面向聚類集成的基聚類三支篩選方法

徐健鋒 鄒偉康 梁偉 程高潔 張遠(yuǎn)健

摘 要：當(dāng)前聚類集成的研究主要是圍繞著集成策略的優(yōu)化展開，而針對(duì)基聚類質(zhì)量的度量及優(yōu)化卻較少研究?；谛畔㈧乩碚撎岢隽艘环N基聚類的質(zhì)量度量指標(biāo)，并結(jié)合三支決策思想構(gòu)造了面向基聚類的三支篩選方法。首先預(yù)設(shè)基聚類篩選三支決策的閾值α、β，然后計(jì)算各基聚類中類簇質(zhì)量的平均值，并把其作為各基聚類的質(zhì)量度量指標(biāo)，最后實(shí)施三支決策。決策策略為： 當(dāng)某個(gè)基聚類的質(zhì)量度量指標(biāo)小于閾值β時(shí)，刪除該基聚類; 當(dāng)某個(gè)基聚類的質(zhì)量度量指標(biāo)大于等于閾值α?xí)r，保留該基聚類; 當(dāng)某個(gè)基聚類的質(zhì)量度量指標(biāo)大于等于β小于α?xí)r，重新計(jì)算該基聚類質(zhì)量，并且再次實(shí)施上述三支決策直至沒有基聚類被刪除或達(dá)到指定迭代次數(shù)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基聚類三支篩選方法能夠有效提升聚類集成效果。

關(guān)鍵詞：三支決策;聚類集成;基聚類;三支篩選

中圖分類號(hào)：TP181

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Threeway screening method of basic clustering for ensemble clustering

XU Jianfeng1，2，3*， ZOU Weikang1， LIANG Wei2， CHENG Gaojie2， ZHANG Yuanjian3

1.School of Information Engineering， Nanchang University， Nanchang Jiangxi 330031， China;

2.School of Software， Nanchang University， Nanchang Jiangxi 330047， China;

3.College of Electronics and Information Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China

Abstract：

At present， the researches of ensemble clustering mainly focus on the optimization of ensemble strategy， while the measurement and optimization of the quality of basic clustering are rarely studied. On the basis of information entropy theory， a quality measurement index of basic clustering was proposed， and a threeway screening method for basic clustering was constructed based on threeway decision. Firstly，α，βwere reset as the thresholds of threeway decision of basic clustering screening. Secondly， the average cluster quality of each basic clustering was calculated and was used as the quality measurement index of each basic clustering. Finally， the threeway decision was implemented. For one threeway screening， its decision strategy is：1） deleting the basic clustering if the quality measurement index of the basic clustering is less than the thresholdβ; 2） keeping the basic clustering if the quality measurement index of the basic clustering is greater than or equals to the thresholdα; 3） recalculating the quality of a basic clustering and if the quality measurement index of the basic clustering is greater thanβand less thanαor equals toβ. For the third option， the decision process continues until there is no deletion of basic clustering or reaching the times of iteration. The comparative experiments show that the threeway screening method of basic clustering can effectively improve the ensemble clustering effects.

Key words：

threeway decision; ensemble clustering; basic clustering; threeway screening

0?引言

近年來，由于聚類效果及魯棒性方面的優(yōu)勢(shì)，聚類集成算法已經(jīng)逐步成為無監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)的一種熱點(diǎn)研究問題。聚類集成的主要思想是通過融合不同版本的基聚類成員來實(shí)現(xiàn)無監(jiān)督的分類任務(wù)[1]。聚類集成的效果主要與該算法的兩個(gè)主要環(huán)節(jié)緊密相關(guān)： 首先是產(chǎn)生高質(zhì)量的基聚類成員集合，其次是設(shè)計(jì)高效的集成策略（一致性函數(shù)）。當(dāng)前聚類集成技術(shù)的主要研究內(nèi)容也圍繞上述兩個(gè)步驟展開。

其中集成策略就是通過有效的組合策略將基聚類成員高效地組合起來。集成策略主要有超圖[2-4]、信息論[5]、關(guān)聯(lián)矩陣[6-7]、投票[8]、關(guān)聯(lián)規(guī)則[9]等。

