溫室溫度精確反饋線性化預(yù)測控制

陳俐均，杜尚豐，梁美惠，何耀楓

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，北京 100083)

0 引言

溫室環(huán)境調(diào)控可為作物提供一個適宜的生長環(huán)境，以達(dá)到高產(chǎn)、優(yōu)質(zhì)、高效的目的[1]。在眾多環(huán)境調(diào)控因子中，溫度是影響作物生長的關(guān)鍵因子之一。對于溫室溫度的調(diào)控，由于模型預(yù)測控制能夠?qū)δ繕?biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，具有直接處理能量損耗問題，方便考慮被控過程的輸入、狀態(tài)和輸出的約束條件等優(yōu)點[2-3]，深受研究學(xué)者們的重視，并取得了一定的研究成果[4-5]。這類算法一般采用二次規(guī)劃技術(shù)尋求最優(yōu)解，但溫度模型具有較強的非線性特性，通常會導(dǎo)致二次規(guī)劃的非凸問題，且計算量龐大，實際操作過于復(fù)雜。

針對此問題，若能夠?qū)厥覝囟认到y(tǒng)進(jìn)行線性化操作，則可以基于線性模型設(shè)計控制器，提高在線計算效率，促進(jìn)預(yù)測控制器在實際溫室生產(chǎn)中的應(yīng)用。王向東等[6]利用泰勒級數(shù)展式對溫室環(huán)境模型進(jìn)行線性化，但這種方法為近似線性化，忽略高階非線性項，使得線性化模型與原模型存在偏差。以微分幾何為基礎(chǔ)的精確反饋線性化可以通過適當(dāng)?shù)奈⒎滞哂成浜头蔷€性狀態(tài)反饋，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)狀態(tài)或輸入輸出的精確線性化[7]。文獻(xiàn)[8-9]將該方法用于溫室環(huán)境的調(diào)控，在線性化模型的基礎(chǔ)上采用比例積分微分(Proportional Integral Derivative，PID)控制策略，減小了在線計算復(fù)雜度，取得了明顯優(yōu)于傳統(tǒng)控制的效果，為該方法在復(fù)雜溫室環(huán)境控制中的應(yīng)用提供了可能，但控制算法未直接考慮能量損耗問題。

綜上所述，本文將輸入輸出線性化與預(yù)測控制相結(jié)合，提出了溫室溫度精確反饋線性化預(yù)測控制策略。論文的內(nèi)容組織如下：①構(gòu)建溫室溫度仿射非線性系統(tǒng)； 根據(jù)微分幾何理論，實現(xiàn)溫度模型輸入輸出精確線性化。②基于線性化系統(tǒng)設(shè)計預(yù)測控制器，使溫度跟蹤誤差與運行能耗加權(quán)的二次型性能指標(biāo)達(dá)到最小。③對所設(shè)計的線性化預(yù)測控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗證。

1 溫室溫度系統(tǒng)精確線性化

1.1 溫室溫度仿射非線性系統(tǒng)模型

溫室內(nèi)部環(huán)境狀態(tài)的變化由系統(tǒng)中能量和物質(zhì)的變化情況決定。影響溫室能量流和物質(zhì)流的因素有：控制信號的輸入和室內(nèi)外環(huán)境的差異。選取溫室空氣溫度和土壤表層溫度為狀態(tài)變量，外界輸入包括太陽輻射和室外溫度，控制變量為加熱器熱量輸入。根據(jù)能量平衡建立其機理模型[10]，即

(1)

其中，Cg為溫室空氣熱容，Cg=32 000 J/(℃·m2)；Tg為溫室溫度(℃)，它受到室外太陽短波輻射增熱量Qrad(W/m2)、室內(nèi)空氣與覆蓋物的熱交換Qcov(W/m2)、室內(nèi)空氣與表層土壤的熱交換Qsoil(W/m2)、作物蒸騰作用消耗的潛熱Qtran(W/m2)及熱量輸入uh(W/m2)的影響；Cs為表層土壤熱容，Cs=120 000J/(℃·m2)；Ts(℃)為表層土壤溫度，它與表層土壤向室內(nèi)空氣的對流傳熱Qsoil(W/m2)和深層土壤向表層土壤的熱傳導(dǎo)Qd(W/m2)有關(guān)。

