關(guān)于有限群模范疇的商范疇及其等價函子

黃文林

（中國人民大學數(shù)學學院，北京100872）

0 引言

表示范疇是有限群表示論的重要研究對象，有限群模表示論中的表示范疇有模范疇、穩(wěn)定模范疇、相對穩(wěn)定模范疇、導出范疇等。這些范疇是有限群及其表示上的同調(diào)方法的主要對象，也是代數(shù)表示論中極為重要的代數(shù)表示范疇例子。該研究領(lǐng)域的問題和成果不勝枚舉[1-4]。

對于有限群G，可除kG-模是一類較大的模類，它包含所有的投射kG-模和相對投射kG-模，并被用于研究Green環(huán)中的冪零元素[5]、張量積的直和分解以及有限群表示中的幾乎可裂序列[6]。

文中設定p為素數(shù)，G為階含有素因子p的有限群，k為特征為p的代數(shù)封閉域；所有的模都是有限生成的左幺模，所有的映射都是左模上的映射；具體記號和術(shù)語可參見文獻[7]。

1 有限群 GG的商范疇

定義1設V是kG-模，p是素數(shù)；如果V的任意不可分解直因子的維數(shù)能被p整除，則稱V為可除kG-模[5]。

注1限制到特征為素數(shù)p的代數(shù)封閉域k，任何不可分解kG-模是絕對不可分解的。由此，本質(zhì)上，可除kG-模是由p控制的，并且，文獻[5]中的絕對可除kG-模即是本文中的可除kG-模。

引理1設U和V都為可除kG-模，X為U的直因子；那么，U*,X,U⊕V都是可除kG-模。

證明引理1易證，此略。

對于任意的kG-模V和W，以及任意的g∈G，v∈V，w∈W，f∈Homk(V，W)；按G-作用 ：g(v?kw):=gv?kgw，它們的k-張量積V?W做成一個kG-模；同時，令g·f:=gfg-1，它們的k-同態(tài)Hom(V，W)也做成一個kG-模；不難證明

Hom(V，W)?V*?W。

利用文獻[5]性質(zhì)2.2和引理1可得

引理2設V是可除kG-模，W是kG-模；那么，V?W,Hom(V，W),Hom(W，V)都是可除kG-模。

引理3設V是kG-模；那么，V的Heller變換Ω(V)是可除kG-模當且僅當V是可除kG-模。

證明若V是可除kG-模，由引理2得，V?Ω(k)也是可除kG-模，而由文獻[7]性質(zhì)11.7.2知，存在某個投射kG-模X，使得

也即Ω(V)│V?Ω(k)，再由引理1得，Ω(V)是可除kG-模。充分性得證。

反過來，若Ω(V)是可除kG-模，則在式(1)中，V?Ω(k)是可除kG-模，(V?Ω(k))? Ω-1(k)也是可除kG-模。與此同時，

(V?Ω(k))? Ω-1(k)?V?(Ω(k)?Ω-1(k))?

V?(Ω0(k?k)⊕Y)?V?(k⊕Y)?V⊕(V?Y)，其中，Y是投射kG-模，由引理1知，V是可除kG-模。必要性得證。

引理4設P是群G的真子群，V是投射kG-模；那么，V是可除kG-模。特別地，任何投射kG-模都是可除kG-模。

證明一方面，V的任意不可分解直因子U仍是投射kG-模；另一方面，由文獻[8]中習題23.1知，p││G:P|p|dim(U)，所以，V是可除kG-模；由于任意投射kG-模都是1-投射kG-模(P是平凡群情形)，表明任何投射kG-模也都是可除kG-模。

