σ2Hessian方程的Pogorelov型C2內(nèi)估計(jì)及應(yīng)用

繆正武

（浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310023）

0 引言

對(duì)任意k=1,2,…,n，定義σk算子如下：

另外，定義σk=0(當(dāng)k＞n或k＜ 0時(shí)),σ0=1。其實(shí)σk就是k階對(duì)稱多項(xiàng)式。σk算子具有一定的凹性性 質(zhì)，也 就是在 Ga?rding 錐 Γk={λ=(λ1,λ2,…,λn)∈ Rn:σi(λ)＞ 0,1 ≤i≤k}里是凹的，即

此凹性在σkHessian方程的整體二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)和解的存在性中具有重要作用。但在建立二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)時(shí)，此凹性對(duì)應(yīng)三階導(dǎo)數(shù)的二次型，而三階導(dǎo)數(shù)滿足線性限制條件。因此，應(yīng)用于σkHessian方程時(shí)，此凹性得到了改進(jìn)。

本文首先利用拉格朗日乘子法重新證明了σ2算子的最優(yōu)凹性。定義σ2算子對(duì)應(yīng)的二次型為：

則σ2算子的最優(yōu)凹性如下：

定理1假設(shè)λ=(λ1，λ2，…，λn)∈ Γ2，并且有x=(b,x2,x3,…,xn)∈Rn滿足線性限制條件:

其中b和D為常數(shù)。則有

注1定理1是CHEN[1]用特征向量分解的方法得到的。本文利用拉格朗日乘子法重新證明了σ2算子的最優(yōu)凹性。

注2在某種意義下是最優(yōu)的，可以推導(dǎo)出式(2)。即對(duì)任意ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)，令

則(ξ2,ξ3,…,ξn)∈ Σ，并且

定義錐：

考慮σ2Hessian方程

的整解問(wèn)題。首先BAO等[2]證明了方程(4)的Γ2-凸解u如果滿足二次多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件：

其中b,B為正常數(shù)，則解u一定為二次多項(xiàng)式。

YUAN等[3]證明了方程(4)的Γ2-凸解u如果滿足半凸條件

其中δ為任一正常數(shù)，則解u一定為二次多項(xiàng)式。

LI等[4]證明了方程 (4)的-凸解u如果滿足二次多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件(5),則解u一定為二次多項(xiàng)式。

定理2設(shè)u∈C2(Rn)為方程(4)的-凸整解，并且解u滿足二次多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件(5)，則解u一定為二次多項(xiàng)式。

1 準(zhǔn)備知識(shí)：基本對(duì)稱多項(xiàng)式的性質(zhì)

本節(jié)將介紹一些文中要用到的基本對(duì)稱多項(xiàng)式的性質(zhì)。

定義1對(duì)k=1,2,…,n，定義k階基本對(duì)稱函數(shù)

另外，定義σ0=1，當(dāng)k＞n或k＜ 0時(shí)，σk=0。

分別記σk(λ|i)=σk(λ)|λi=0，σk(λ|ij)=σk(λ)|λi=λj=0。

命題1設(shè)λ=(λ1，λ2…，λn)∈Rn，k=0，1，…，n，則

進(jìn)而可得

基本對(duì)稱函數(shù)的定義域也可以推廣到對(duì)稱矩陣。

定義2設(shè)W為n×n對(duì)稱矩陣，對(duì)k=1,2,…,n，定義

其中λ(W)=(λ1(W),λ2(W),…,λn(W))為矩陣W的特征值。也就是說(shuō)式(12)為矩陣W的所有k階主子式的和。

令σk(W|i)表示基本對(duì)稱函數(shù)σk(W)去掉矩陣W中第i行和第i列元素后的值，σk(W|ij)表示基本對(duì)稱函數(shù)σk(W)去掉矩陣W中第i行第j行和第i列第j列元素后的值。

引進(jìn)Ga?rding錐的定義如下：

易知Ga?rding錐Γk是關(guān)于λi對(duì)稱的凸 錐，且Γ1? Γ2? … ? Γn，其中Γn={λ∈Rn:λi＞0,?1≤i≤n}。另外k-階基本對(duì)稱函數(shù)在Γk上有以下性質(zhì):

命題2如果λ∈ Γk，其中k∈ {1,2,…,n}，則有σh(λ|i)＞ 0,?h=0,1,…,k-1,i=1,2,…,n。(14)

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

命題3假設(shè)λ=(λ1,λ2,…,λn)∈,n≥ 3，并且

則有

證明由文獻(xiàn)[6]可得式(15)，由文獻(xiàn)[7-8]可證得式(17),直接計(jì)算可證得式(16)。

另外下文還要用到對(duì)角矩陣的基本對(duì)稱函數(shù)的求導(dǎo)公式。

命題4若W=(Wij)為n×n對(duì)角矩陣，m(1≤m≤n)為一正整數(shù)，則

2 定理1的證明

利用拉格朗日乘子法對(duì)σ2的最優(yōu)凹性進(jìn)行證明。

首先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0：

將方程組(21)中的前n-1個(gè)方程相加得到：

整理得

逐式整理方程組(21)中的前n-1個(gè)等式，可得

將式(24)代入方程組(21)中的第n個(gè)等式，可得

對(duì)式(25)反解μ，得到

將式(26)中的μ代入式(23)，得到

結(jié)合式(23)和(24),可得

由條件易知所求的穩(wěn)定點(diǎn)是極大值點(diǎn)，可以驗(yàn)證其是最大值點(diǎn)，因此

將式(26)和(27)代入式(29)，化簡(jiǎn)得到

定理1得證。

3 定理2的證明

在證明定理2前，首先給出以下Pogorelov型C2的內(nèi)估計(jì)。

定理3設(shè)u∈C4(Ω)為方程

其中正常數(shù)C僅依賴n、Ω的直徑diam(Ω)和sup|u|。

證明取輔助函數(shù)

以下假設(shè)λi=uii(x0),λ=(λ1,λ2,…,λn)。則輔助函數(shù)

在x0達(dá)到局部極大值。

以下計(jì)算都在x0點(diǎn)，則有

化簡(jiǎn)得

有

所以有

令

其中ti=uii1。考慮h(t2,t3,…,tn)在線性條件

下的最小值問(wèn)題。由定理1可得

結(jié)合式 (35)和(38)，可得

假設(shè)λ1≥n+10,由于λ∈易得

進(jìn)而可得

所以在x0點(diǎn),有

在任意x∈Ω點(diǎn)，有

下證定理2。主要思想來(lái)自文獻(xiàn)[4-9]。

假設(shè)u為方程(4)的-凸整解。對(duì)任意充分大的實(shí)數(shù)R＞1，定義

則v滿足

由于u滿足二次增長(zhǎng)條件，則對(duì)任意y∈ΩR,有

所以

即ΩR對(duì)任意的R＞1都是一致有界區(qū)域。進(jìn)而由極大值原理可得，在ΩR內(nèi)-C1≤v≤0，其中C1只依賴于n,b和正常數(shù)B。再由定理3可得

其中，C只依賴于n,b和正常數(shù)B，進(jìn)而可得

而D2v(y)=D2u(Ry),所以令R→+∞，有

由標(biāo)準(zhǔn)的Evans-Krylov理論[10]，可得

令R→+∞，定理2得證。