式(1)中各項的計算公式為

Qrad=ηG

(2)

其中，η為太陽輻射熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)，η=0.7；G為室外太陽輻射強度(W/m2)。

Qcov=kcov(To-Tg)

(3)

其中，kcov為溫室覆蓋材料的熱傳遞系數(shù)，kcov=7.9W/(℃·m2)；To為室外溫度(℃)。

Qsoil=ksoil(Ts-Tg)

(4)

其中，ksoil為表層土壤熱傳遞系數(shù)，ksoil=5.75W/(℃·m2)。

Qtran=λEtran

(5)

式中，λ為水的汽化潛熱，λ=2.45J/kg；Etran為作物葉片蒸騰速率[kg/(s·m2)]，表達(dá)式為[11]

(6)

(7)

其中，s為飽和水汽壓隨溫室溫度變化曲線的斜率(kPa/℃)；r為濕度計常數(shù)，r=0.064 6kPa/℃；rs為作物葉片對水汽的阻抗，rs=100s/m；rb為作物葉片邊界層空氣動力學(xué)阻抗，rb=180s/m；ke為作物冠層消光系數(shù)，ke=0.8；LAI為作物冠層葉面積指數(shù)；ρa為空氣密度，標(biāo)準(zhǔn)條件下ρa≈1.29kg/m3；Ca為空氣恒壓比熱容，Ca=1000J/(kg·℃)；p0為0℃時的空氣飽和水汽壓，p0=0.610 7 kPa；Λ為理想氣體定律中的理想氣體常數(shù)，Λ=0.461 52 N·m/(℃·g)；Vh為室內(nèi)絕對濕度(kg/m3)。

Qd=kd(Td-Ts)

(8)

其中，kd為深層土壤向表層土壤的熱傳導(dǎo)系數(shù)，kd=2 W/(℃·m2)；Td為深層土壤溫度(℃)。

由式(1)可知：溫室模型僅對狀態(tài)變量為非線性，對控制量是線性的，符合仿射非線性系統(tǒng)的定義。將作物蒸騰速率(6)代入模型(1)中，令狀態(tài)變量X=[x1，x2]=[Tg，Ts]，室外輸入V=[v1，v2]=[G，To]，控制變量u=uh，整理可得單輸入單輸出仿射非線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式為

(9)

其中，y為系統(tǒng)輸出變量；h(X)為光滑輸出函數(shù)；f(X)和g(X)為光滑的向量場。

(10)

(11)

1.2 溫室溫度系統(tǒng)輸入輸出線性化

1.2.1 輸入輸出線性化理論

所謂輸入輸出線性化，就是通過構(gòu)造穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制規(guī)律，使得輸入輸出之間具有理想的線性關(guān)系[3]。對于單輸入單輸出仿射非線性系統(tǒng)(9)，得到線性輸入輸出關(guān)系的基本方法就是對輸出函數(shù)y進(jìn)行微分，直到得到y(tǒng)與u的直接關(guān)系[12]。為了使輸入u出現(xiàn)，需要對y進(jìn)行微分的次數(shù)為系統(tǒng)相對階。

(12)

微分同胚T(X)可將原系統(tǒng)分解為外部ξ和內(nèi)部η兩部分，通過狀態(tài)反饋得

(13)

1.2.2 溫室溫度系統(tǒng)輸入輸出線性化模型

本節(jié)對溫室溫度仿射非線性系統(tǒng)模型(9)進(jìn)行輸入輸出精確線性化。首先計算系統(tǒng)的相對階，一階李導(dǎo)數(shù)Lgh(X)為

(14)

由式(14)可知：系統(tǒng)(9)的相對階為1，可采用微分同胚T(X)=[h(X)，Φ1(X)]進(jìn)行輸入輸出線性化。

再尋找坐標(biāo)變換Φ1(X)，需滿足條件

(15)

由式(15)可知：Φ1(X)的選取與x1無關(guān)，可取Φ1(X)=x2。

據(jù)此，利用T(X)可將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為

(16)

零動態(tài)系統(tǒng)f2(0，z2)為線性系統(tǒng)，容易驗證z2的系數(shù)矩陣為霍爾維茨矩陣，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

在新坐標(biāo)系下，系統(tǒng)(9)的狀態(tài)反饋控制規(guī)律為

(17)