注2由引理4知，可除kG-模是一個較大的模類，它包含所有的相對投射kG-模（特別地，所有的投射kG-模），然而，平凡kG-模k不是可除kG-模。

定義2設C為一個加法范疇，滿足以下3個條件的非空態(tài)射類?稱為C的一個理想：

(i)對于C的任何的對象M和N，?(M，N):=?∩HomC(M，N)是HomC(M，N)的子群；

(ii)對于C的任意態(tài)射g∈ ?(M,N)和h∈HomC(N，L)，hg∈ ?(M,L)；

(iii)對于C的任意態(tài)射f∈ HomC(K，M)和g∈ ?(M,N)，gf∈ ?(K,N)。

引理5設?是Abel范疇mod(kG)的一個非空態(tài)射類，若?中的每個態(tài)射都能被某個可除kG-模分解，則?是mod(kG)的一個理想。

證明對于任意的kG-模M和N，設t1,t2∈ ?(M,N)，那么，存在可除kG-模U和V，以及

使得t1=ba，t2=dc。

進一步，由引理1知，U⊕V是可除kG-模，所以，t1-t2∈ ?(M,N)，表明 ?(M,N)是HomkG(M，N)的子群。(i)得證。

又設h∈ HomkG(N，L)，顯見，ht1=h(ba)=(hb)a，也即，ht1∈ ?(M,L)。(ii)得證。

類似地，可證明(iii)。

引理5得證。

利用?，可定義有限生成kG-模的模范疇mod(kG)的商范疇mod(kG)/?：

(1)它的對象與mod(kG)的對象一致；

(2)對于任意的kG-模M和N，

由文獻[4]知，商范疇mod(kG)/?是一個加法范疇，本文稱其為有限群G的(模p)商范疇，簡記為也簡記為

注3 類似地，可定義Mod(kG)的商范疇

引理6設U和V是kG-模；那么，在商范疇中,U?V，當且僅當在mod(kG)中存在可除kG-模X和Y使得U⊕X?V⊕Y。

證明必要性。若在商范疇中，U?V，則存在使得；那么，存在可除kG-模M和N，以及s∈ HomkG(U，M),t∈ HomkG(M，U)，h∈ HomkG(V，N)，i∈ HomkG(N，V)，使得1U-ba=ts，1V-ab=ih，也 即1U=ba+ts=(b，t)所以，U│V⊕M，V│U⊕N；結(jié)合引理1和Krull-Schmidt定理知，存在可除kG-模X和Y使得在mod(kG)中,U⊕X?V⊕Y。

使得dc=1U⊕X，cd=1V⊕Y；由此，

推論1設是模；那么，在商范疇中，M=0當且僅當M是可除kG-模。

證明由引理6知,推論1成立。

引理7設P是群G的真子群；那么，在商范疇中，所有的投射kG-模和投射kG-模都是零對象。

證明由引理4和推論1知，引理7成立。

注4(1)群G的商范疇不是平凡的，平凡模就不是其零對象；

定義3設V是kG-模，若k-內(nèi)同態(tài)（k-自同態(tài)）模End(V)在kG-模同構(gòu)的意義下可以分解為平凡kG-模和投射kG-模的直和，則稱V是內(nèi)平凡kG-模[9]；更一般地，若End(V)?k⊕U，U是一個可除kG-模，則稱V是內(nèi)平凡kG-模。

引理8設U、V、M、N是有限生成kG-模，那么，

證明參見文獻[6]。

定理1設V是內(nèi)平凡kG-模，那么V?誘導出群G的商范疇上的一個自等價。

證明對于任意的kG-模U、M、N，以及任意的f∈HomkG(M，N)，利用內(nèi)平凡kG-模V和mod(kG)中的張量積，定義上的自態(tài)射如下：

下證其為自等價函子。

因為V是內(nèi)平凡kG-模，設End(V)?k⊕X，這里X是一個可除kG-模，那么，對于任意

上述公式說明f?1V?f可以看作從HomkG(U1,U2)到HomkG(V?U1，V?U2)的嵌入態(tài)射。又因為X是可除kG-模，由引理2知，X?Homk(X，Homk(U1，U2))也是可除kG-模，意味著對任何α∈ HomkG(X，Homk(U1，U2))，均有以下的kG-模同態(tài)分解：

所以，

由此，

綜上，V?誘導的加法函子是商范疇上的自等價函子。

推論2設V是內(nèi)平凡kG-模，那么V?誘導出群G的商范疇上的一個自等價。

定義4設P為群G的西羅子群，V為一個kG-模；若，S是一個投射kP-模，則稱V為平凡西羅限制kG-模。

注6定義4中的平凡西羅限制kG-模的定義不依賴于群G的西羅子群P的選擇。

推論3設V為平凡西羅限制kG-模，那么V?誘導出群G的商范疇上的一個自等價。

證明由定理1和推論2知，只需證明V是內(nèi)平凡kG-模。事實上，觀察到p?dim(V)，由文獻[6]推論4.7知，k│End(V)；設End(V)=k⊕X，這里，X是kG-模；那么，

性質(zhì)1設U和V是kG-模，PU和PV分別是U和V的投射覆蓋，Ω(U)和Ω(V)分別是U和V的Heller變換，并設下圖中的行箭頭是模的投射覆蓋短正合序列，列箭頭是kG-模上的態(tài)射；若該圖中的每個箭頭正方形都是交換的，那么，在商范疇中與相互唯一地決定，并且=0當且僅當=0。

