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    基于雙漸消因子調(diào)節(jié)的自適應(yīng)卡爾曼濾波器

    2019-12-17 09:04:54朱文超
    關(guān)鍵詞:新息歷元時(shí)變

    朱文超, 何 飛

    (1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司 第三十八研究所,安徽 合肥 230041;2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),安徽 合肥 230027;3.中國(guó)科學(xué)院 合肥智能機(jī)械研究所,安徽 合肥 230031)

    0 引言

    在已知系統(tǒng)和量測(cè)數(shù)學(xué)模型、噪聲統(tǒng)計(jì)特性、狀態(tài)初值的情況下,卡爾曼(Kalman)濾波器可利用輸出信號(hào)的量測(cè)數(shù)據(jù)獲取狀態(tài)變量的估計(jì)值,具有計(jì)算量小,可遞推、實(shí)時(shí)性高等特點(diǎn)[1]。然而,標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波器過(guò)分依賴于系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的準(zhǔn)確性,當(dāng)狀態(tài)參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)時(shí),往往無(wú)法精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài),甚至?xí)馂V波發(fā)散現(xiàn)象[2]。針對(duì)這一問題,文獻(xiàn)[3-4]在預(yù)測(cè)協(xié)方差中引入單漸消因子,通過(guò)Sage-Husa估計(jì)法重新解算量測(cè)殘差,增強(qiáng)新息在狀態(tài)估計(jì)中的權(quán)重。文獻(xiàn)[5]通過(guò)強(qiáng)跟蹤中心查分濾波器實(shí)時(shí)估計(jì)汽車前后軸等效時(shí)變側(cè)偏剛度,對(duì)標(biāo)稱模型的不精確與狀態(tài)擾動(dòng)等因素具有強(qiáng)魯棒性。文獻(xiàn)[6-7]在強(qiáng)跟蹤濾波器中引入了限定記憶的思想,通過(guò)次優(yōu)漸消因子修正濾波增益,增強(qiáng)跟蹤突變狀態(tài)的能力。文獻(xiàn)[8-9]將強(qiáng)跟蹤濾波器和UKF濾波器相融合,引入時(shí)變漸消因子調(diào)節(jié)卡爾曼增益,強(qiáng)迫輸出殘差序列保持正交,提取殘差有效信息,提升突變狀態(tài)的跟蹤能力。文獻(xiàn)[10]在預(yù)測(cè)協(xié)方差中融合弱化因子與漸消因子,依據(jù)模糊控制理論,膨脹狀態(tài)突變下的量測(cè)新息,提升跟蹤精度,已成功應(yīng)用于GPS定位解算領(lǐng)域。

    然而,上述研究均未對(duì)狀態(tài)突變程度進(jìn)行等級(jí)劃分,致使收斂速度慢。針對(duì)這一問題,本文基于濾波發(fā)散判據(jù),分析Sage窗量測(cè)新息與標(biāo)準(zhǔn)Kalman量測(cè)新息的關(guān)系,以儲(chǔ)備系數(shù)為等級(jí),判斷狀態(tài)突變程度,利用雙漸消因子調(diào)整預(yù)測(cè)協(xié)方差,增權(quán)量測(cè)新息,提升突變狀態(tài)的估計(jì)精度。

    1 Kalman濾波簡(jiǎn)介

    1.1 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

    k歷元下,線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程可表示為

    式中,Xk為m 維狀態(tài)向量;Φk,k-1為m×m 維k-1歷元至k歷元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Uk-1為p 維輸入控制量;Γk,k-1為m×p 維控制輸入系數(shù)矩陣;Wk-1為q維系統(tǒng)過(guò)程噪聲序列;Ψk,k-1為m×q維過(guò)程噪聲系數(shù)矩陣。Zk為j 維量測(cè)向量;Hk為j×m 維量測(cè)系數(shù)矩陣;Vk為j 維系統(tǒng)量測(cè)噪聲序列。