而對(duì)于基聚類成員產(chǎn)生，主要有如下兩種方法：一是采用同一聚類方法設(shè)置不同的初始參數(shù)[10-11]或者不同聚類方法[12-13]作用于同一數(shù)據(jù)集來得到不同的基聚類成員; 二是采用同一聚類方法處理同一數(shù)據(jù)集的不同非等值變形進(jìn)而得到不同的基聚類成員，變形包括對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行投影[14-16]和采樣[17-19]操作處理。這兩種方法都以生成高質(zhì)量的基聚類為研究目標(biāo)，但是多次反復(fù)的基聚類計(jì)算過程難免會(huì)生成部分低質(zhì)量基聚類，而針對(duì)基聚類質(zhì)量的度量及其篩選方法的研究文獻(xiàn)報(bào)道目前還較少。如果能夠構(gòu)造有效的基聚類質(zhì)量度量，并且根據(jù)基聚類質(zhì)量對(duì)基聚類進(jìn)行優(yōu)化篩選必然能夠提升聚類集成的效果。鑒于基聚類質(zhì)量的度量是一種典型的不確定問題，本文采用信息熵理論提出了一種基聚類質(zhì)量度量方法，并且結(jié)合三支決策思想[20-22]構(gòu)造了基聚類三支篩選優(yōu)化模型。

1?相關(guān)技術(shù)

1.1?三支決策基本理論

三支決策是來源于粗糙集理論[23-24]的一種重要的粒計(jì)算方法[25]。相較于傳統(tǒng)的二支決策（正/負(fù)決策）而言，三支決策增加了延遲決策作為不能準(zhǔn)確作出正負(fù)決策時(shí)的決策行為，三支決策也合理地解釋了粗糙集理論中的三個(gè)決策域（正域、負(fù)域和邊界域）劃分行為。

三支決策基本思想是通過評(píng)價(jià)函數(shù)λ對(duì)某個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象集合D中的元素x∈D進(jìn)行不確定程度的劃分：

當(dāng)λ（x）≥α?xí)r，元素x被劃分到集合D的正決策域POS（α， β）（x）;

當(dāng)λ（x）<β時(shí)，元素x被劃分到集合D的負(fù)決策域NEG（α， β）（x）;

當(dāng)β≤λ（x）<α?xí)r，元素x被劃分到集合D的延遲決策域BND（α， β）（x）。

其中（α， β）為三支決策閾值，通常設(shè)定為 0≤β<α≤1。

基于三支決策，全域D可以被劃分為3個(gè)不相交的區(qū)域：

POS（α， β）（D）={x∈Dλ（x）≥α}

BND（α， β）（D）={x∈D|β≤λ（x）<α}

NEG（α， β）（D）={x∈D|λ（x）<β}

1.2?聚類集成

聚類集成的算法流程主要由基聚類的生成和基聚類的集成兩個(gè)主要步驟構(gòu)成。其中，生成M個(gè)基聚類就是對(duì)數(shù)據(jù)集D執(zhí)行M次聚類，M次聚類的結(jié)果構(gòu)成的基聚類集合可記作Π={C1，C2，…，CM}，其中Ci∈Π表示Π中第i個(gè)基聚類。Π的基數(shù)Π=M為基聚類成員數(shù)量，|*|表示集合的基數(shù)。Π中任意基聚類成員Ci∈Π都由若干個(gè)簇構(gòu)成，記作Ci={ci1，ci2，…，ciNi}，其中任一cij∈Ci表示基聚類Ci中的第j個(gè)類簇，Ci的基數(shù)Ci=Ni表示Ci由Ni個(gè)類簇構(gòu)成。Π中的任意基聚類Ci∈Π，Cj∈Π，i≠j，則Ci與Cj的基數(shù)可以根據(jù)算法設(shè)計(jì)要求設(shè)定為相同或者不同，即Ni=Nj或者Ni≠Nj。

基聚類集成則是使用合適的集成方法對(duì)基聚類集合Π進(jìn)行聚合。其聚合過程可以表示為C′=f（Π），其中一致性函數(shù)f為集成方法，C′為最終聚類結(jié)果。對(duì)于集成方法f，常用的有層次聚類法、投票法、信息論方法和圖劃分法等方法。

