

由定義6可知，在對稱KL定義的云模型漂移性度量空間中，基礎云模型的期望曲線反映了概念隸屬度函數(shù)的平均值，因此用這一特征曲線確定綜合概念的平均隸屬度;基礎云模型外包絡曲線和內包絡曲線反映了概念的最大隸屬度函數(shù)和最小隸屬度函數(shù)，二者分別描述了綜合云模型表達的最樂觀評價和最悲觀評價。因此，用它們來確定綜合云模型的不確定性——熵En和超熵He。

盡管定義6的形式復雜，但對于一些特殊的基礎云模型，可以求出綜合云模型的解析表達形式。

定理2?設U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2）是U上的兩個基礎云概念，滿足Ex1=Ex2=μ，若M（Ex，En，He）是基礎云C1與C2基于對稱KL散度形成的綜合云模型，那么M滿足：

Ex=μEn=En1En2+He1He2He=（En1He2+En2He1）/3

證明?由于Ex1=Ex2=μ，方程組（6）化簡為：

（x-μ）2y2+1σ12+1σ22=01σ12+1σ22-1y4（σ12+σ22）=0

解得：

x=μ

y=σ1σ2。

分別將基礎云模型的三條特征曲線代入，由定義6可得綜合云M（Ex，En，He）。

如圖2中實心和空心散點圖分別表示基礎云模型C1（50，10，2）和C2（10，3，0.5），三角形和星型的散點圖分別表示由定義3和定義6方法得到的綜合云模型。表2是兩種綜合方法的比較。可以看出定義6得到的綜合云與基礎云模型的距離比定義3的要小，這說明綜合評價與基礎的評價間的概念漂移小，兼顧了基礎云概念。此外，通過對比可以看到，定義6方法得到的綜合云模型位置靠近更加清晰的概念（C2（10，3，0.5）），說明越清晰的概念對綜合云模型的貢獻越大，這一過程也符合人類認知。

2.3?基于密度中心的云綜合方法

在群決策過程中，不同決策者所做決策結果的重要程度不盡相同， 這與決策者業(yè)務水平、心理狀態(tài)以及對決策領域熟悉程度等因素密切相關。因此，通常對于決策者的決策結果賦予權重。對于云綜合方法來說，這就需要在目標函數(shù)中考慮各基礎云模型所對應的權重。由于定理1證明了兩個正態(tài)分布的對稱KL散度距離是關于期望和方差的凸函數(shù)，因此，它們的凸組合仍然是凸函數(shù)。于是有下面推論：

推論1?設正態(tài)分布簇A={N1（μ1，σ12）i=1，2，…，n}，其對應的權重集合W={ωii=1，2，…，n}，則存在唯一的正態(tài)分布N（μ0，σ02），使得目標函數(shù)：

G（A）=∑ni=1ωi KL（N‖Ni）（7）

取得最小值，KL（·）表示對稱KL散度。

從粒認知計算的角度來看，群決策又是一個數(shù)據(jù)?；倪^程。按照合理粒化的特異性原則[19]，綜合云應該越精確越好，因此，在優(yōu)化過程中，對云模型的不確定性設定范圍。從上面的分析可以看到，云模型的內外包絡曲線分別是云模型不確定的上下界，因此，需要考慮基礎云在內外包絡曲線間變化時，綜合云模性不確定性的變化范圍。相較于定義6，受不同權重的影響，帶先驗信息的云綜合方法更為復雜。將基礎云的外包絡曲線代入式（7），并不能得到綜合云的最大不確定性; 同理，基礎云的內包絡曲線代入式（7），也不能得到最小不確定性。因此，需要在各基礎云模型的內外包絡曲線間找到一組合適的正態(tài)分布曲線，使綜合云的內外包絡曲線分別取到最小和最大值。設云模型簇C={Ci（Exi，Eni，Hei）i=1，2，…，n}，正態(tài)分布簇A={Ni（Exi，（Eni+3θiHei）2）θi∈[-1，1]，i=1，2，…，n}，則綜合云模型的內外包絡曲線的方差分別滿足下列優(yōu)化問題：

σouter=

max（argminσ∑ni=1ωi KL（N（μ，σ2）|

Ni（Exi，（Eni+3θiHei）2）））（8）

s.t.θi∈[-1，1]

σinner=

min（argminσ∑ni=1ωi KL（N（μ，σ2）|

Ni（Exi，（Eni+3θiHei）2）））（9）

s.t.θi∈[-1，1]

式（8）、（9）是多變量最優(yōu)化問題，即在自變量θi的定義域內找到一組θi，在滿足式（7）最小的所有σ中，找到最大的σ作為綜合云模型的外包絡曲線所對應正態(tài)分布的方差σouter;在滿足式（7）最小的所有σ中，找到最小的σ作為綜合云模型的內包絡曲線所對應正態(tài)分布的方差σinner。式（8）、（9）中的優(yōu)化目標無法用顯式函數(shù)表示，為解決這一問題，本文采用粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法求最優(yōu)解。下面給出帶先驗信息的云綜合定義。

