平板錐形金屬膜盒內(nèi)壓柱失穩(wěn)理論研究

王亞軍，陳牧野，周浩洋

（1. 中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司，北京，100084；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

0 引 言

目前中國(guó)運(yùn)載火箭采用金屬膜盒式蓄壓器抑制“POGO”振動(dòng)，其原理是通過(guò)金屬膜盒的柔性來(lái)吸收輸送管路中的壓力脈動(dòng)。金屬膜盒一般采用內(nèi)充壓式結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。

該形式膜盒存在內(nèi)壓柱失穩(wěn)問(wèn)題，一旦發(fā)生柱失穩(wěn)，將會(huì)影響膜盒的工作性能和使用壽命，膜盒的柱失穩(wěn)形態(tài)如圖2 所示。

圖1 內(nèi)充壓式膜盒示意 Fig.1 Metal Bellows Filling with Gas Inside

圖2 膜盒柱失穩(wěn)形態(tài) Fig.2 Column Buckling of Metal Bellows

蓄壓器用金屬膜盒通常采用平板錐型結(jié)構(gòu)。焊接膜盒有時(shí)也被稱(chēng)為焊接波紋管。在U 型波紋管的穩(wěn)定性研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了比較全面的研究。J.A.Haringx[1]首先提出了“等效柱”的思想方法，該方法用于求解波紋管的柱失穩(wěn)臨界壓力。朱衛(wèi)平[2]在其文章中，證明了這種等效方法對(duì)于幾種典型的支撐邊界條件均成立。1988 年，Tsukimori[2]等人提出了波紋管受內(nèi)壓失穩(wěn)的一種簡(jiǎn)化計(jì)算方法，對(duì)波紋管的彈性柱狀失穩(wěn)，平面失穩(wěn)分別進(jìn)行了理論分析，給出了對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化公式，并在此基礎(chǔ)之上，通過(guò)利用彈-塑性軸向剛度代替彈性軸向剛度的方法，推導(dǎo)出簡(jiǎn)化的彈-塑性柱狀失穩(wěn)壓力。1989 年，Broyles[4]對(duì)前人的研究成果進(jìn)行總結(jié)，對(duì)波紋管的穩(wěn)定性分析做了總結(jié)并進(jìn)行了試驗(yàn)分析提出了相應(yīng)的工程計(jì)算公式，該公式被美國(guó)膨脹節(jié)制造商協(xié)會(huì)所采納。1995 年，郭學(xué)迅[6]驗(yàn)證了波紋管的抗彎剛度公式，并以此為基礎(chǔ)來(lái)解答波紋管的柱狀失穩(wěn)和橫向變形問(wèn)題。2002 年，朱衛(wèi)平[7]討論了波紋管在內(nèi)壓作用下的柱失穩(wěn)問(wèn)題。在焊接波紋管研究中，樊大均[8,9]針對(duì)焊接波紋管進(jìn)行了一系列的理論分析，由A.И.Лypьe 的錐殼方程出發(fā)，推導(dǎo)出了設(shè)計(jì)錐形焊接波紋管的可用理論結(jié)果，諸如該類(lèi)焊接波紋管的變形、應(yīng)力和有效面積的公式，為設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。在碟形波紋管研究方面，劉巖等[10]等根據(jù)EJMA 標(biāo)準(zhǔn)中U 形波紋管臨界失穩(wěn)內(nèi)壓的計(jì)算方法，得到了碟形波紋管平面失穩(wěn)和柱失穩(wěn)臨界失穩(wěn)內(nèi)壓的工程計(jì)算公式。

為獲得工程適用的平板錐型金屬膜盒柱失穩(wěn)公式，本文基于由“等效柱”思想和歐拉公式得到的膜盒柱失穩(wěn)公式，考慮到膜盒拉伸、壓縮剛度不一致對(duì)“等效柱”抗彎剛度的影響，推導(dǎo)了拉伸、壓縮模量不一致的薄壁圓筒抗彎剛度計(jì)算式，并推導(dǎo)得出適用于平板錐形金屬膜盒的內(nèi)壓柱失穩(wěn)公式。

