似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法在DOA估計(jì)中的研究

廖 暉，孟祥東，何 強(qiáng)

(南京電子技術(shù)研究所，江蘇 南京 210039)

0 引 言

掌控空中情報(bào)資源是預(yù)警機(jī)的基本使命，擁有信息技術(shù)優(yōu)勢(shì)并奪取制信息權(quán)將成為戰(zhàn)爭勝負(fù)的關(guān)鍵[1]。由于雷達(dá)向空中輻射大功率電磁波且受到地雜波的限制，預(yù)警機(jī)在電子干擾、反輻射導(dǎo)彈、隱身飛機(jī)和低空突防等威脅面前面臨嚴(yán)重的生存危機(jī)[2]。無源探測(cè)方式預(yù)警機(jī)雷達(dá)不發(fā)射電磁波，只接收目標(biāo)輻射的電磁波來獲取目標(biāo)的信息，因而不易被地方偵察系統(tǒng)所發(fā)現(xiàn)，免受反輻射導(dǎo)彈的攻擊，極大地提高了預(yù)警機(jī)的生存能力[3]，是預(yù)警機(jī)獲取戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)和情報(bào)資源的有效補(bǔ)充和重要手段[4]。DOA估計(jì)技術(shù)是無源探測(cè)最重要的技術(shù)之一，MUSIC

算法是應(yīng)用最廣泛的超分辨DOA估計(jì)方法，文章提出的單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法計(jì)算量小，適合工程應(yīng)用。

1 MUSIC算法

MUSIC算法的核心原理是以信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性為基礎(chǔ)，劃分空間來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)[5-6]，工程應(yīng)用算法流程如圖1所示。

圖1 MUSIC算法的流程

從MUSIC算法的流程可以看出，MUSIC算法在工程應(yīng)用中面臨兩個(gè)問題，一是θ搜索的步進(jìn)問題，過疏角度估計(jì)不準(zhǔn)，過密增加計(jì)算時(shí)間；二是x(t)的協(xié)方差矩陣R的特征值分解計(jì)算量問題。

2 單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法

2.1 似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法原理

假設(shè)雷達(dá)陣列為一個(gè)N元線陣，如圖2所示，陣元間距d為雷達(dá)的半波長。

圖2 N元雷達(dá)線陣

假設(shè)噪聲服從獨(dú)立零均值的平穩(wěn)Gauss分布，一個(gè)N元線陣的一次數(shù)據(jù)快拍表示為：

z=a(θ)b(t)+n(t)

(1)

其中b(t)表示實(shí)際接收信號(hào)的復(fù)振幅;n(t)表示各個(gè)陣元所接收到的噪聲組成的N元向量。此時(shí)數(shù)據(jù)z的極大似然函數(shù)為：

(2)

式中,σ2為的白噪聲方差，根據(jù)極大似然原理，參數(shù)θ的最優(yōu)估計(jì)應(yīng)該使得上述聯(lián)合概率密度函數(shù)的值取得最大。此時(shí)對(duì)應(yīng)著-(z-a(θ)b)H·(z-a(θ)b)最小。根據(jù)最小二乘原理有b=[a(θ)H·a(θ)]-1·a(θ)H·z時(shí)對(duì)應(yīng)著波束回波功率S(θ)=|a(θ)H·z|2最大，因此，為了估計(jì)θ，只需尋找使得功率函數(shù)達(dá)到最大的θ值即可。

構(gòu)造函數(shù)設(shè)為：

F(θ)=ln (S(θ))=ln (|a(θ)H·z|2)

(3)

基于Taylor展開的一階線性逼近：

F(θ)=F(θ0)+F′(θ0)(θ-θ0)+Ο(θ-θ0)2

(4)

對(duì)F′θ在目標(biāo)實(shí)際所在位置θmax處進(jìn)行一階Taylor展開可得：

Ο(θ-θ0max)2

(5)

根據(jù)極值定理，當(dāng)F′θ(θ)=0時(shí)，θmax是使得F(θ)為極大似然估計(jì)的自變量值，即：

(6)

(7)

根據(jù)修正自適應(yīng)單脈沖導(dǎo)數(shù)公式[8]，假設(shè)au(θ)=a′(θ)，a(θ0)≈a(θmax)，x=b(t)+n(t)：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

公式(10)、(11) 、(12)代入公式(7)，得到

(13)

(14)

把波束指向角θ0代入公式(14)，即可求得信號(hào)到達(dá)角度。

根據(jù)上述討論，單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的流程如圖3所示。

圖3 單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的流程

從單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的流程可以看出，與MUSIC算法相比，θ搜索的步進(jìn)是固定的，與雷達(dá)的波束排布一致，同時(shí)也避免了協(xié)方差矩陣R及其特征值分解。

2.2 似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法仿真分析

仿真參數(shù)設(shè)置如下：線陣，16個(gè)陣元，波束指向從-90°～90°，共步進(jìn)32個(gè)波束，波束中心間隔6°，波長0.6 m，陣元間距0.3 m。分別從-45°、0°和 30°注入3個(gè)信號(hào)源，由于本文只考慮DOA估計(jì)的性能，假設(shè)3個(gè)信號(hào)源距雷達(dá)的距離一致，同時(shí)忽略檢測(cè)部分，對(duì)每個(gè)波束信號(hào)源所在的距離數(shù)據(jù)直接測(cè)角，仿真結(jié)果見圖4(a)。 圖4(b)～圖4(d)分別波束在指向-45°、0°和 30°附近測(cè)角的局部放大圖，由于雷達(dá)存在波束躍度，實(shí)際指向角分別為-43.55°、-2.90°和31.94°，信號(hào)源分別與波束指向角相差了1.45°、2.90°和1.94°，仿真的結(jié)果測(cè)量值分別為-45.01°、0.05°和29.98°，測(cè)量的誤差分別為0.01°、0.05°和0.02°。

3 單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法迭代測(cè)角

3.1 迭代測(cè)向原理

圖4 似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法測(cè)角仿真分析

迭代后的角度估值如下：

θmax _iter=

(15)

根據(jù)上述討論，單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法迭代測(cè)角的流程如圖5所示。

圖5 單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法迭代測(cè)角的流程

3.2 迭代測(cè)角仿真分析

仿真參數(shù)設(shè)置如3.2章所示不變，圖6為迭代測(cè)角的結(jié)果，圖6(b)～圖6(d)分別波束在指向-45°、0°和 30°附近迭代測(cè)角的局部放大圖，仿真的結(jié)果迭代之后信號(hào)測(cè)量值分別為-45.004°、-0.0097°和30.013°，測(cè)量的誤差分別為0.004°、0.0097°和0.013°。

圖6 單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法迭代測(cè)角仿真分析

4 結(jié) 語

本文研究陣列天線測(cè)量信號(hào)來波方向的工程化快速算法，通過構(gòu)造最大似然函數(shù)，并對(duì)最大似然函數(shù)求導(dǎo)數(shù)尋極值點(diǎn)的方法，得到精確的信號(hào)測(cè)量角度。理論分析和仿真結(jié)果表明，單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法測(cè)角的精度與波束指向角的夾角相關(guān)，夾角越小，精度越高。另外還可以采用迭代測(cè)角的方法讓波束指向角進(jìn)一步與真值靠近來提高測(cè)角精度。單脈沖似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)法迭代測(cè)角僅僅涉及矢量計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜度為O(n2)，與MUSIC譜估計(jì)相比，避免了協(xié)方差矩陣特征分解(計(jì)算復(fù)雜度為O(n4))等復(fù)雜運(yùn)算，易于工程實(shí)現(xiàn)。