定義7?設U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C={Ci（Exi，Eni，Hei）i=1，2，…，n}是U上的n個基礎云概念，其對應的權重集合W={ωii=1，2，…，n}。若N（μ，σ2）是云模型簇C期望曲線對應的正態(tài)分布關于式（7）的最優(yōu)解，Nouter（μouter，σ2outer）和Ninner（μinner，σ2inner）是云模型簇C關于式（8）和式（9）的最優(yōu)解，則云模型簇C基于對稱KL散度形成的綜合云模型M（Ex，En，He）滿足：

Ex=μ

En=（σouter+σinner）/2

He=（σouter-σinner）/6

相對于定義3的云綜合方法，定義7除了給出了綜合云方法的語義解釋，還給出了概念的漂移性度量空間中的幾何解釋，即在概念的漂移性度量空間中，綜合評價到各基礎評價距離的賦權和最小，如果將權重看成質點的質量，則綜合云模型就是所有基礎云模型的密度中心。因此，定義7被稱為基于密度中心的云綜合方法。此外，定義7還最大化了綜合云模型的內外包絡曲線的差異，滿足合理?；刑禺愋栽瓌t，綜合云模型最精確。

3?基于云綜合的三支群決策

如第1章所述，確定6個代價函數(shù)是三支決策中的關鍵步驟。一般來說，代價函數(shù)由領域專家憑經(jīng)驗主觀給定。為了使得該結果更加客觀，采用群決策的方案給出代價函數(shù)。然而，由于決策環(huán)境中的不確定性以及人類認知的主觀不確定性，決策者往往很難給出一個精確的實值評價，于是，許多研究者圍繞損失函數(shù)的不確定評價形式，以三角模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)[37-39]、語言變量[40]等不確定模型對其開展研究。云模型能夠很好地刻畫人類認知過程中的模糊性和隨機性，并能反映二者之間的聯(lián)系，能夠方便地實現(xiàn)知識內涵與外延之間的轉換。作為一種重要的認知計算模型，文獻[18]將其引入三支群決策，對損失函數(shù)的不確定性進行描述，并對數(shù)字特征進行簡單的加權平均得到綜合云模型，確定全局損失函數(shù)。這種綜合云忽略了云模型相似性度量與綜合方法的內在聯(lián)系，在決策過程中缺乏說服力。本文將采取基于密度中心的云綜合方法確定損失函數(shù)。

3.1?決策過程

如圖3三支群決策過程主要分為公式化決策問題和決策分析兩個部分，具體分為以下5個步驟：

步驟1?根據(jù)具體的決策問題背景，確定評估專家以及他們對應的權重。專家集為E={e1，e2，…，et}，權重集為W={ω1，ω2，…，ωt}T。

步驟2?所有專家按照表1的形式對所有損失函數(shù)作出評價，并用云模型表示，記為：λkPP（ExkPP，EnkPP，HekPP）、λkBP（ExkBP，EnkBP，HekBP）、λkNP（ExkNP，EnkNP，HekNP）、λkPN（ExkPN，EnkPN，HekPN）、λkBN（ExkBN，EnkBN，HekBN）和λkNN（ExkNN，EnkNN，HekNN），其中1≤k≤t。

步驟3?為減少專家意見的不一致性，將云模型所表示的損失函數(shù)按照定義7進行綜合，得到損失函數(shù)的綜合評價云模型。

步驟4?考慮到云模型的期望反映了最典型的概念外延，因此，將損失函數(shù)的綜合評價云模型的期望代入式（4），求出三支決策的各項閾值α、 β和γ。

步驟5?根據(jù)（P′）～（N′）的決策規(guī)則，對對象作出決策。

3.2?應用案例

為了更好地說明基于云模型的三支群決策過程，本節(jié)采用文獻[38]中戰(zhàn)略供應商的選擇問題對這一過程進行詳細介紹。供應管理是制造企業(yè)的關鍵問題之一，直接影響到生產(chǎn)的準時性。在風險環(huán)境下，選擇合適供應商會考慮一些可能決策結果中存在的損失。為了客觀地評價戰(zhàn)略供應商，需要邀請多個專家進行群決策。真實的決策中，對供應商除了選擇和非選擇的決策外，還加入了延遲，這非常符合三支群決策的應用場景。

步驟1?為了作出合理的決策，請相關專家對損失函數(shù)進行評估。專家集為E={e1，e2，…，e11}，對應的權重集W={ω1，ω2，…，ω11}T={0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.1，0.1，0.1，0.2，0.2}T。

步驟2?將所有專家對損失函數(shù)作出的不確定性評價轉換為云模型，如表3。

步驟3?為消除不一致性，將表3中云模型表示的損失函數(shù)按定義7進行綜合，得到損失函數(shù)的綜合評價云模型，如表4。

步驟4?將損失函數(shù)的綜合評價云模型的期望代入式（4），求得α=0.611-8， β=0.243-5，γ=0.417-3。

步驟5?對決策問題給出判斷標準：

（P′）?若Pr（C|[x]）≥0.611-8，則作出接受決策，即x∈POS（C）;