2?基聚類三支篩選

基聚類是聚類集成的基礎(chǔ)，基聚類集合的每個(gè)成員Ci∈Π的質(zhì)量對(duì)聚類集成結(jié)果都有較大的影響。為了降低低質(zhì)量基聚類成員對(duì)聚類集成的影響，本章提出了一種基聚類成員質(zhì)量評(píng)價(jià)方法，并且采用三支決策的思想構(gòu)造一種基聚類成員擇優(yōu)篩選的算法。

2.1?基于信息熵的類簇不確定性度量

在信息理論[5]中，信息熵是對(duì)隨機(jī)變量相關(guān)不確定性的度量。在聚類集成中給定任一類簇cni∈Cn，其中Cn∈Π，則cni中的數(shù)據(jù)對(duì)象有可能在另一個(gè)基聚類Cm∈Π中被劃分在Cm多個(gè)簇中。顯然，cni中的數(shù)據(jù)對(duì)象最多可以屬于Cm中的所有Nm個(gè)不同的簇，其中Nm=Cm?；谝陨锨闆r，基于信息熵的類簇不確定性度量定義如下。

定義1?在基聚類Π中，對(duì)任意cni∈Cn，cmj∈Cm，其中Cn∈Π，Cm∈Π且cni∩cmj≠，則cni相對(duì)于cmj的不確定度量為：

H（cni，cmj）=-p（cni，cmj）lnp（cni，cmj）（1）

其中p（cni，cmj）=|cni∩cmj||cni|。

一組隨機(jī)變量的不確定性通常使用變量的聯(lián)合信息熵[5]來度量。由于對(duì)于Π任一基聚類Cn={ cn1，cn2，…， cnNn} 中的Nn個(gè)類簇相互獨(dú)立，因此根據(jù)定義1，Cn中任意一個(gè)類簇cni∈Cn相對(duì)于另一個(gè)基聚類Cm∈Π的不確定性可計(jì)為cni中元素出現(xiàn)在Cm中各個(gè)類簇樣本的概率總和。因此，類簇cni相較于基聚類Cm的不確定性可定義為：

定義2?給定基聚類集合Π，類簇cni相對(duì)基聚類Cm的不確定性度量為：

Hm（cni）=-∑Nmj=1p（cni，cmj）lnp（cni，cmj）（2）

其中：Nm是Cm中的類簇?cái)?shù)，cmj是Cm中第j個(gè)類簇。

定義2給出了每個(gè)類簇相對(duì)任一基聚類的不確定度量形式。對(duì)于i， j，m，p（ci，cmj）∈[0，1]，得到Hm（ci）∈[0，+∞）。當(dāng)ci中的所有數(shù)據(jù)對(duì)象屬于cm的同一簇時(shí)，ci相對(duì)Cm的不確定性達(dá)到其最小值（Hm（ci）=0）。當(dāng)cm的所有簇與ci的交集均不為空集時(shí)，ci相對(duì)Cm的不確定性將達(dá)到最大值。

假定基聚類間相互獨(dú)立，cni∈Cn相對(duì)Π的不確定性可以被表示cni相對(duì)Π中所有Π個(gè)基聚類的不確定性之和。因此，類簇ci相較基聚類集合Π的不確定性定義為：

定義3?給定基聚類集合Π={C1，C2，…，CM}，任一基聚類Cn∈Π的某一類簇cni∈Cn相對(duì)Π的不確定性程度計(jì)算如下：

HΠ（cni）=∑Mm=1Hm（cni）（3）

其中M是集合Π中基聚類的基數(shù)。

任一類簇cni∈Cn相對(duì)集合Π的不確定性能夠反映出聚類集成結(jié)果C′中出現(xiàn)類簇cni可能性。如果每個(gè)基聚類中都存在與cni相同的類簇，則可以認(rèn)為cni一定出現(xiàn)C′中，那么cni相對(duì)Π的不確定性達(dá)到其最小值，即HΠ（ci）=0。另外，cni出現(xiàn)在C′的概率隨ci相對(duì)Π的不確定性增大而遞減。