證明由文獻[10]知，在題設情形下，f和g可以相互誘導得到對方；以及可以觀察得到，在商范疇中，命題=0當且僅當=0，與命題與相互唯一地決定是等價的。

類似于式(2)，可以設定式(3)是3個行短正合列的交換圖，即圖中的每個箭頭正方形都是交換的。那么，結(jié)合式(2)可得，

反之，類似地可得，若-g=0，則-f=0。證畢。

注7性質(zhì)1中的g也記為Ω(f)。

定理2kG-模范疇中的Heller算子Ω誘導出群G的商范疇上的一個自等價。

證明對于任意的U，以及任意的，定義上的自態(tài)射：

設V∈若V不含有非零投射直因子，由文獻[7]性質(zhì)11.7.1知，

由性質(zhì)1知，映射

注8定理2表明，商范疇有與穩(wěn)定模范疇(和相對穩(wěn)定范疇的三角范疇加持函子類似的自等價函子[4]。

定義5設G≥H，若P||G|，但對每個g∈GH,都有p?│H∩Hg│，則稱H是G的強嵌入子群。值得注意的是，對于G的西羅子群Q，強嵌入子群H包含NG(Q)；強嵌入子群在單群分類中發(fā)揮著重要的作用[11]。

性質(zhì)2設G≥H，M和N為kG-模；若H為G的強嵌入子群，那么，M與N在商范疇中同構(gòu)當且僅當限制模ResGH(M)和ResGH(N)在商范疇中同構(gòu)，特別地，M是中的零對象當且僅當ResGH(M)是modp(kH)中的零對象。

證明若在商范疇中，有M?N，則由引理6知，存在可除kG-模X和Y以及kG-模同構(gòu)M⊕X?N⊕Y，由此

然而，ResGH(X)和ResGH(Y)都是可除kH-模，事實上，若ResGH(X)不是可除kH-模，那么，由文獻[6]推 論4.7，有k│End(ResGH(X))，進一步得到，IndGHk│IndGH(End(ResGH(X)))，然而，由Frobenius互反律知[7]，

結(jié)合引理2和引理1知，IndGHk是可除kG-模，矛盾，說明ResGH(X)(以及ResGH(Y))的確是可除kH-模；進一步，結(jié)合引理6知，在商范疇modp(kH)中，ResGH(M)?ResGH(N)。必要性得證。

反之，設在商范疇modp(kH)中，ResGH(M)?ResGH(N)，則存在可除kH-模X和Y以及kH-模同構(gòu) ResGH(M)⊕X?ResGH(N)⊕Y。一方面，若在中，M=0，即M是可除kG-模(推論1)，那么，如同必要性中的證明，ResGH(M)也是可除kH-模。由此，ResGH(N)是可除kH-模，從而，N是可除kG-模。說明在中，N=0；另一方面，一般地，可設M1是的非零對象M的不可分解非可除直因子，M1的頂是G的西羅子群，又因為H是G的強嵌入子群，那么，ResGH(M1)=L1⊕X1。其中，不可分解kH-模L1是M1的格林對應，而X1是投射kH-模，由此，L1是一個非可除kH-模(否則，M1是可除的)，以及L1│ResGH(N)；這意味著L1也恰好是N的某個不可分解非可除直因子N1的格林對應。那么，M1?N1；因此M與N的所有非可除直因子是一一對應并相互同構(gòu)的，從而，M與N在中同構(gòu)。充分性得證。

定理3設G≥H；若H為G的強嵌入子群，那么從G到H的模限制映射誘導出一個從商范疇到商范疇modp(kH)的等價。

證明定義從商范疇到商范疇的限制態(tài)射如下：

下證其為等價函子。

首先，ResGH是本質(zhì)滿的。設M是一個kH-模，那么，

由于H是G的強嵌入子群，所以，H∩gH是H的p′-子群，即是投射kH-模；由此得到

其次，ResGH是滿忠實的。設M和N是不可分解非可除kH-模，f∈ HomkH(M，N)，那么，

即ResGH)限制在M上恰是；說明在M和N是不可分解非可除kH-模情形下，函子ResGH是滿忠實的。

對M和N可分解為不可分解非可除kH-模直和的情形，由于模的誘導、限制均保持直和，上述方法及其結(jié)論仍然成立。說明函子ResGH是滿忠實的。