基于一類拋物型方程的反問(wèn)題

錢坤 鐔銳霞

摘要：本文在最優(yōu)化理論框架下對(duì)一類二階拋物型方程的源項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行了反演。首先證明了最優(yōu)控制問(wèn)題控制泛函極小元的存在性，進(jìn)而得到了最優(yōu)解所滿足的必要條件，最后討論了最優(yōu)解的全局唯一性和穩(wěn)定性。

Abstract： In this paper， the source term coefficient of a class of second-order parabolic equation is inversed under the optimal control framework. First， the existence for the minimizer of the control functional is proved. Then the necessary condition for the minimizer of the control functional is discussed. Finally， the global uniqueness and stability of the optimal solution are proved.

關(guān)鍵詞：拋物型方程;反問(wèn)題;必要條件;唯一性

Key words： parabolic equation;inverse problem;necessary condition;uniqueness

中圖分類號(hào)：O175.2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2019）34-0200-03

0? 引言

近年來(lái)，數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域迅速發(fā)展的一門理論，尤其在醫(yī)療、勘探、圖像處理、金融等領(lǐng)域當(dāng)中的應(yīng)用更加的突出。金融領(lǐng)域中的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是反問(wèn)題應(yīng)用的重要體現(xiàn)，運(yùn)用著名的Black-Scholes定價(jià)模型，借助于從期權(quán)市獲得的觀測(cè)數(shù)據(jù)，去重構(gòu)原生資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。除此之外，典型的對(duì)流-擴(kuò)散方程在環(huán)境污染中的地位不言而喻，它可以用來(lái)描述水體和大氣中污染物的輸移、擴(kuò)散和降解，海水鹽度和溫度的擴(kuò)散、流體的流動(dòng)和傳熱等等。

與相應(yīng)的正問(wèn)題相比，反問(wèn)題的處理更加的困難，關(guān)鍵在于其嚴(yán)重的不適定性[1-4]，因?yàn)樵谠S多實(shí)際問(wèn)題的處理當(dāng)中，大量的數(shù)據(jù)都是通過(guò)外界手段測(cè)量得到，必然會(huì)存在誤差，也正是因?yàn)檫@些微小的誤差，問(wèn)題的不適定性將會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題解的無(wú)限放大而失真，從而失去研究?jī)r(jià)值。如何處理這種不適定性也成為許多學(xué)者研究的重要課題。

對(duì)反問(wèn)題不適定性的處理，目前主要的方法是Tikhonov正則化方法[5-7]，但Tikhonov正則化方法對(duì)問(wèn)題的解要求要有較強(qiáng)的先驗(yàn)光滑性條件，由此得到的穩(wěn)定解的同時(shí)，也會(huì)導(dǎo)致原問(wèn)題解的過(guò)度光滑，因此，Tikhonov正則化方法并不是最優(yōu)的。在文獻(xiàn)[4]中作者利用最優(yōu)化理論反演了一類二階拋物型方程中的源項(xiàng)系數(shù)，并利用Landweber迭代法得到了穩(wěn)定的數(shù)值模擬結(jié)果。文獻(xiàn)[8]中，作者利用最優(yōu)化理論處理了一類發(fā)展型方程的反問(wèn)題。而文獻(xiàn)[9]中作者在最優(yōu)化理論基礎(chǔ)上，利用全變差正則化方法研反演了一個(gè)二階拋物型方程的源項(xiàng)系數(shù)。

本文討論了一類二階拋物型方程的源項(xiàng)系數(shù)反演問(wèn)題，主要利用最優(yōu)化理論，克服了問(wèn)題的不適定性，進(jìn)而得到了最優(yōu)解的存在性和唯一性。問(wèn)題的具體形式可陳述如下：

注記：

①本文利用最優(yōu)化控制理論處理了一類一維拋物型方程，對(duì)于高維的情形也是適用的，尤其是二維情形下的拋物型方程。②本文主要從理論分析角度處理了方程，與其相關(guān)的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)也有了初步結(jié)果。③文章多處出現(xiàn)常數(shù)，如無(wú)特殊說(shuō)明，常數(shù)C在不同場(chǎng)合下表示不同的常數(shù)C。

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