溫室溫度輸入輸出精確線性化控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 溫室溫度輸入輸出精確線性化控制系統(tǒng)框圖

2 基于輸入輸出反饋精確線性化的預(yù)測控制器設(shè)計

經(jīng)過上述精確反饋線性化后，系統(tǒng)輸入和輸出呈線性積分關(guān)系。本節(jié)在線性化模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計預(yù)測控制器，獲得加熱輸入，實現(xiàn)溫室溫度跟蹤和節(jié)能功能。基于精確線性化的溫室溫度預(yù)測控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于精確線性化的溫室溫度預(yù)測控制系統(tǒng)框圖

控制的具體過程為：控制器將設(shè)定值Tset與系統(tǒng)輸出y進(jìn)行比較，所得偏差e(e=Tset-y)和溫室狀態(tài)X作為預(yù)測控制器的輸入，經(jīng)時域滾動優(yōu)化產(chǎn)生控制量v，傳遞給精確線性化環(huán)節(jié)，獲得加熱控制信號u，調(diào)節(jié)溫室溫度。

首先，采用歐拉映射法[13]將系統(tǒng)(16)進(jìn)行離散化，以輸出函數(shù)方程為例，可得

y(k+1)=S·v(k)+y(k)

(18)

其中，S為采樣周期。

以式(18)作為預(yù)測模型，若預(yù)測時域為N，則在當(dāng)前時刻k可得(k+1)～(k+N)時刻的溫室溫度預(yù)測值為

(19)

其中，y(k+i|k)(i=1，2，…，N)為k+i時刻的預(yù)測模型輸出值。

為使系統(tǒng)在整個控制過程中的動態(tài)跟蹤誤差與加熱能量消耗綜合最優(yōu)，構(gòu)造如下二次型性能指標(biāo)J，即

u(k+i-1)TRu(k+i-1)]

(20)

(21)

其中，Q和R分別為跟蹤誤差和控制量的加權(quán)系數(shù)，預(yù)測時域和控制時域均為N。

受溫室加熱執(zhí)行機構(gòu)結(jié)構(gòu)和容量的限制，控制信號u需滿足如下約束條件，即

umin≤u(k)≤umax

(22)

其中，umin和umax分別為加熱量的最小值和最大值。

根據(jù)式(21)和式(22)，可得新控制輸入v在每個控制時域N內(nèi)的最小值vmin和最大值vmax分別為

vmin(k+i)=uming1(z1(k+i),z2(k+i))+

f1(z1(k+i),z2(k+i))

vmax(k+i)=umaxg1(z1(k+i),z2(k+i))+

f1(z1(k+i),z2(k+i))

i=0,1,...,N-1

(23)

在式(23)的約束下，使性能指標(biāo)(20)最小化即可得最優(yōu)控制信號輸入。由于動態(tài)規(guī)劃對于解決離散系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制問題很有效，且可以處理控制變量存在約束的情形，因此選用動態(tài)規(guī)劃作為優(yōu)化搜索方法。該算法通過優(yōu)化可找到一個最優(yōu)控制序列V*(k)=[v*(k)，v*(k+ 1)，…，v*(k+N-1)]；把v*(k)代入式(21)，求得u*(k)；將u*(k)應(yīng)用于溫度控制中，作用時長為1個采樣周期，然后時間向前滾動1個采樣周期。重復(fù)進(jìn)行此優(yōu)化搜索，直至進(jìn)行到終端時刻。

3 仿真試驗

為了驗證所設(shè)計控制策略的有效性，利用Matlab對基于溫室溫度輸入輸出精確線性化的預(yù)測控制算法進(jìn)行仿真驗證，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。仿真系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：仿真時間為2天，采樣周期S為180 s，預(yù)測時域N為3，溫室溫度和表層土壤溫度初值分別為10 ℃和5 ℃，深層土壤溫度Td為10 ℃，室內(nèi)相對濕度為50 %(相對濕度和絕對濕度的轉(zhuǎn)換可參考文獻(xiàn)[14])，葉面積指數(shù)LAI為1.6，加熱輸入u的取值范圍為0 ～ 150 W/m2，室外光照強度G和室外溫度To的設(shè)置如圖3所示。

