利用速度三角形和幾何三角形相似推導(dǎo)向心加速度公式a=u²/R

摘 要：在新課標(biāo)背景下準(zhǔn)確把握教材知識(shí)并對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)挖掘與拓展，利用速度三角形與幾何三角形的相似之處，采取數(shù)學(xué)極限思想推導(dǎo)出向心加速度公式a=■，從而對(duì)教材內(nèi)容做出適當(dāng)補(bǔ)充，符合高中學(xué)生的思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：速度三角形;幾何三角形;相似;向心加速度

在解決物體的“動(dòng)態(tài)平衡”問題時(shí)，在力三角形不是直角三角形的情況下，我們利用力三角形與幾何三角形的相似性判斷力的變化情況，即力三角形中三個(gè)力的比等于對(duì)應(yīng)幾何三角形中三個(gè)邊的比。本篇在此基礎(chǔ)上介紹利用速度三角形與幾何三角形相似的方法推導(dǎo)向心加速度。

一、速度三角形中速度變化的表示

v0為初速度，vt為末速度，Δt為速度的變化量。Δv為第一個(gè)矢量終點(diǎn)指向第二個(gè)矢量終點(diǎn)或減數(shù)指向被減數(shù)，即Δv=vt-v0。如圖1所示。

■

圖1

二、利用速度三角形與幾何三角形相似性推導(dǎo)向心加速度公式

在圖2中，v0、vt是時(shí)間間隔Δt前后的初速度和末速度。為了求二者之差Δv=vt-v0，移動(dòng)v0，畫出Δv形成速度三角形（圖3）。由于只有在Δt很小的時(shí)候，曲線近似為直線或弧長(zhǎng)近似等于弦長(zhǎng)。只有把曲線運(yùn)動(dòng)看成直線運(yùn)動(dòng)，我們才能用■表示物體的加速度，所以實(shí)際上A、B兩點(diǎn)相距很近，AB弧長(zhǎng)等于AB弦長(zhǎng)，把AOB可看成三角形（圖4）。找出速度三角形中速度大小與幾何三角形中邊長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系就能求得Δv。

■

公式的推導(dǎo)過程可以從以下四個(gè)方面處理：

1.由于是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以v0和v1大小是一樣的，可以用同一個(gè)字母表示。

2.v0和v1的大小實(shí)際上就是上圖中v0和v1的長(zhǎng)度。解決幾個(gè)物理量的關(guān)系，實(shí)際是找速度大小與幾何三角形的邊對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系。

3.角θ用弧度表示時(shí)，弧長(zhǎng)S可以表示為S=rθ。當(dāng)θ很小很小時(shí)，弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)沒什么區(qū)別，即L=S，也就是圖4中AB弧長(zhǎng)等于AB弦長(zhǎng)，AOB可看成三角形，所以S=rθ也表示弦長(zhǎng)。這個(gè)關(guān)系可以用來計(jì)算矢量Δv的長(zhǎng)度。在圖4中，由速度三角形與幾何三角形AOB相似得：

■=■

而L=S=v·Δt

即a=■

4.當(dāng)A到B的時(shí)間很短或趨于零，方向近似垂直的方向時(shí)，可以認(rèn)為方向指向圓心，也就是向心加速度的方向指向圓心。學(xué)生在學(xué)習(xí)向心加速度的方向時(shí)，一般都按向心加速度的方向和向心力方向相同去理解，本篇這種方法可作為確定向心加速度方向的另外一種方法。

通過矢量三角形與幾何三形的相似推導(dǎo)向心加速度，盡管教材中沒有作為必須掌握的內(nèi)容講解，但這種方法在物理知識(shí)的應(yīng)用、作圖、列式、計(jì)算等方面對(duì)學(xué)生有很大幫助。另外，本文應(yīng)用極限的思想在學(xué)生物理思維的建立上也起到一定的引導(dǎo)作用，其實(shí)極限思維在高中課本中出現(xiàn)過，如位移與時(shí)間關(guān)系的推導(dǎo)中，時(shí)間很短時(shí)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)可看成勻速直線運(yùn)動(dòng)處理。對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)而言，本節(jié)內(nèi)容涉及的知識(shí)點(diǎn)不是很多，無非就是幾個(gè)基本公式，能夠熟練掌握它們之間的關(guān)系和公式的應(yīng)用即可。

本文的討論只為基礎(chǔ)較好的高中生提供一種物理學(xué)習(xí)方法上的參考。物理學(xué)習(xí)并不是死記硬背公式，而是講究公式的推導(dǎo)方法與推導(dǎo)過程。掌握了這一知識(shí)點(diǎn)的推導(dǎo)過程對(duì)以后學(xué)習(xí)其他物理知識(shí)會(huì)起到事半功倍的作用。

參考文獻(xiàn)：

王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計(jì)（必修2）[M].云南人民出版社，2015-11.

作者簡(jiǎn)介：王金虎（1982.04—），男，漢族，甘肅隴西人，本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師。研究方向：高中物理教育教學(xué)。