1 平板錐型金屬膜盒的柱失穩(wěn)分析

由于柱失穩(wěn)的公式是通過(guò)兩端固支的壓桿穩(wěn)定性公式推導(dǎo)，其中波形對(duì)柱穩(wěn)定性的影響主要體現(xiàn)在對(duì)單波軸向剛度的影響上[10]，而平板錐形膜盒與其它波紋管僅存在波形上的差異，因此分析平板錐形膜盒柱失穩(wěn)與分析波紋管柱失穩(wěn)思路相同，將膜盒等效為受內(nèi)壓的薄壁圓筒，再將受內(nèi)壓的薄壁圓筒等效為受軸向力的薄壁圓筒，從而得出膜盒的柱失穩(wěn)臨界壓力。等效過(guò)程如圖3 所示。

圖3 膜盒的等效過(guò)程 Fig.3 Equivalent Process of Metal Bellows

根據(jù)歐拉失穩(wěn)公式即可以給出膜盒的內(nèi)壓柱失穩(wěn)公式[6]：

式中 W 為膜盒的抗彎剛度；md 為膜盒的中徑；l 為膜盒的高度；μ為長(zhǎng)度系數(shù)，反映不同支承影響的系數(shù)。本文為兩端固定的情況，μ取0.5。

對(duì)于一般結(jié)構(gòu)的膜盒，當(dāng)其軸向拉伸和壓縮剛度一致時(shí)，抗彎剛度可以用單波軸向剛度來(lái)表示，有其中，if 為膜盒的單波軸向剛度，式（1）可以寫(xiě)成[6]：

式中N 為膜盒的波數(shù)；q 為膜盒的波距，有l(wèi) Nq= 。

2 平板錐形金屬膜盒的剛度分析

對(duì)于蓄壓器用平板錐形金屬膜盒，其膜片的結(jié)構(gòu)示意圖如圖4 所示。由圖4 可知，膜盒的波距為2q h= ，膜盒的膜片數(shù)為2n N=，膜盒的中徑

膜片通過(guò)直邊段焊接相連，但只是對(duì)部分直邊段進(jìn)行了焊接。因此膜盒壓縮與拉伸時(shí)相比，未焊接的直邊段由于接觸產(chǎn)生相互作用，使得膜盒的剛度變大。所以蓄壓器金屬膜盒的拉伸和壓縮軸向剛度并不一致，因此在研究蓄壓器金屬膜盒時(shí)，需要考慮膜盒拉伸、壓縮軸向剛度不一致的問(wèn)題。

圖4 平板錐形膜盒結(jié)構(gòu)示意 Fig.4 Plane-cone Shaped Metal Bellows

焊接膜盒的軸向整體拉伸剛度經(jīng)驗(yàn)公式[12]為

式中mE 為材料的彈性模量。

當(dāng)膜盒處于壓縮狀態(tài)時(shí)，膜盒的直邊段實(shí)際處于貼合狀態(tài)，相當(dāng)于膜盒的內(nèi)徑、外徑發(fā)生了變化，因此式（3）不能直接計(jì)算膜盒壓縮剛度，需要對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行修正。設(shè)壓縮狀態(tài)下的等效外徑、內(nèi)徑、波高、直邊段長(zhǎng)度分別為 'D 、 'd 、 'w 、'L直邊，L直邊為膜片實(shí)際的直邊段長(zhǎng)度，有則由等效直邊段長(zhǎng)度即可求得膜盒壓縮剛度。

下面采用理論公式計(jì)算和ABAQUS 仿真相結(jié)合的辦法確定等效直邊段長(zhǎng)度。有限元仿真采用軸對(duì)稱(chēng)模型，通過(guò)獲取軸向力與軸向位移的方法求解出剛度。取5 種規(guī)格不同的平板錐形金屬膜盒，各膜盒具體的尺寸參數(shù)及柱失穩(wěn)試驗(yàn)值見(jiàn)表1，材料參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 各膜盒尺寸參數(shù)及柱失穩(wěn)試驗(yàn)值 Tab.1 Dimension Parameters and Experiment Buckling Pressure of Each Metal Bellow