圖3 室外太陽輻射和室外溫度

采取四段變溫方式給出室內(nèi)溫度設(shè)定值，具體如下：05：00-09：00，18 ℃；09：00-14：00，26 ℃；14：00-19：00，21 ℃；19：00-05：00，13 ℃。

圖4顯示了精確線性化預(yù)測控制系統(tǒng)在式(20)Q=1、R取不同值時的溫室溫度跟蹤曲線和加熱控制量變化曲線。其中，圖4(a)、 圖4(b)和圖4(c)分別為R取1、1.5、2時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。由圖4可看出：R在不同取值下，室內(nèi)溫度基本能夠跟蹤設(shè)定值；隨著R的增大，系統(tǒng)越重視消耗能量的大小，溫度跟蹤能力減弱，加熱能耗減小。基于積溫思想[15]，作物具有一定的耐受性，短時間內(nèi)偏離其最適溫度，作物生長不會受到太大的影響，故以溫度跟蹤均方根誤差(root mean square error，RMSE)作為控制精度的評價指標(biāo)。經(jīng)計算可得：R取1、1.5、2時對應(yīng)的RMSE分別為1、1.1、1.3℃，加熱量的平均值分別為40.4、39.7、38.9 W/m2。在生產(chǎn)應(yīng)用中，對于權(quán)值Q和R的取值，種植者可綜合權(quán)衡跟蹤誤差和能量損耗，結(jié)合實際情況進(jìn)行選取。

圖4 精確線性化預(yù)測控制系統(tǒng)在Q=1，R分別取1、1.5、2時的溫室溫度跟蹤曲線和加熱控制量變化曲線

為了進(jìn)一步驗證所設(shè)計控制系統(tǒng)的調(diào)控效果，將其與精確線性化PID控制系統(tǒng)進(jìn)行對比。PID系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與圖2類似，只需將預(yù)測控制器換為PID控制器即可。預(yù)測控制器參數(shù)設(shè)置為：Q=1，R=1.5；PID控制器參數(shù)設(shè)置為：比例增益為0.01，積分增益為5×10-4，微分增益為1×10-4。兩種控制器其他設(shè)置均一致。

圖5顯示了2種控制系統(tǒng)的溫室溫度跟蹤曲線和加熱控制量變化曲線。其中，圖5(a)和圖5(b)分別為精確線性化預(yù)測控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。

圖5 精確線性化預(yù)測控制和精確線性化比例積分微分控制的溫室溫度跟蹤曲線和加熱控制量變化曲線

由圖5可以看出：兩種控制器的溫度跟蹤效果均較好，相比預(yù)測控制系統(tǒng)，PID控制系統(tǒng)出現(xiàn)了超調(diào)和震蕩現(xiàn)象，過大的超調(diào)量會導(dǎo)致能量的浪費。此外，在實際溫度與設(shè)定值出現(xiàn)較大偏差的時刻，兩種系統(tǒng)的控制量均及時做出了響應(yīng)，相比而言，預(yù)測控制信號的響應(yīng)更為平穩(wěn)。經(jīng)計算可得：預(yù)測控制和PID控制的RMSE均為1.1 ℃，加熱量的平均值分別為39.7 W/m2和41.2 W/m2。對比結(jié)果表明：精確線性化預(yù)測控制系統(tǒng)可以同時兼顧控制精度和加熱損耗，更符合實際需求。

4 結(jié)論

本文根據(jù)能量守恒定律建立了溫室溫度系統(tǒng)模型，該模型具有很強的非線性特性，但是對于加熱控制輸入?yún)s是線性的，基于此種特點，將其轉(zhuǎn)換為仿射非線性系統(tǒng)。根據(jù)微分幾何理論，采用精確線性化方法，將輸入輸出等價為積分系統(tǒng)，再基于等價系統(tǒng)設(shè)計預(yù)測控制器，該控制器能夠綜合權(quán)衡控制精度與能量損耗，在線計算量小。仿真試驗表明，基于精確線性化的溫度預(yù)測控制器可有效跟蹤設(shè)定值，與精確線性化PID(Proportional Integral Derivative)控制器相比，在獲得相同跟蹤均方根誤差的情形下，能量損耗更小。下一步的工作是研究溫濕度系統(tǒng)的線性化與控制問題，考慮其他設(shè)備的調(diào)控作用。