帶非線性邊界條件的二階奇異微分系統(tǒng)正解的存在性

馬滿堂，賈凱軍

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070）

0 引言及主要結(jié)果

對(duì)于非線性二階常微分方程邊值問(wèn)題，已有一些學(xué)者運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理、上下解方法、時(shí)間映像估計(jì)和分歧理論等工具對(duì)其進(jìn)行了研究[1-4]。近年來(lái)，學(xué)者們?cè)诰€性邊界條件下對(duì)二階微分系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛研究，獲得一些重要的結(jié)果[5-10]。例如，DUNNINGER等[5]研究了非線性二階微分系統(tǒng)

在滿足邊界條件

時(shí)正解的存在性，其中λ1,λ2為正參數(shù)，f1,f2:[0,∞)×[0,∞)→ [0,∞)連續(xù)，h1,h2:[0，1)→[0,∞)連續(xù)且均在[0,1]的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為0。并利用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理建立了以下定理:

定理A若f1,f2滿足下列條件之一:

(i)f10=f20=0且存在i∈{1,2}使得fi∞=∞；

(ii)f∞=f2∞=∞且存在i∈{1,2}使得fi∞=0；

則系統(tǒng)邊值問(wèn)題式(1)和(2)至少存在1個(gè)正解，這里

值得注意的是，文獻(xiàn)[5]中權(quán)函數(shù)hi(i=1,2)在t=0處有定義且連續(xù)。此外，該文所研究的是系統(tǒng)(1)在滿足Dirichlet邊界條件時(shí)正解的存在性問(wèn)題，與Dirichlet等線性邊界條件相比，非線性邊界條件的應(yīng)用更為廣泛[11-12]。但微分系統(tǒng)在滿足非線性邊界條件時(shí)的相應(yīng)研究較少。

一個(gè)自然的問(wèn)題是:當(dāng)系統(tǒng)(1)的權(quán)函數(shù)在t=0處允許有奇性，且在滿足非線性邊界條件時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)邊值問(wèn)題是否存在正解?基于此，本文將運(yùn)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理考察帶非線性邊界條件的二階系統(tǒng)邊值問(wèn)題

正解的存在性，其中u=(u1，u2，…，un)T，

且gi(t)(i=1,2,…,n)在t=0處允許有奇性

C=diag(c1,c2,…,cn),Λ =diag(λ1,λ2,…,λn),λi(i=1,2,…,n)為正參數(shù)。

為方便敘述，介紹以下記號(hào):

記R+=[0,∞),對(duì)任意的u=(u1,u2,…,un)∈Rn+,記用i0表示集合{F0,F∞}中元素為零的個(gè)數(shù)，i∞表示集合{F0,F∞}中元素為無(wú)窮大的個(gè)數(shù)，易知i0,i∞=0,1或2。記

假設(shè):

(H1)gi:(0,1]→R+(i=1,2,…,n)連續(xù)，且在(0,1]的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為零。

(H2)fi:Rn+→R+連續(xù)，且對(duì)|u|＞0,有fi(u)＞ 0,i=1,2,…,n。

(H3)存在常數(shù)0＜β＜1使得

(H4)ci:R+→R+(i=1,2,…,n)連續(xù)。

本文的主要結(jié)果如下:

定理1假設(shè)(H1)～(H4)成立。若F滿足下列條件之一:

(a)F0=0且F∞=∞；

(b)F0=∞且F∞=0；

則對(duì)任意的Λ =diag(λ1,λ2,…,λn),λi＞ 0(i=1,2,…,n),問(wèn)題(3)存在1個(gè)正解。

定理2假設(shè)(H1)～(H4)成立。

(a)若i0=1或2,則存在λ0＞ 0使得當(dāng)λ*＞λ0時(shí),問(wèn)題(3)存在i0個(gè)正解；

(b)若i∞=1或2,則存在λ0＞0使得當(dāng)0＜λ*＜λ0時(shí),問(wèn)題(3)存在i∞個(gè)正解；

(c)若i0=0,則存在λ0＞ 0使得當(dāng)λ*＞λ0時(shí),問(wèn)題(3)不存在正解；

(d)若i∞=0,則存在λ0＞ 0使得當(dāng)0＜λ*＜λ0時(shí),問(wèn)題(3)不存在正解。

注1容易發(fā)現(xiàn)，在適當(dāng)?shù)臈l件下，問(wèn)題(3)可退化為文獻(xiàn)[5]所研究的問(wèn)題(1)和(2)，所以本文考慮的問(wèn)題更寬泛，是對(duì)文獻(xiàn)[5]工作的推廣。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[13]設(shè)X是Banach空間，K?X是X中的一個(gè)錐。Ω1,Ω2是X的開(kāi)子集,0 ∈ Ω1,? Ω2。若全連續(xù)算子

滿足：

(i)‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩ ?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩ ?Ω2,或

(ii)‖Au‖≥ ‖u‖,u∈K∩ ?Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩ ?Ω2。則A在K∩ (Ω1)上有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

由條件(H3)可得，存在常數(shù)Mi使得|gi(s)|≤故由Lebesgue控制收斂定理，可得gi(s)∈L1(0,1),i=1,2,…,n。

設(shè)λ＞ 0,定義TΛ=(Tλ1,Tλ2,…,Tλn):K→X是一個(gè)算子，其中,

這里Gi(t,s)表示邊值問(wèn)題

的Green函數(shù)，具體地

引理2若(H1)～(H4)成立，則TΛ:K→K是一個(gè)全連續(xù)算子。

證明設(shè)u=(u1,u2,…,un)∈K,則有

故TΛ(K)?K,i=1,2,…,n。顯然TΛ:K→K是一個(gè)全連續(xù)算子。

則u=(u1,u2,…,un)是問(wèn)題(3)的解 等價(jià)于u∈K是算子TΛ的不動(dòng)點(diǎn)。

引理3假定(H1)～(H4)成立，若u=(u1,u2,…,un)∈K,且對(duì)任意的η＞0,若存在fi使得

證明由TΛu的定義可得

引理4假定(H1)～(H4)成立，若對(duì)任意的r＞0,u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr,存在ε＞ 0使得

