平面解析幾何中的易錯點剖析

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主要知識模塊，也是高考考查的重點知識之一，涉及的知識甚多，同時易錯點也較多.在高三復(fù)習(xí)中，如能在這些易錯點上強化正誤辨析意識，就能加強訓(xùn)練的針對性，提高復(fù)習(xí)的效率.本文從剖析解析幾何的典型易錯知識與方法的角度加以分析，為同學(xué)們在以后的復(fù)習(xí)中能防微杜漸起拋磚引玉之用.

易錯點1：基本概念理解偏差致錯

例1 經(jīng)過點（2，1）且與兩坐標(biāo)所圍成的三角形面積為4的直線方程是 .

錯解：由題意，所求直線方程為xa+yb=1，由（2，1）在直線上得2a+1b=1及ab=8，

得a=4，b=2，故所求直線方程為x+2y=4.

錯因分析：截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”.事實上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為12|a||b|，而不是12ab.

正解：所求直線方程應(yīng)為：x+2y=4，

或（2+1）x-2（2-1）y-4=0，

或（2-1）x-2（2+1）y+4=0.

評注：“距離”與“截距”、兩直線夾角與到角等基本概念，看似基礎(chǔ)，實則涉及到一類問題的本質(zhì)，理解入陷阱，易致錯.

易錯點2：知識掌握不重細節(jié)致錯

例2 過點（2，2）且橫、縱截距相等的直線方程 .

錯解：設(shè)所求方程為xa+ya=1，將（2，2）代入得a=4，得直線方程為x+y-4=0.

錯因分析：上述錯解所設(shè)方程為xa+ya=1，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、縱截距為0且過點（2，2）的直線y=x也符合條件，主要審題不全致錯.

正解：x+y-4=0或x-y=0.

例3 過點A（-4，2）且與x軸的交點到（1，0）的距離是5的直線方程 .

錯解：設(shè)直線斜率為k，其方程為y-2=k（x+4），則與x軸的交點為（-4-2k，0），

∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.

故所求直線的方程為x+5y-6=0.

錯因分析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”，其實x=-4也符合題意.

正解：x+5y-6=0或x=-4.

評注：直線方程的五種形式中，每種形式都有其適用條件，忽視斜率不存在或零截距的情況，是很多學(xué)生經(jīng)常犯的錯誤.

易錯點3：題目條件審視不全致錯

例4 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過A點作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

錯解：將圓的方程配方得：

（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24，

因為其圓心坐標(biāo)為C（-a2，-1），半徑r=4-3a24，當(dāng)點A在圓外時，過點A可作圓的兩條切線，則|AC|>r，即（1+a2）2+（2+1）2>4-3a24.即a2+a+9>0，解得a∈R.

錯因分析：本題的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出|AC|>r，卻忽視了a的另一制約條件4-3a2>0.

正解：圓方程為（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24，由a2+a+9>0及4-3a2>0，

可得a的取值范圍是（-233，233）.

評注：審題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)挖掘問題的隱含條件，理清條件間錯綜復(fù)雜的關(guān)系.審題不清，是解析幾何解題的大忌.

易錯點4：忽視定義中的限制條件致錯

例5 已知定圓F1：（x+5）2+y2=1，圓F2：（x-5）2+y2=16，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心的軌跡方程.

錯解：由F1：（x+5）2+y2=1，F(xiàn)2：（x-5）2+y2=16，設(shè)圓M半徑為r，則MF1=1+r，MF2=4+r，故MF2-MF1=3<|F1F2|=10，知M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線，且2a=3，a=32，c=5;b2=c2-a2=914，故M的軌跡方程為：x294-y2914=1.

錯因分析：上述解法將MF2-MF1=3看成|MF1-MF2|=3，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致.

正解：在上述解法中添加：應(yīng)在上述解法中添加：由于MF2-MF1=3，知MF2>MF1，點M的軌跡是雙曲線的左支，故M的軌跡方程為：

x294-y2914=1（x≤-32）.

評注：直線與圓、圓錐曲線的定義，看似基礎(chǔ)，實則涉及到一類問題的本質(zhì)，如果不注意一些限制條件，容易致錯.

易錯點5：考慮問題不周全所致錯

例6 若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

錯解：直線與坐標(biāo)軸的交點為（0，1），（-2，0），由題意知，c=2，b=1，

∴a2=5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.

錯因分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時易忽視判斷焦點的位置，誤以為給出方程的橢圓直接在x軸上，而直接設(shè)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），忽略了焦點在y軸上的情形.

正解：直線與坐標(biāo)軸的交點為（0，1），（-2，0），

由題意知當(dāng)焦點在x軸上時，c=2，b=1，

∴a2=5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.

當(dāng)焦點在y軸上時，b=2，c=1，

∴a2=5，所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為y25+x24=1.

評注：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種情形：一是焦點在x軸上，二是焦點在y軸上.如果焦點位置不明確，那么有兩種情形分類討論.有時當(dāng)橢圓焦點位置不明確時，也可設(shè)為x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n），也可設(shè)為Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）.

易錯點6：偏重技巧忽視本質(zhì)致錯

例7 已知雙曲線x2-y22=1，問過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

錯解：假設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P（x1，x2）、Q（x2，y2），

則x21-y212=1（1）x22-y222=1（2）

（1）-（2）得

（x1-x2）（x1+x2）=12（y1-y2）（y1+y2） （3）

因為A（1，1）為線段PQ的中點，

所以x1+x2=2（4）y1+y2=2（5）

將（4）、（5）代入（3）得x1-x2=12（y1-y2） （6）

若x1≠x2，則直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，

所以符合題設(shè)條件的直線l存在，其方程為2x-y-1=0.

錯因分析：（3）式成立的前提下，由（4）、（5）兩式可推出（6）式，這是很多同學(xué)都十分熟悉的“點差法”，這種“設(shè)而不求”的解題技巧雖簡化了解題過程.但忽視了大前提：必需兩根都存在，要用判別式去檢驗！

正解：應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由y=2x-1x2-y22=1 得2x2-4x+3=0，根據(jù)Δ=-8<0，

說明所求直線不存在.

評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通過聯(lián)立方程組，用判別式來判別解的情況是前提.一些技巧性的解法，雖簡化了過程，但忽視了本質(zhì)，易致錯.

（作者：朱振華，江蘇省海門中學(xué)）