    1.2 Kalman濾波魯棒性

    Kalman濾波是一種線性、無(wú)偏且誤差方差最小的隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)估計(jì)算法[11],但魯棒性較差,無(wú)法精準(zhǔn)跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)。究其原因,主要有2點(diǎn):①狀態(tài)擾動(dòng)下的先驗(yàn)預(yù)測(cè)偏差較大;②穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器的增益為定量,狀態(tài)突變時(shí),無(wú)法實(shí)時(shí)增權(quán)量測(cè)新息。假設(shè)狀態(tài)擾動(dòng)(系統(tǒng)控制方式改變、噪聲特性變化等)于k歷元加載至穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),則突變信息將直接作用于狀態(tài)方程中的系數(shù)矩陣,如擾動(dòng)方程(3)中ΔΦk,k-1、ΔΓk,k-1、ΔΨk,k-1所示。此時(shí),若仍依靠舊狀態(tài)方程進(jìn)行先驗(yàn)預(yù)測(cè),必然產(chǎn)生較大的偏差。然而,穩(wěn)態(tài)Kalman的濾波增益無(wú)法實(shí)時(shí)增權(quán)量測(cè)新息,則最優(yōu)估計(jì)將逐漸偏離真實(shí)值,最終致使濾波器發(fā)散。

    精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài),避免濾波器發(fā)散的方法有2種:①分析狀態(tài)擾動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性,建立精確的數(shù)學(xué)模型,獲取準(zhǔn)確先驗(yàn)預(yù)測(cè)。②尋找激活穩(wěn)態(tài)濾波增益方法,當(dāng)狀態(tài)擾動(dòng)來(lái)臨時(shí),實(shí)時(shí)增權(quán)測(cè)量新息。

    然而,狀態(tài)擾動(dòng)種類繁多,統(tǒng)計(jì)特性復(fù)雜,難以準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型,故本文針對(duì)不同程度的突變狀態(tài),利用雙漸消因子優(yōu)化預(yù)測(cè)協(xié)方差,激活穩(wěn)態(tài)濾波增益,采用實(shí)時(shí)調(diào)整量測(cè)新息在最優(yōu)估計(jì)中權(quán)重的策略,精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)。

    2 自適應(yīng)Kalman濾波

    2.1 遞推規(guī)則設(shè)計(jì)

    鑒于線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,在Kalman遞推規(guī)則中,引入雙漸消因子,實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)先驗(yàn)預(yù)測(cè)協(xié)方差,獲取自適應(yīng)Kalman濾波迭代公式。

    狀態(tài)預(yù)測(cè):

    狀態(tài)一步預(yù)測(cè)

    一步預(yù)測(cè)協(xié)方差

    觀測(cè)更新:

    量測(cè)新息

    濾波增益

    最優(yōu)估計(jì)

    后驗(yàn)協(xié)方差

    式中,Qk-1、Rk分別為過(guò)程噪聲Wk-1、量測(cè)噪聲Vk的協(xié)方差矩陣。

    2.2 雙漸消因子的求解

    最優(yōu)Kalman濾波具備量測(cè)新息處處正交的特性,新息序列Y(k)的正交方程可用自相關(guān)函數(shù)表示為[12]

    式中,Ck為量測(cè)新息協(xié)方差矩陣,上標(biāo)opt代表最優(yōu)矩陣。

    依據(jù)Kalman濾波準(zhǔn)則,化簡(jiǎn)式(11)為

    若系統(tǒng)狀態(tài)未發(fā)生突變,則標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波器的預(yù)測(cè)協(xié)方差Pbasek,k-1可滿足正交方程

    式中,上標(biāo)base代表標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波器產(chǎn)生的協(xié)方差矩陣。

    然而,隨著時(shí)間的推移,Kalman濾波器逐漸進(jìn)入穩(wěn)態(tài),濾波增益及后驗(yàn)誤差協(xié)方差的取值固定。倘若此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變,需激活濾波增益,利用優(yōu)化預(yù)測(cè)協(xié)方差滿足正交方程,則式(12)可化為

    根據(jù)Sage開窗估計(jì)法[13],由量測(cè)新息獲取Coptk在k 歷元下的估計(jì)值Ck,即

    聯(lián)立式(13)、式(15)、式(16)進(jìn)行矩陣的跡運(yùn)算,獲取λk的函數(shù)解析式

    需要說(shuō)明的是,更新λk+1時(shí),需將k歷元下的后驗(yàn)方差作為Pkbase,代入式(13)與式(14),求解Ckba+se1,判斷其與的關(guān)系,構(gòu)造邊界條件,再進(jìn)入k+1歷元的迭代估計(jì)階段。