為更好地理解不確定性的求解過程，下面給出了一個(gè)實(shí)例。其中，3個(gè)基聚類組成的集合Π={C1，C2，C3}。C1包含3個(gè)類簇{c11，c12，c13}，C2包含4個(gè)類簇{c21，c22，c23，c24}，C3包含4個(gè)類簇{c31，c32，c33，c34}。每個(gè)類簇包含的數(shù)據(jù)對(duì)象見表1。

如表1所示，類簇c11包含3個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象，c12包含4個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象，c13包含3個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象。若要計(jì)算C1中3個(gè)類簇相對(duì)集合Π的不確定性。則按照以下步驟：

根據(jù)定義1計(jì)算類簇ci相對(duì)集合Π中排除自身以外所有類簇的不確定性。以類簇c13為例，即為計(jì)算c13與集合Π中除其自身以外的10個(gè)類簇間的不確定性，即 H（c13，c21）=-p（c13，c21）lnp（c13，c21）=-（2/3）×ln（2/3）≈0.270-3，同理可得H（c13，c22）≈0.366-2，H（c13，c31）≈0.366-2，H（c13，c32）≈0.366-2，H（c13，c33）≈0.366-2。另外，由于c13與c23交集為空，故H（c13，c23）=0，同理可得H（c13，c24）=0，H（c13，c34）=0， H（c13，c11）=0，H（c13，c12）=0。

根據(jù)定義2計(jì)算計(jì)算類簇ci相對(duì)集合Π中基聚類Cm的不確定性。根據(jù)定義3計(jì)算類簇ci相對(duì)集合Π的不確定性， 得到所有類簇相對(duì)整個(gè)集合的不確定性，結(jié)果見表2。

表格（有表名）

至此，聚類集合Π中任一類簇ci∈Π都可以給出對(duì)于Π的不確定性， 但由于各個(gè)基聚類的類簇個(gè)數(shù)不同，基聚類質(zhì)量很難使用聯(lián)合信息熵衡量。為此，一種用基聚類類簇平均熵來表示基聚類不確定性的方法被提出。

定義4?對(duì)于集合Π中的基聚類Cm，約定衡量其不確定性指標(biāo)為基聚類類簇平均熵Hμ（Cm）。Hμ（Cm）表示基聚類Cm中類簇對(duì)基聚類Cm的不確定性貢獻(xiàn)程度，計(jì)算公式為：

Hμ（Cm）=∑nmi=1HΠ（cmi）/nm（4）

其中： 類簇cmi表示基聚類Cm中的第i個(gè)類簇，nm為基聚類Cm中的類簇個(gè)數(shù)，HΠ（cmi）表示基聚類Cm中類簇cmi的熵值。

因此，基聚類不確定性可以通過定義4中的類簇平均熵衡量。類簇平均熵越大，基聚類的不確定性越強(qiáng)，即基聚類的質(zhì)量越差; 相反，類簇平均熵越小，基聚類的不確定性越弱，即基聚類的質(zhì)量越好，故類簇平均熵可以作為衡量基聚類質(zhì)量的度量指標(biāo)。

2.2?面向基聚類的三支篩選方法

三支決策思想解決不確定問題的過程符合人類正常決策方式思維模式。因此，基于三支決策理論和定義4，用于三支決策的基聚類質(zhì)量評(píng)價(jià)函數(shù)λ（Cm）被構(gòu)建，定義為：

定義5?對(duì)于任一基聚類Cm∈Π，其基聚類篩選三支決策的評(píng)價(jià)函數(shù)為λ（Cm）=e-Hμ（Cm），其中，Hμ（Cm）為聚類Cm的類簇平均熵。

評(píng)價(jià)函數(shù)λ（Cm）∈（0，1]是類簇平均熵Hμ（cmi）∈[0，+∞）的歸一化形式，通過歸一函數(shù)使得基聚類質(zhì)量的度量指標(biāo)符合三支決策域閾值α、 β的判斷范圍，便于三支決策。

對(duì)2.1節(jié)中實(shí)例使用定義5中評(píng)價(jià)函數(shù)λ（Cm）進(jìn)行三支決策。其中計(jì)算方法為：

首先根據(jù)定義4，C1的類簇平均熵可計(jì)算為：Hμ（C1）=∑3i=1HΠ（c1i）/3=（1.735-1+1.732-7+1.735-1）/3=1.734-1。同理可得，Hμ（C2）=1.156-3，Hμ（C3）=1.271-9。