表2 各膜盒材料性能參數(shù) Tab.2 Mechanical Property Of Each Metal Bellows

為了驗(yàn)證有限元計(jì)算剛度的可靠性，以5 號(hào)膜盒為對(duì)象，進(jìn)行軸向拉、壓剛度試驗(yàn)，得到5 號(hào)膜盒的拉伸剛度為19 N/mm，壓縮剛度為23 N/mm。使用有限元得到的拉伸剛度為19.35 N/mm，壓縮剛度為 23.71 N/mm。對(duì)比可知可以使用有限元方法仿真膜盒的軸向拉伸壓縮剛度。由于式（3）本身的計(jì)算值與仿真值存在一定偏差，因此將拉伸剛度和壓縮剛度的比值作為計(jì)算值與仿真值比較的依據(jù)。通過(guò)對(duì)不同等效直邊段長(zhǎng)度的計(jì)算表明，當(dāng)?shù)刃е边叾伍L(zhǎng)度取時(shí)，與有限元結(jié)果吻合較好，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。因此，在將直邊段長(zhǎng)度等效為后，可以使用式（3）來(lái)求解膜盒的壓縮機(jī)械剛度。

表3 各膜盒拉伸、壓縮剛度比值的計(jì)算和仿真結(jié)果對(duì)比 Tab.3 Calculation Result of Stiffness Compared to Finite Element Method

從軸向剛度計(jì)算式中可以看出，該計(jì)算式并未考慮充內(nèi)壓后膜片受壓變形等因素對(duì)軸向剛度可能帶來(lái)的影響，因此在使用式（3）計(jì)算膜盒軸向剛度進(jìn)而求解膜盒的內(nèi)壓柱失穩(wěn)臨界壓力時(shí)，膜盒應(yīng)該滿(mǎn)足在充壓后保持剛度基本不變的條件。當(dāng)出現(xiàn)下列情況時(shí)，認(rèn)為膜盒的剛度在充壓過(guò)程中不符合軸向剛度基本不變的條件：a）充壓后膜片與膜片焊縫附近應(yīng)力集中區(qū)進(jìn)入穿透性塑性；b）充壓后膜片與膜片的中部在內(nèi)壓下發(fā)生貼合。

3 膜盒柱失穩(wěn)公式

由于平板錐形金屬膜盒的壓縮和拉伸軸向剛度不一致，故直接使用式（3）結(jié)果代入式（2）求解得到的內(nèi)壓柱失穩(wěn)壓力值可能不準(zhǔn)確。因此考慮使用式（1）求解膜盒的內(nèi)壓柱失穩(wěn)臨界壓力。式（1）中，受膜盒的壓縮和拉伸軸向剛度不一致影響的變量?jī)H為抗彎剛度W 。在第1 節(jié)中將膜盒等效為薄壁圓筒，該過(guò)程實(shí)際上是將膜盒的抗彎剛度與薄壁圓筒的抗彎剛度進(jìn)行了等效，求解薄壁圓筒的抗彎剛度即可知膜盒的抗彎剛度。

圖5 為薄壁圓筒的彎曲示意。如圖5 所示，薄壁圓筒的外半徑為R，內(nèi)半徑為r，壁厚為t。1y 為橫截面最頂部與y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，其大小為橫截面最頂部距中性層的距離。為求解薄壁圓筒的抗彎剛度，令薄壁圓筒只承受x y? 平面內(nèi)的彎矩。

圖5 薄壁圓筒的彎曲示意 Fig.5 Bending Diagram of Thin-alled Cylinder

式中σ 為正應(yīng)力；E 為薄壁圓筒的彈性模量；y 為距離中性層的距離；ρ 為中性層的曲率半徑。

橫截面上各點(diǎn)處的法向微內(nèi)力 σ dA組成一空間平行力系，而且，由于橫截面上沒(méi)有軸力，僅存在于位于xy 平面的彎矩Mz，因此，內(nèi)力 FN以及彎矩Mz為

由圖5 可知，中性層以上部分受壓，中性層以下部分受拉。設(shè)橫截面中性層以上部分面積為 A1，中性層以下部分面積為 A2。則內(nèi)力 FN以及彎矩Mz為

則薄壁圓筒的抗彎剛度為

聯(lián)立式（4）和式（6），即可得出拉伸、壓縮彈性模量不一致的薄壁圓筒的抗彎剛度W 。將式（6）的結(jié)果代入到式（1）中，即可以得到拉伸、壓縮機(jī)械剛度不一致的金屬膜盒的柱失穩(wěn)臨界失穩(wěn)壓力值。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，令 E1=aE2， y1= bR，r = cR。對(duì)內(nèi)力FN和抗彎剛度W 分別進(jìn)行積分，并寫(xiě)成由 E2、R、a、b、c 表示的式子，則由式（4）和式（6）可得：