    綜合式(6)、式(14)、式(18)進(jìn)行矩陣的跡運(yùn)算,得到γk函數(shù)解析式

    綜合式(17)~式(19),獲得因子λk與γk的終解,即

    3 試驗(yàn)驗(yàn)證

    本節(jié)以中科院智能機(jī)械研究所自行研制的雙E 型彈性體六維力傳感器為靜態(tài)標(biāo)定對(duì)象,研究標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波器(SKF)、抗差Kalman濾波器[15](RKF)、自適應(yīng)Kalman濾波器(AKF)的魯棒特性。

    六維力傳感器標(biāo)定實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖1所示。依次從Fz方向標(biāo)定數(shù)據(jù)庫(kù)中抽取3組量測(cè)值進(jìn)行分析。其中,第一組為恒載輸出電壓(理想值25 m V);第二組為卸載輸出電壓(理想值10 m V);第三組為加載輸出電壓(理想值60 m V)。假設(shè)前47歷元,傳感器持續(xù)進(jìn)行恒載輸出。第48歷元時(shí),分別進(jìn)行不同量級(jí)的卸載或加載操作,則系統(tǒng)狀態(tài)將發(fā)生不同程度突變,理想趨勢(shì)如圖2所示。狀態(tài)突變?cè)驗(yàn)閭鞲衅鞯目刂戚d荷發(fā)生變化,故k歷元下的擾動(dòng)方程(3)可化為式(21),分別利用SKF、RKF、AKF對(duì)輸出信號(hào)的量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理,結(jié)果如圖3~圖10所示。

    圖2 傳感器階躍輸出信號(hào)

    圖3~圖5反映了傳感器輸出由恒載向卸載轉(zhuǎn)變時(shí),3種算法的濾波效果。從圖4中可以看出,前47歷元,即系統(tǒng)狀態(tài)未突變前,量測(cè)新息序列滿足正交性要求,故AKF與RKF均退化為SKF。3種算法狀態(tài)收斂速度與精度均相同。

    圖3 卸載前后3種算法跟蹤效果

    圖4 卸載前3種算法跟蹤效果

    然而,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在第48歷元發(fā)生突變時(shí),如圖3所示,SKF算法未更新濾波增益,逐漸偏離真實(shí)狀態(tài),估計(jì)誤差無(wú)限增大。反觀AKF與RKF,兩者均能有效地跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)。然而,由于狀態(tài)突變程度較淺,AKF退化為RKF,兩者濾波精度相同,如圖5所示。

    圖6反映了狀態(tài)突變前后漸消因子的時(shí)變趨勢(shì)。不難發(fā)現(xiàn),因子γk處于冷卻狀態(tài),AKF僅用因子λk進(jìn)行狀態(tài)調(diào)節(jié)。λk的時(shí)變趨勢(shì)分為5個(gè)階段。

    (1)階段1(47歷元至48歷元)。狀態(tài)于此階段突變,突變信息作用于量測(cè)新息協(xié)方差,致使估計(jì)值驟然變大,λk由冷卻驟變?yōu)榧せ顟B(tài)。

    (2)階段2(48歷元至49歷元)。該階段的先驗(yàn)估計(jì)涵蓋了量測(cè)新息,其效果優(yōu)于階段1。然而,依據(jù)圖5所示,跟蹤初期的后驗(yàn)誤差大于突變前的穩(wěn)態(tài)誤差。故減小,Ckbase增大,λk處于急速下降狀態(tài)。

    (3)階段3(49歷元至71歷元)。該階段狀態(tài)后驗(yàn)誤差開始減小,估計(jì)精度開始提升,則與Ckbase均開始減小,λk的下降速率減緩。

    (4)階段4(71歷元至76歷元)。該階段狀態(tài)后驗(yàn)誤差緩慢減小,估計(jì)精度緩慢提升,則與Ckbase均緩慢減小,λk的下降速率進(jìn)一步減緩。

    (5)階段5(76歷元至100歷元)。該階段后驗(yàn)誤差穩(wěn)定,則λk僅在穩(wěn)態(tài)值范圍進(jìn)行微調(diào)。

    圖5 卸載后3種算法跟蹤效果

    圖6 卸載后AKF漸消因子時(shí)變趨勢(shì)