其次根據(jù)定義5可得，C1、C2、C3的聚類質(zhì)量的三支決策評(píng)價(jià)函數(shù)如表3所示。

由定義4可得，Hμ（cmi）∈[0，+∞），因此用于三支決策的評(píng)價(jià)函數(shù)λ（Cm）∈（0，1]。顯然，當(dāng)基聚類Cm的不確定性較小時(shí)，λ（Cm）值更大。當(dāng)基聚類Cm的不確定度達(dá)到最小值，即H（Cm）=0時(shí)，其λ（Cm）將達(dá)到最大值，即λ（Cm）=1。當(dāng)基聚類不確定性接近無窮大時(shí)，基聚類的λ（Cm）接近0。

基于上述基聚類以及三支決策思想，構(gòu)造如下基聚類三支篩選方法：

首先設(shè)定基聚類質(zhì)量篩選閾值為（α， β），并且0≤β<α≤1，對(duì)任一基聚類Cm∈Π，根據(jù)三支評(píng)價(jià)函數(shù)為λ（Cm）進(jìn)行如下三支劃分。

1）若α≤λ（Cm），則將基聚類Cm劃分到正域區(qū)間（優(yōu)質(zhì)域），記為Cm∈POS（α， β）（Π）;

2）若λ（Cm）<β，則將基聚類Cm劃分到負(fù)域區(qū)間（劣質(zhì)域），記為Cm∈NEG（α， β）（Π）;

3）若β≤（Cm）<α，則將基聚類Cm劃分到延遲域區(qū)間（不確定域），記為Cm∈BND（α， β）（Π）。

經(jīng)過上述三支劃分后可以確定：POS（α， β）（Π）集合中的基聚類為高質(zhì)量聚類集合;NEG（α， β）（Π）集合中的基聚類為低質(zhì)量聚類集合;BND（α， β）（Π）集合中的基聚類的聚類質(zhì)量無法確定，需要進(jìn)一步判斷決策。

因此本文將保留POS（α， β）（Π）域中的優(yōu)質(zhì)基聚類，刪除NEG（α， β）（Π）域中的劣質(zhì)基聚類，同時(shí)更新Π=Π-NEG（α， β）（Π）。而對(duì)BND（α， β）（Π）域中的基聚類元素，即所有更新后的Π=Π-NEG（α， β）（Π）重新計(jì)算基聚類質(zhì)量，并再次三支決策。

通過上述三支分類步驟的多次迭代直至|NEG（α， β）（Π）|=0（NEG（α， β）（Π）中無元素）或達(dá)到指定迭代次數(shù)，則此時(shí)獲得的Π為最優(yōu)基聚類集合。

基于上述面向基聚類的三支決策篩選思想可獲得如下算法。

算法?基聚類的三支篩選算法（ThreeWay Screening Algorithm，3WDSA）。

輸入?基聚類集合Π={C1，C2，…，CM}，迭代次數(shù)R，閾值α、β;