由上文的分析可知，壓縮模量大于拉伸模量，即E1> E2，同時(shí)平板錐形金屬膜盒結(jié)構(gòu)一般滿(mǎn)足R > r>0.5R 。在上述給定范圍內(nèi)，E1、r 分別取均布的100 個(gè)點(diǎn)，共100×100 個(gè)點(diǎn)，采用數(shù)值擬合的方法，聯(lián)立式（1）、式（7）和式（8）可得：

4 計(jì)算結(jié)果分析

使用第2節(jié)計(jì)算得到的各膜盒剛度數(shù)值代入式（9）中，即可求得各膜盒的柱失穩(wěn)臨界壓力計(jì)算值，結(jié)果如表4 所示。表4 中同時(shí)對(duì)比了不考慮拉伸、壓縮軸向剛度不一致，以式（3）剛度值代入式（2）得到的失穩(wěn)值與式（9）得到的失穩(wěn)值的誤差。對(duì)比考慮了拉伸、壓縮軸向剛度不同的柱失穩(wěn)計(jì)算結(jié)果與直接使用剛度經(jīng)驗(yàn)式（3）求解得到的柱失穩(wěn)計(jì)算結(jié)果，考慮了拉伸、壓縮剛度不一致得到的柱失穩(wěn)計(jì)算結(jié)果的精度總體要更優(yōu)。

表4 各膜盒失穩(wěn)公式計(jì)算值與試驗(yàn)值比較 Tab.4 Comparision between Different Formula Calculation Results and Expriment Results

觀(guān)察式（9）計(jì)算結(jié)果，通過(guò)對(duì)比，膜盒1～4，其失穩(wěn)值與試驗(yàn)值的誤差范圍在-30%～25%以?xún)?nèi)。而膜盒5 的誤差則達(dá)到93.3%。建立膜盒的軸對(duì)稱(chēng)模型，將膜盒固定至限位高度，給膜盒內(nèi)部施加壓力至柱失穩(wěn)計(jì)算壓力值，提取各膜盒的等效塑性應(yīng)變（Equivalent Plastic Strain，PEEQ）云圖，觀(guān)察膜盒膜片焊接應(yīng)力集中區(qū)應(yīng)變情況以及膜片中部接觸情況，結(jié)果見(jiàn)圖6。

圖6 各膜盒膜片中部接觸情況和應(yīng)力集中區(qū)應(yīng)變情況 Fig.6 Equivalent Plastic Strain and the Collide Condition

從圖6 中可見(jiàn)，在失穩(wěn)計(jì)算值壓力下，膜盒1～4膜片中部均未發(fā)生接觸，且焊接應(yīng)力集中區(qū)域未進(jìn)入穿透性屈服；觀(guān)察圖6e，5 號(hào)膜盒的膜片由于受內(nèi)壓鼓脹，中部部分發(fā)生了接觸。同時(shí)在焊縫處，等效塑性應(yīng)變值均大于零，可知膜盒在焊接區(qū)域進(jìn)入了穿透性屈服。膜盒膜片中部接觸或焊接區(qū)域進(jìn)入穿透性屈服后，膜盒的軸向剛度將會(huì)發(fā)生變化，故5 號(hào)膜盒的軸向剛度在充壓后不滿(mǎn)足基本不變的假設(shè)。因此膜盒5采用公式計(jì)算的失穩(wěn)值結(jié)果誤差較大。

目前采用式（9）計(jì)算的膜盒失穩(wěn)壓力值與試驗(yàn)值存在±30%左右的偏差，主要是由以下原因所致：

a）膜片的實(shí)際幾何形狀（如壁厚，內(nèi)外徑等尺寸）與理論存在偏差；

b）柱失穩(wěn)試驗(yàn)采用目視估讀的方法獲取失穩(wěn)值，該方法存在一定的隨機(jī)誤差；

c）采用的剛度計(jì)算公式存在一定的誤差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)平板錐形金屬膜盒在拉伸和壓縮兩種情況下軸向剛度的不一致情況進(jìn)行了分析，基于由“等效柱”思想和歐拉公式得到的膜盒柱失穩(wěn)公式，推導(dǎo)了拉伸、壓縮軸向剛度不一致下的膜盒抗彎剛度，并獲得了該類(lèi)膜盒的內(nèi)壓柱失穩(wěn)公式。計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比對(duì)表明該公式有效，可用于求解滿(mǎn)足剛度基本不變假設(shè)的平板錐形膜盒的柱失穩(wěn)臨界值。