康普頓成像系統(tǒng)角分辨影響因素的理論及模擬研究

王 薇，李傳龍，吳建華，李興隆

(中國(guó)原子能科學(xué)研究院 輻射安全研究所，北京 102413)

康普頓成像系統(tǒng)從提出距今已有40余年[1]，相比于傳統(tǒng)的機(jī)械準(zhǔn)直單孔成像系統(tǒng)，具有諸多優(yōu)點(diǎn)[2]：首先，康普頓成像系統(tǒng)無(wú)需準(zhǔn)直器，增加了系統(tǒng)的靈敏度和視野范圍，可設(shè)計(jì)為多層以提高探測(cè)效率，從而使其測(cè)量時(shí)間短、系統(tǒng)質(zhì)量輕、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)；其次，由于大部分材料在幾百keV～幾MeV能區(qū)內(nèi)的康普頓散射截面較大，因此康普頓成像系統(tǒng)更適用于對(duì)能量為幾百keV～幾MeV的γ射線成像；再次，康普頓成像系統(tǒng)的成像分辨率取決于探測(cè)器的能量和位置分辨本領(lǐng)，成像效率取決于探測(cè)器的尺寸、材料和幾何，成像分辨率與成像效率無(wú)相互制約關(guān)系，可同時(shí)得到改善。另外，其可在一定成像范圍內(nèi)對(duì)未知源實(shí)現(xiàn)三維成像[3-4]，即能精準(zhǔn)確定放射源所在位置的空間角度和縱深距離，這種對(duì)源的全方位識(shí)別能力在各種核材料檢測(cè)、核設(shè)施退役場(chǎng)所強(qiáng)輻射場(chǎng)的熱點(diǎn)定位及放射醫(yī)學(xué)[5]中顯得尤為重要。

隨著放射醫(yī)學(xué)手段的普及、核設(shè)施退役工作的展開及對(duì)核與輻射源事故處理技術(shù)要求的不斷提高，具有上述諸多優(yōu)點(diǎn)的康普頓成像系統(tǒng)成為近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[6]。其中以文獻(xiàn)[7-10]研制的康普頓成像系統(tǒng)最為突出，2001年開發(fā)了由兩塊1 cm3位置靈敏CZT晶體分別作為散射和吸收探測(cè)器的康普頓成像系統(tǒng)，該系統(tǒng)的成像角分辨率約為3°(511 keV)和2°(1 MeV)，成像效率約為1.5×10-4(500 keV)和8.8×10-6(3 MeV)；2004年開發(fā)了由1塊1.5 cm×1.5 cm×1 cm像素型CZT晶體同時(shí)作為散射和吸收探測(cè)器的康普頓成像系統(tǒng)，該系統(tǒng)的成像效率接近2%，成像角分辨率約為17°(662 keV)，其最大優(yōu)勢(shì)在于可進(jìn)行4π視角全方位成像，近年以該成像系統(tǒng)為原型推出了商業(yè)化康普頓相機(jī)H3D Polaris-HTM，其高配置版本Quad采用了19.4 cm3像素型CZT晶體進(jìn)行4π成像，探測(cè)時(shí)間縮短至普通版的1/3，成像角分辨率約為30°(實(shí)時(shí)處理)。國(guó)內(nèi)康普頓相機(jī)的研制起步較晚，其中四川大學(xué)與中國(guó)工程物理研究院對(duì)陣列式康普頓相機(jī)進(jìn)行了模擬及反投影圖像重建[11-13]，但關(guān)于康普頓相機(jī)成像的理論設(shè)計(jì)研究及實(shí)際樣機(jī)研制尚未見(jiàn)報(bào)道。本文模擬構(gòu)建由位置靈敏CZT晶體組成的雙層康普頓成像系統(tǒng)，對(duì)引起成像系統(tǒng)散射角誤差進(jìn)而影響其角分辨能力的因素開展理論研究，推算不同能量光子入射時(shí)由不同角分辨影響因素引起的散射角誤差范圍，提出成像系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)建議。

1 康普頓成像原理

康普頓成像系統(tǒng)利用康普頓散射原理來(lái)成像[14]，一般要求入射光子與探測(cè)介質(zhì)先發(fā)生康普頓散射，將部分沉積能量傳遞給介質(zhì)中的電子，并測(cè)量記錄反沖電子的動(dòng)能T′e和相互作用位置x1；產(chǎn)生的散射光子繼續(xù)與探測(cè)介質(zhì)發(fā)生光電吸收，沉積全部能量，此時(shí)測(cè)量記錄散射光子的能量E′和相互作用位置x2。對(duì)滿足上述條件的入射光子能量E0可表示為：

E0=T′e+E′

(1)