輸出?基聚類集合Π。

程序前

1）

for t=1，2，…，R/*對(duì)Π基聚類篩選迭代*/

2）

根據(jù)定義2～4計(jì)算Π中所有基聚類類簇平均熵

3）

for m=1，2，…，|Π|/*對(duì)Π基聚類執(zhí)行三支決策*/

4）

根據(jù)定義5計(jì)算聚類Cm的評(píng)價(jià)函數(shù)λ（Cm）

5）

if λ（Cm）≥α then

6）

將基聚類Cm標(biāo)記為POS（α， β）（Π）域

7）

else if β≤λ（Cm） andλ（Cm）<α then

8）

將基聚類Cm標(biāo)記為BND（α， β）（Π）域

9）

else

10）

將基聚類Cm標(biāo)記為NEG（α， β）（Π）域

11）

end if

12）

end for

13）

if |NEG（α， β）（Π）| == 0 then

14）

將Π中標(biāo)記為POS（α， β）（Π）域和BND（α， β）（Π）域的基聚類合并成新的基聚類集合Π

15）

break

16）

end if

17）

刪除Π中標(biāo)記為NEG（α， β）（Π）域的基聚類

18）

將Π中標(biāo)記為BND（α， β）（Π）域和POS（α， β）（Π）域的基聚類組成基聚類集合Π

19）

end for

20）

將基聚類集合Π輸出為Π

程序后

3?實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本章將使用8組數(shù)據(jù)集對(duì)所提算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并通過2種不同的聚類算法評(píng)估指標(biāo)對(duì)聚類集成進(jìn)行評(píng)估。本章所有實(shí)驗(yàn)在python3.6環(huán)境下進(jìn)行，其中工作站環(huán)境為Ubuntu18.04lts，Intel i77820X，32GB內(nèi)存，IDE環(huán)境為pyCharm professional 2017.11。

3.1?基數(shù)據(jù)集和評(píng)價(jià)方法

3.1.1?數(shù)據(jù)集與實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)通過選取來自UCI machine learning repositor（http：//archive.ics.uci.edu/ml）的8個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)集，分別是圖像分割（Image Segmentation， IS）、字母識(shí)別（Letter Recognition， LR）、地球資源衛(wèi)星（Landsat Satellite， LS）、筆跡（Pen Digit， PD）、手寫數(shù)字識(shí)別（Multiple Features， MF）、光學(xué)數(shù)字識(shí)別（Optical Digit Recognition， ODR）、鋼板故障（Steel Plates Faults， SPF）、紋理（Texture）。上述數(shù)據(jù)集的詳細(xì)描述如表4所示。

3.1.2?評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了合理評(píng)估不同算法的效果，本實(shí)驗(yàn)采用F檢驗(yàn)（Fmeasure）[26]和標(biāo)準(zhǔn)化互信息（Normalized Mutual Information， NMI）[11]兩個(gè)指標(biāo)來對(duì)聚類結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。

1）F檢驗(yàn)。

Fmeasure是一種準(zhǔn)確度評(píng)估指標(biāo)?；跀?shù)據(jù)集的標(biāo)準(zhǔn)聚類Cg中各類簇標(biāo)簽來計(jì)算某個(gè)被測(cè)試聚類C′的準(zhǔn)確度P以及召回率R，并以此來進(jìn)一步算出F檢驗(yàn)值。

測(cè)試聚類C′中類簇cj′相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)聚類Cg中類簇cgi的準(zhǔn)確率P和召回率R計(jì)算為：

P（cgi，cj′）=|cgi∩cj′||cj′|（5）

R（cgi，cj′）=|cgi∩cj′||cgi|（6）

其中：cgi為標(biāo)準(zhǔn)聚類Cg中擁有第i類標(biāo)簽的類簇;cj′為聚類C′中的第j個(gè)類簇。

類簇cj′中匹配標(biāo)準(zhǔn)類簇cgi的元素的百分比計(jì)算為：

FM（cj′）=2×P（ci，cj′）×R（ci，cj′）P（ci，cj′）+R（ci，cj′）（7）

聚類結(jié)果C′相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)聚類Cg準(zhǔn)確度計(jì)算為：

FM（C′）=∑kj=1FM（cj′）k（8）

其中k為C′的類簇?cái)?shù)量C′。

2）標(biāo)準(zhǔn)化互信息。

NMI檢驗(yàn)提供了一組隨機(jī)變量間的信息互通指數(shù)（關(guān)聯(lián)程度），可以通過NMI 進(jìn)行常規(guī)的聚類評(píng)價(jià)。假設(shè)某基數(shù)為τ的數(shù)據(jù)集，若Cg為該數(shù)據(jù)集標(biāo)準(zhǔn)聚類，C′為待分析的某個(gè)聚類，那么C′相當(dāng)于Cg的NMI指標(biāo)得分公式為：

NMI（C′，Cg）=∑μ′i=1∑μgj=1υijlogυijτωiθj∑μ′i=1ωilogωiτ∑μgj=1θjlogθjτ（9）

其中：μ′為基聚類C′中的類簇?cái)?shù)量C′，μg為真實(shí)聚類Cg中的類簇?cái)?shù)量Cg。

ωi為元素出現(xiàn)在聚類C′中第i個(gè)類簇中元素的基數(shù)ci′，θj為標(biāo)準(zhǔn)聚類Cg中第j個(gè)類簇中元素的基數(shù)cj′。