    圖7~圖8反映了傳感器輸出由恒載向加載轉(zhuǎn)變時(shí),3種算法的濾波效果。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在第48歷元發(fā)生突變時(shí),SKF濾波發(fā)散。RKF僅利用因子λk調(diào)節(jié)濾波增益,增權(quán)量測(cè)新息,能夠有效跟蹤突變狀態(tài)。然而,AKF 的總體濾波效果優(yōu)于RKF。尤其在第72 歷元至第100 歷元階段,AKF 狀態(tài)收斂速度優(yōu)于RKF。

    圖7 加載前后3種算法跟蹤效果

    圖8 加載后3種算法跟蹤效果

    從圖9~圖10可以看出,狀態(tài)突變后,AKF持續(xù)激活雙漸消因子λk與γk,能夠更深層次地利用量測(cè)新息糾正估計(jì)值。加載環(huán)境下,γk的時(shí)變趨勢(shì)分為4個(gè)階段;λk的時(shí)變趨勢(shì)分為6個(gè)階段。

    圖9 加載后AKF因子λk 時(shí)變趨勢(shì)

    圖10 加載后AKF因子γk 時(shí)變趨勢(shì)

    γk的時(shí)變趨勢(shì)解析:

    (1)階段1(47 歷元至48 歷元)。狀態(tài)于此階段突變,突變信息體現(xiàn)于量測(cè)數(shù)據(jù),致使后驗(yàn)協(xié)方差PLSW48驟然變大,γk由冷卻驟變?yōu)榧せ顟B(tài)。

    (2)階段2(48歷元至49歷元)。該階段的先驗(yàn)估計(jì)涵蓋了量測(cè)新息,先驗(yàn)誤差Pbase48,48的精度回升,則相較于階段1,γk處于急速下降狀態(tài)。

    (3)階段3(49歷元至72歷元)。該階段后驗(yàn)誤差開始減小,先驗(yàn)估計(jì)精度穩(wěn)步提升,則相較于階段2,γk的下降速率減緩。

    (4)階段4(72歷元至100歷元)。該階段狀態(tài)后驗(yàn)誤差繼續(xù)減小,第72歷元與Cbkase之間的關(guān)系到達(dá)臨界條件,γk由激活變?yōu)槔鋮s態(tài)。

    λk的時(shí)變趨勢(shì)解析:

    (1)階段1、階段2、階段3的趨勢(shì)分析同卸載環(huán)境λk。

    (2)階段4(72歷元至81歷元)。該階段γk處于冷卻狀態(tài),則Ckbase的衰減速率變慢。相較于階段3,λk的下降速率加快。

    (3)階段5(81歷元至94歷元)。該階段后驗(yàn)誤差緩慢減小,估計(jì)精度緩慢提升與Cbkase均緩慢減小,相較于階段4,λk的下降速率有所減緩。

    (4)階段6(94歷元至100歷元)。該階段后驗(yàn)誤差穩(wěn)定,則λk僅在穩(wěn)態(tài)值范圍進(jìn)行微調(diào)。

    通過(guò)式(22)解算72歷元至第100歷元3種算法估計(jì)結(jié)果的均方根誤差X~kRMSE,詳見表1。結(jié)果顯示,SKF誤差較大,處于發(fā)散狀態(tài)。相較于RKF,AKF穩(wěn)態(tài)精度提升了44.76%。

    表1 濾波算法性能對(duì)比

    4 結(jié)論

    為解決標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波無(wú)法實(shí)時(shí)精確估計(jì)突變狀態(tài)的問題,設(shè)計(jì)了雙漸消因子自適應(yīng)Kalman濾波器。面對(duì)不同程度的狀態(tài)突變,采用合適的漸消因子組合,實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)預(yù)測(cè)協(xié)方差,變權(quán)量測(cè)新息。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,自適應(yīng)Kalman濾波器,具有較強(qiáng)的魯棒性,穩(wěn)態(tài)精度優(yōu)于抗差Kalman濾波,可運(yùn)用于六維力傳感器靜態(tài)標(biāo)定領(lǐng)域。然而,本文僅研究標(biāo)量漸消因子,對(duì)于多維度漸消因子的求解方法,還有待于進(jìn)一步深入研究。

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