考慮到實(shí)際中高能γ射線入射時(shí)產(chǎn)生的散射光子可能會(huì)繼續(xù)發(fā)生康普頓散射只沉積部分能量，此時(shí)測(cè)量到的沉積能量不等于散射光子的能量，這樣的事件在圖像重建時(shí)會(huì)增加本底噪聲。為減少此噪聲影響，測(cè)量時(shí)僅收集散射光子能量全沉積事件，此時(shí)經(jīng)典康普頓散射角θ可表示為：

(2)

其中，mec2為電子的靜止能量(511 keV)。

式(2)可確定放射源位于以x1位置為頂點(diǎn)、x1x2連線為中軸、頂角為θ的圓錐面上，大量符合康普頓散射條件的事件可得到很多圓錐，理論上這些圓錐的交點(diǎn)就是放射源所在位置。圖1為康普頓成像原理示意圖。

圖1 康普頓成像原理示意圖Fig.1 Schematic of Compton imaging principle

2 康普頓成像系統(tǒng)的散射角誤差

康普頓成像系統(tǒng)角分辨本領(lǐng)的影響因素主要來(lái)自探測(cè)材料本身及測(cè)量系統(tǒng)對(duì)康普頓散射角測(cè)量時(shí)引起的角誤差，其中探測(cè)材料引起的散射角誤差主要源于探測(cè)材料的多普勒效應(yīng)，記為ΔθD；而測(cè)量系統(tǒng)引起的散射角誤差則主要取決于系統(tǒng)的能量分辨本領(lǐng)和位置分辨本領(lǐng)，分別記為Δθr和Δθg。為研究康普頓成像系統(tǒng)角分辨本領(lǐng)的影響因素，本文分別對(duì)Δθr、ΔθD、Δθg進(jìn)行研究。

2.1 能量分辨本領(lǐng)引起的散射角誤差Δθr

由于函數(shù)變量含有誤差會(huì)致使函數(shù)也含有誤差，該誤差可用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的誤差傳播定律進(jìn)行估計(jì)，對(duì)式(2)使用誤差傳播定律[7]可得：

(3)

其中，ΔE0和ΔT′e分別為由測(cè)量系統(tǒng)能量分辨本領(lǐng)造成的對(duì)入射光子全能峰能量及反沖電子動(dòng)能的測(cè)量誤差。由于ΔE0僅來(lái)自于對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的刻度偏差，通常比ΔT′e小得多，因此Δθr可表示[7]為：

(4)

2.2 多普勒展寬引起的散射角誤差ΔθD

圖2 康普頓散射的實(shí)際過(guò)程Fig.2 Actual process of Compton scattering

經(jīng)典康普頓效應(yīng)假定入射光子與探測(cè)介質(zhì)原子中靜止的軌道電子發(fā)生散射產(chǎn)生次級(jí)散射光子，但實(shí)際上介質(zhì)原子中的軌道電子并非靜止不動(dòng)，而是以一定的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)，此時(shí)次級(jí)散射光子將產(chǎn)生多普勒展寬，該展寬將引起一定的康普頓散射角誤差，進(jìn)而影響系統(tǒng)成像效果[15]。圖2為康普頓散射的實(shí)際過(guò)程，假定探測(cè)介質(zhì)原子的軌道電子在某一特定的軌道上繞核子旋轉(zhuǎn)，其發(fā)生康普頓效應(yīng)前后軌道電子動(dòng)量分別為p(與入射方向夾角為α)和q(與入射方向夾角為φ)。

若軌道電子之間的庫(kù)侖力忽略不計(jì)，則吸引核子的庫(kù)侖力與電子的向心力相平衡，由該平衡關(guān)系可推得：

|B|=|Te|

(5)

其中：Te為發(fā)生康普頓效應(yīng)前該軌道電子的動(dòng)能；B為該電子所在軌道結(jié)合能。

利用上述模型，若入射光子轉(zhuǎn)移的能量足以使得電子成為自由電子(即碰撞后電子勢(shì)能為0)，則根據(jù)散射過(guò)程的動(dòng)量和能量守恒及狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)，并結(jié)合式(5)可得到以下方程組：

(6)

E0-E′=B+T′e

(7)

q2c2=T′2e+2mec2T′e

(8)

p2c2=B2+2mec2B

(9)

求解上述方程可得，當(dāng)考慮介質(zhì)原子中軌道電子的結(jié)合能B，且假定其具有一定初始動(dòng)量p時(shí)，康普頓散射角的一般表達(dá)式為：

(10)

式(10)中的正、負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)α=0°和α=180°，即軌道電子的初始運(yùn)動(dòng)方向正向或背離光子入射方向。由式(10)可得出對(duì)于任一給定能量的反沖軌道電子，由多普勒效應(yīng)引起的平均散射角誤差ΔθD為：

(11)