另外，υij為基聚類C′中第i個(gè)類簇和標(biāo)準(zhǔn)聚類Cg中第j個(gè)類簇中的公共元素個(gè)數(shù)ci′∩cj′。

上述F檢驗(yàn)與NMI指標(biāo)的取值范圍均為[0，1]，且當(dāng)取值越接近1聚類算法性能越好。

3.2?對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析

本文擬從不同角度設(shè)計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分析不同算法在數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)。選取k均值（kmeans）、證據(jù)累積聚類（Evidence Accumulation Clustering， EAC）[12]、局部加權(quán)證據(jù)累積 （Locally Weighted Evidence Accumulation， LWEA）[27]、局部加權(quán)圖劃分（Locally Weighted Graph Partitioning， LWGP）[27]作為參與對(duì)比的基準(zhǔn)算法。使用本文提出的三支篩選算法（3WDSA）優(yōu)化EAC、LWEA、LWGP得到的3WDSAEAC、3WDSALWEA、3WDSALWGP算法與其他傳統(tǒng)方法kmeans、超圖分割算法（HyperGraph Partitioning Algorithm， HGPA）進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)迭代次數(shù)R設(shè)置為5，并在閾值α和β的值域[0，1]上分別選取100個(gè)不同的閾值α和β，實(shí)驗(yàn)選取基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集為DS1。其中100個(gè)α和100個(gè)β組成的閾值對(duì)（α，β）對(duì)算法影響如圖1所示。

圖1中XOY平面的X軸為自然增長的α值，Y軸為自然增長的β值，縱軸為不同閾值下聚類集成算法相較于未篩選結(jié)果的提升率。不同閾值調(diào)節(jié)模型產(chǎn)生優(yōu)質(zhì)基礎(chǔ)聚類的比率，從而使得最終聚類結(jié)果擁有更好的效果。如圖1所示，隨著閾值變化，算法的提升率發(fā)生改變。算法的提升率隨閾值對(duì)的增加而上升，直至達(dá)到最高，隨后算法的提升率隨閾值對(duì)的增加而下降。

閾值α和β在各數(shù)據(jù)集下最佳取值結(jié)果見表5。通過100輪實(shí)驗(yàn)，最佳閾值在[0，1]中獲得。閾值α和β影響篩選模型的效果，只有取合適閾值時(shí)，提出的三支篩選算法才比基準(zhǔn)算法有更好的促進(jìn)作用。

根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)數(shù)據(jù)集的閾值α約為0.25，閾值β約為0.55， 所以，用該閾值對(duì)進(jìn)行其他的實(shí)驗(yàn)?；谒谢鶞?zhǔn)數(shù)據(jù)集的性能，本文推薦使用閾值α∈[0.20，0.29]和閾值β∈[0.49，0.58]。

為了驗(yàn)證本文提出的三支篩選算法（3WDSA）的有效性，對(duì)比實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下：

1）3WDSAEAC、3WDSALWEA算法與基礎(chǔ)kmeans算法的性能對(duì)比;

2）3WDSAEAC、3WDSALWEA、3WDSALWGP與EAC、LWEA、LWGP、HGPA之間的性能對(duì)比;