證明由TΛu的定義可得,對(duì)任意的u∈ ?Ωr，有

引理5假定(H1)～(H4)成立，若u∈ ?Ωr,r＞0,則4λ*Pmr,其中，0,則其中,

證明因?yàn)閒i(u(t))≥,t∈[0,1],i=1,2，…，n，故參閱引理3的證明即可得證。

引理6假定(H1)～(H4)成立,若u∈ ?Ωr,r＞且

證 明因?yàn)閒i(u(t))≤,t∈[0,1],i=1,2,…,n,故參閱引理4的證明即可得證。

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明(a)因?yàn)镕0=0,所以故可取r1＞ 0使得

其中，常數(shù)ε＞ 0，滿足

則由引理4可得

又因?yàn)镕∞=∞,則存在fi使得fi∞=∞。存在H＞r1＞0使得

其中,常數(shù)η＞ 0滿足

設(shè)r2=max{2r1,4H},若u=(u1，u2，…，un)∈?Ωr2,則即fi(u(t))≥ηui(t),t∈[0,1]。則由引理3可得

因此，根據(jù)式(5)和(7)，再結(jié)合引理1可得，TΛ在Ωr2Ωr1上有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即對(duì)任意的Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi＞ 0(i=1,2,…,n),問(wèn)題(3)存在1個(gè)正解。

(b)因?yàn)镕0=∞,所以存在fi使得f0i=∞,因此存在r1＞ 0,使得

其中η＞ 0滿足式(6)。若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr1,則則由引理3可得

又因?yàn)镕∞=0,則fi∞=0(i=1,2,…,n)。因此存在H＞r1＞0使得

其中ε＞ 0滿足式(4)。設(shè)r2=max{2r1,4H},若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr2,則

則由引理4可得

因此，根據(jù)式(8)和(9)，再結(jié)合引理1可得，TΛ在Ωr2Ωr1上有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。即對(duì)任意的Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi＞ 0(i=1,2,…,n),問(wèn)題(3)存在1個(gè)正解。

定理2的證明(a)取r1=1,由引理5可得

若F0=0,則fi0=0(i=1,2,…,n)。因此存在r2∈ (0,r1)使得

其中ε＞ 0滿足式(4)。若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr2,則

則由引理4可得

若F∞=0,則fi∞=0(i=1,2,…,n)。因此存在H＞r1＞0使得

其中ε＞ 0滿足式(4)。設(shè)r3=max{2r1,4H},若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr3,則

則由引理4可得

綜上，由引理1可得，當(dāng)F0=0或F∞=0時(shí)，TΛ在Ωr1Ωr2或Ωr3Ωr2上有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因此，當(dāng)λ*＞λ0時(shí)，問(wèn)題(3)存在 1個(gè)正解。當(dāng)F0=F∞=0時(shí)，由上述證明容易得到TΛ有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x和y，即x∈ Ωr1Ωr2,y∈ Ωr3Ωr1,且滿足

因此，當(dāng)λ*＞λ0時(shí)，問(wèn)題(3)存在2個(gè)正解。

(b)取r1=1,由引理6可得

若F0=∞,則存在fi使得fi0=∞。因此存在r2∈ (0,r1)使得

其中η＞ 0滿足式(6)。若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr2,則

由引理3可得

若F∞=∞,則存在fi使得fi∞=∞。因此存在H＞r1＞0使得

其中η＞ 0滿足式(6)。設(shè)r3=max{2r1,4H},若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr3,則

則由引理3可得

綜上，由引理1可得，當(dāng)F0=0或F∞=0時(shí)，TΛ在 Ωr1Ωr2或Ωr3Ωr1上有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因此，當(dāng)0＜λ*＜λ0時(shí)，問(wèn)題(3)存在1個(gè)正解。當(dāng)F0=F∞=∞時(shí)，由上述證明容易得到TΛ有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x和y，即x∈ Ωr1Ωr2,y∈ Ωr3Ωr1,且滿足式(12)。因此，當(dāng)0＜λ*＜λ0時(shí)，問(wèn)題(3)存在 2個(gè)正解。

(c)因?yàn)镕0＞ 0且F∞＞ 0,則存在fi,fj及常數(shù)a1,a2,r1,r2＞ 0(r1＜r2)，使得

因此，有

假設(shè)v(t)=(v1(t),v2(t),…,vn(t))是問(wèn)題(3)的1個(gè)正解,即TΛv(t)=v(t),t∈[0,1],則當(dāng)λ*＞時(shí)，若則有

再由式(16)可得

進(jìn)而由引理3可得，當(dāng)λ＞λ0時(shí)，有

矛盾，即問(wèn)題(3)不存在正解。

(d)因?yàn)镕0＜∞且F∞＜∞,則fi0＜∞且易知存在ε＞0使得

假設(shè)v(t)=(v1(t),v2(t),…,vn(t))是問(wèn)題(3)的1個(gè)正解,即TΛv(t)=v(t),t∈[0,1],則當(dāng)0＜時(shí),有

矛盾，即問(wèn)題(3)不存在正解。