其中，θα=180°和θα=0°分別對(duì)應(yīng)介質(zhì)原子中軌道電子的初始運(yùn)動(dòng)方向背離和正向光子入射方向時(shí)的康普頓散射角。

2.3 位置分辨本領(lǐng)引起的散射角誤差Δθg

受探測(cè)器位置分辨本領(lǐng)所限，對(duì)入射光子與探測(cè)介質(zhì)原子發(fā)生相互作用位置的測(cè)量會(huì)造成散射角誤差Δθg。圖3為康普頓成像探測(cè)系統(tǒng)位置分辨本領(lǐng)造成角誤差的示意圖，其中假設(shè)探測(cè)介質(zhì)網(wǎng)格體積等效于質(zhì)心位于相互作用位置，半徑等于測(cè)量誤差δx的球形區(qū)域，d為入射光子在探測(cè)介質(zhì)中發(fā)生兩次相互作用位置之間的距離，Δθg計(jì)算公式為：

(12)

圖3 康普頓成像探測(cè)系統(tǒng)位置分辨本領(lǐng)造成角誤差Δθg示意圖Fig.3 Δθg caused by position resolution ability of Compton imaging system

由式(12)可看出，Δθg與δx呈正比，與d呈反比，因此較小的相互作用距離會(huì)造成較大的Δθg，此時(shí)將惡化系統(tǒng)角分辨本領(lǐng)。需注意的是，成像效率也與d呈反比，較大的d雖降低了Δθg，改善了系統(tǒng)的角分辨本領(lǐng)，但同時(shí)也降低了系統(tǒng)的成像效率，因此成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況權(quán)衡比較后確定。

3 散射角誤差估算

3.1 Δθr的估算

本文建立了康普頓成像系統(tǒng)模型，該模型由兩層25.4 mm×25.4 mm×5 mm的CZT晶體組成，層間距設(shè)置為4 cm，該晶體的能量分辨率為3%(662 keV)和5.5%(122 keV)。使用該模型計(jì)算了不同能量(122 keV、662 keV、1.33 MeV和2 MeV)光子入射后Δθr隨其散射角的變化情況(圖4)。由圖4可看出：Δθr隨入射光子能量的升高而降低，由此驗(yàn)證了使用CZT晶體作為探測(cè)材料的康普頓成像系統(tǒng)不適合低能光子成像；對(duì)給定能量的入射光子，Δθr與散射角之間呈先降低后升高的趨勢(shì)，過(guò)大或過(guò)小的散射角造成的Δθr較大，此時(shí)將惡化系統(tǒng)的成像角分辨率，因此對(duì)中高能光子進(jìn)行康普頓成像時(shí)，過(guò)大或過(guò)小的散射角應(yīng)受到限制。為避免過(guò)大的散射角誤差(>5°)，表1列出了本工作對(duì)662 keV、1.33 MeV和2 MeV入射光子的建議散射角范圍及該范圍內(nèi)的Δθr。

圖4 不同能量入射光子的Δθr隨散射角的變化Fig.4 Δθr vs scattering angle with different energy incident photons

表1 不同能量光子入射時(shí)散射角取值范圍及其對(duì)應(yīng)的ΔθrTable 1 Δθr corresponding to scattering angle range of photons with different energy

本工作研究的是晶體的本征能量分辨率引起的角誤差影響，未考慮后續(xù)電路的影響，合理的電子學(xué)線路設(shè)計(jì)可能會(huì)改善分辨率，則上述角誤差可能會(huì)相應(yīng)減小，但改善幅度有限。

3.2 ΔθD的估算

本文分別計(jì)算了不同能量(662 keV、1.33 MeV和2 MeV)光子入射CZT晶體時(shí)多普勒效應(yīng)引起的散射角誤差ΔθD。由于與入射光子發(fā)生碰撞的電子所在軌道未知，ΔθD不能唯一確定。為了表征實(shí)際誤差，分別按照Cd、Zn和Te原子中殼層、支殼層軌道電子數(shù)占核外總電子數(shù)的比例進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)獲得不同能量光子分別入射Cd、Zn和Te原子的平均散射角誤差。表2列出了Cd、Zn和Te原子不同殼層、支殼層的軌道電子數(shù)和結(jié)合能。此外，為了得到CZT晶體(Cd0.9Zn0.1Te)的平均散射角誤差，本工作按照該晶體中Cd、Zn和Te原子的康普頓散射宏觀截面的比例進(jìn)行了加權(quán)求和。圖5為不同能量光子入射CZT晶體后平均散射角與反沖電子能量之間的關(guān)系?？煽闯?，當(dāng)不同能量光子入射CZT晶體時(shí)，康普頓平均散射角與反沖電子動(dòng)能均呈正比。當(dāng)662 keV、1.33 MeV和2 MeV光子分別入射CZT晶體時(shí)，不同散射角范圍對(duì)應(yīng)的ΔθD列于表3。