最后為了驗(yàn)證不同基聚類集合基數(shù)對(duì)3WDSA算法的有效性影響，進(jìn)而實(shí)施第3個(gè)實(shí)驗(yàn)：

3）不同基聚類集合基數(shù)M對(duì)3WDSAEAC、3WDSALWEA、3WDSALWGP、EAC、LWEA、LWGP、HGPA算法的影響。

3.2.1?與基聚類對(duì)比

為了驗(yàn)證3WDSA對(duì)聚類集成算法的提升效果，本節(jié)對(duì)比3WDSAEAC、3WDSALWEA與基礎(chǔ)kmeans等算法的性能得分。實(shí)驗(yàn)方法為，分別使用3WDSAEAC、3WDSALWEA算法運(yùn)行100次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，同時(shí)計(jì)算這100次實(shí)驗(yàn)的NMI得分均值作為算法性能得分; 也分別執(zhí)行了100次基礎(chǔ)kmeans、EAC、LWEA算法，并計(jì)算各自的NMI平均得分作為基準(zhǔn)參考。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示， 在所有測(cè)試數(shù)據(jù)集上3WDSAEAC和3WDSALWEA效果顯著優(yōu)于基準(zhǔn)kmeans算法; 特別是3WDSALWEA在所有測(cè)試數(shù)據(jù)集上獲得了最好的NMI均值得分。在對(duì)聚類集成算法不友好的SPF數(shù)據(jù)集上，3WDSAEAC和3WDSALWEA的算法表現(xiàn)仍然能夠優(yōu)于基準(zhǔn)kmeans算法，且效果明顯高于基準(zhǔn)EAC和LWEA算法。

3WDSAEAC和3WDSALWEA在LR數(shù)據(jù)集上的NMI均值得分提升效果最為顯著，較基準(zhǔn)EAC和LWEA分別上升了1.12%和1.36%;在IS、LS、PD等數(shù)據(jù)集上，3WDSAEAC和3WDSALWEA在基準(zhǔn)EAC和LWEA上有明顯的效果提升。而在測(cè)試數(shù)據(jù)集MF上，3WDSAEAC和3WDSALWEA比較基準(zhǔn)EAC和LWEA效果提升不明顯。綜上所述，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，3WDSA能夠提升聚類集成的效果。

3.2.2?與其他聚類集成方法對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證3WDSA在聚類集成方法上的提升效果，本節(jié)對(duì)比3WDSAEAC、3WDSALWEA、3WDSALWGP算法與EAC、LWEA、LWGP、HGPA算法之間的聚類F檢驗(yàn)與NMI性能得分。其中HGPA為用于衡量對(duì)照組準(zhǔn)確性的算法。

同時(shí)，設(shè)定實(shí)驗(yàn)在基聚類基數(shù)M相同的前提下執(zhí)行每個(gè)算法50次，然后計(jì)算平均F檢驗(yàn)和NMI得分。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6所示，每個(gè)數(shù)據(jù)集下獲得的最好效果均已加粗顯示。3WDSAEAC、3WDSALWEA、3WDSALWGP在LR數(shù)據(jù)集上平均提升效果最好，Texture數(shù)據(jù)集次之。即使LWEA和LWGP采用了局部權(quán)重策略，一定程度上降低了低質(zhì)量聚類對(duì)聚類集成的影響，經(jīng)過3WDSA優(yōu)化的3WDSALWEA和3WDSALWGP算法在各數(shù)據(jù)集上仍有1%～2%的算法效果提升。上述聚類效果的提升是因?yàn)?WDSA消除了低質(zhì)量基聚類對(duì)聚類集成結(jié)果的消極影響，從而提升了高質(zhì)量基聚類對(duì)聚類集成結(jié)果的積極影響。本實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證明了3WDSA在提升聚類集成算法性能上的有效性。

4?結(jié)語

本文提出了一種基聚類三支決策篩選方法。該方法在使用信息熵構(gòu)建基聚類質(zhì)量度量的基礎(chǔ)上進(jìn)行三支篩選，并且可與任意聚類集成算法相融合。通過多組對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明基聚類三支篩選方法能夠有效提升經(jīng)典聚類集成方法的聚類效果。該研究顯示三支決策理論是提升無監(jiān)督學(xué)習(xí)效果的一種有效策略。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China （61763031， 61673301）， the National Key Research and Development Program of China （213）.

XU Jianfeng， born in 1973， Ph. D.， professor. His research interests include granular computing， rough set， threeway decision， deep learning， ensemble clustering.

ZOU Weikang， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include granular computing， rough set， threeway decision， ensemble clustering.

LIANG Wei， born in 1993， M. S. candidate. His research interests include machine learning， granular computing， rough set， threeway decision， deep learning， ensemble clustering.

CHENG Gaojie， born in 1985， M. S.， lecturer. Her research interests include granular computing， rough set， machine learning， ensemble clustering.

ZHANG Yuanjian， born in 1990， Ph. D. candidate. His research interests include granular computing， threeway decision， multilabel learning.