（B′）?若Pr（C|[x]）≤0.611-8且Pr（C|[x]）≥0.243-5，則作出延遲決策，即x∈BND（C）;

（N′）?若Pr（C|[x]）≤0.243-5，則作出拒絕決策，即x∈NEG（C）。

4?實驗分析

為了驗證本文方法的有效性，對專家在6個損失函數(shù)上的評價，分別用定義3和定義6計算綜合云模型，并且比較二者與基礎云模型的賦權距離（表5）和以及綜合云的不確定性（表6）。賦權距離指的是綜合云到各基礎云距離的加權和，云模型的不確定性定義為熵和超熵的平方和：En2+He2。從表中可以看出，本文方法在賦權距離上都要小于定義3的方法，另外，得到的綜合云模型也更為精確。

群決策的問題中，對不一致信息表的決策反映了群決策的效果。為了驗證方法的有效性，本文比較本文所提的群決策方法和基于定義3群決策方法在不一致信息表上決策的效果。效果的優(yōu)劣由錯誤率判斷，錯誤率[38]的定義如下：

e=nC→NEG（C）+nC→NEG（C）Q×100%

其中：Q是信息表中所有對象個數(shù)，C→NEG（C）是概念C中的元素被分類到NEG（C）的情況，即拒絕真實對象的情況，nC→NEG（C）表示這一現(xiàn)象的對象個數(shù)。C→POS（C）是非概念C中的元素被分類到POS（C）的情況，即取到非真實對象的情況，nC→NEG（C）表示這一現(xiàn)象的對象個數(shù)。錯誤率e越小說明決策效果越好。

為了驗證結果，本文選取了6個UCI上的數(shù)據(jù)集進行群三支決策。因為這6個數(shù)據(jù)集（表7）是一致性的信息表，并且是多標簽數(shù)據(jù)，所以，需要刪除一些屬性使之不一致，合并一些標簽使之成為三支決策問題。這一過程具體描述如表8。

表格（有表名）

對于每一個數(shù)據(jù)集，本文將其平均劃分成5個等份，連續(xù)合并成5個數(shù)據(jù)集，并在每個數(shù)據(jù)集上計算錯誤率。為了評價群決策方法的好壞，事實上只需要比較兩種云綜合方法在融合損失函數(shù)時的差異。方便起見，本文仍使用表3作為專家給出的損失函數(shù)評價矩陣，權重集仍為W={ω1，ω2，…，ω11}T={0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.1，0.1，0.1，0.2，0.2}T。

從定義3中可以看出，基于此方法的群決策只是將概念的內涵進行簡單的線性組合，并沒有反映出概念與概念之間的聯(lián)系。而本文方法以概念的相似度為目標函數(shù)，用最優(yōu)化的方法求出基礎云模型的密度中心，使綜合云到各基礎云之間的距離加權最小。這一過程保持了基礎云之間的相似性特征，在錯誤率上的表現(xiàn)優(yōu)于之前的綜合方法。

圖4中原始方法1是指基于定義3的三支群決策。為了說明本文方法的優(yōu)勢，除了使用云綜合確定損失函數(shù)外，本文還與文獻[38]中合理粒度方法進行比較（原始方法2）?？梢钥吹剑疚姆椒ǖ腻e誤率并不是在每一個數(shù)據(jù)集上都比原始方法低，但就整體而言，本方法的效果要優(yōu)于原始方法，這說明在三支群決策中基于密度中心的云綜合方法比之前方法更加有效。

5?結語

本文在決策粗糙集模型的三支決策基礎之上，考慮了群決策模型來確定損失函數(shù)。利用云模型能充分刻畫認知過程中復雜不確定形式的優(yōu)勢，將多個專家評價信息轉化為云模型，并借鑒合理粒化思想，提出了一種云綜合方法。該方法以云模型相似性度量為基礎，通過優(yōu)化綜合評價結果與各專家評價信息間語義的近似程度，來獲得綜合評價結果。該方法成功地解決了群決策中的信息聚合問題。此外，相較于一般的云綜合方法，該方法提供了一種新的語義解釋。通過應用案例和實驗分析，驗證了該方法的有效性。值得注意的是，本方法中的云模型相似性度量可以具有多種形式，今后的工作中，將借鑒機器學習的方法，研究不同形式的相似性度量對群決策的影響。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China （61572091， 61772096）， the Science and Technology Talents Development Project of Guizhou Education Department （KY[2018]318）， the Highlevel Innovative Talents of Guizhou Province （ZKG 2018[15]）， the New Talent Cultivation Innovation and Exploration Project of Guizhou Province （QKHPTRC [2017]5727-06）.

LI Shuai， born in 1986， Ph. D. candidate， lecturer. His research interests include granular computing， rough set， cloud model.

WANG Guoyin， born in 1970， Ph. D.， professor. His research interests include granular computing， knowledge acquisition， cognitive computing， intelligent information processing， big data intelligence.

YANG Jie， born in 1987， Ph. D.， associate professor. His research interests include cloud model， granular computing， rough set， machine learning.