表2 Cd、Zn和Te原子殼層、支殼層的軌道電子數(shù)和結(jié)合能Table 2 Orbital electron number and binding energy for atomic shell and subshell of Cd, Zn and Te

圖5 不同能量光子入射CZT晶體后平均散射角與反沖電子能量之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between average scattering angle and recoil electron energy after different energy photons incidence on CZT crystal

表3 不同能量光子入射時(shí)不同散射角范圍對(duì)應(yīng)的ΔθDTable 3 ΔθD corresponding to scattering angle range for different energy photons

3.3 Δθg的估算

本工作擬采用16×16路像素型CZT晶體實(shí)現(xiàn)成像功能，該晶體的位置分辨本領(lǐng)約為1.39 mm，系統(tǒng)信號(hào)處理時(shí)認(rèn)為在每個(gè)晶體像素格內(nèi)發(fā)生的相互作用位置均位于該晶格的中心。表4列出不同層間距情況下康普頓成像系統(tǒng)的Δθg。由表4可知，Δθg隨兩層CZT晶體層間距的增加而減小，為滿足系統(tǒng)成像角分辨要求應(yīng)使層間距大于3 cm為佳。

表4 不同層間距情況下康普頓成像系統(tǒng)的ΔθgTable 4 Δθg of Compton imaging system at different layer intervals

圖6 系統(tǒng)成像效率模擬結(jié)果Fig.6 Simulation result of system imaging efficiency

使用Geant4建立了康普頓成像系統(tǒng)模型，假設(shè)不同能量(662 keV、1.33 MeV和2 MeV)光子點(diǎn)源位于距第1層晶體中心5 m處入射，入射粒子數(shù)為106。使用該模型對(duì)不同CZT晶體層間距下成像系統(tǒng)的成像效率進(jìn)行模擬計(jì)算，結(jié)果如圖6所示?？煽闯觯到y(tǒng)的成像效率隨入射粒子能量的增加而降低，同時(shí)隨兩層CZT晶體層間距的增加而降低。綜合考慮成像系統(tǒng)的成像效率及角分辨要求，建議層間距取4 cm。當(dāng)662 keV、1.33 MeV和2 MeV光子分別入射CZT晶體時(shí)，在不同散射角范圍內(nèi)Δθg及其相應(yīng)成像效率列于表5。

表5 不同能量光子入射時(shí)不同散射角范圍對(duì)應(yīng)的Δθg及成像效率Table 5 Δθg and imaging efficiency corresponding to scattering angle range for different energy photons

3.4 小結(jié)

根據(jù)誤差疊加原理，總的康普頓散射角誤差Δθall為：

(13)

針對(duì)所建立的康普頓成像系統(tǒng)，不同能量光子入射時(shí)的Δθr、ΔθD、Δθg及Δθall列于表6。

表6 不同能量光子入射時(shí)的Δθr、ΔθD、Δθg及ΔθallTable 6 Δθr, ΔθD, Δθg and Δθall for different energy photons

由表6可見(jiàn)，當(dāng)能量為662 keV、1.33 MeV和2 MeV的光子入射時(shí)，Δθall分別為5.54°、4.82°和4.52°，且隨入射粒子能量的升高而降低，其中對(duì)Δθall的主要貢獻(xiàn)來(lái)自探測(cè)系統(tǒng)位置分辨本領(lǐng)和能量分辨本領(lǐng)，探測(cè)材料多普勒效應(yīng)引起的角誤差貢獻(xiàn)相對(duì)較小。

4 結(jié)論

本文模擬構(gòu)建了一個(gè)由位置靈敏CZT晶體組成的雙層康普頓成像系統(tǒng)，并利用理論與模擬計(jì)算相結(jié)合的方法，對(duì)引起該成像系統(tǒng)散射角誤差進(jìn)而影響其角分辨能力的若干因素開展了理論研究，推算了不同能量光子入射時(shí)由不同角分辨影響因素引起的散射角誤差范圍，進(jìn)而提出了對(duì)該成像系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明：康普頓成像系統(tǒng)探測(cè)器的能量及位置分辨本領(lǐng)是影響該成像系統(tǒng)最終角分辨率的主要因素；成像數(shù)據(jù)處理時(shí)可采用適當(dāng)限制康普頓散射角范圍、選擇有效成像事件的方法來(lái)改善成像系統(tǒng)角分辨能力，降低散射角誤差，優(yōu)化系統(tǒng)最終成像效果和成像效率。同時(shí)本文提供了一套對(duì)康普頓成像系統(tǒng)散射角誤差的合理估算方法，估算得到的結(jié)果作為后續(xù)圖像處理算法的必要參數(shù)，為最終系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)成像及實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)的確定奠定了基礎(chǔ)。